精品解析：吉林长春市农安县第一中学2025-2026学年九年级上学期第三次学情调研数学试题

2025-2026学年九年级上学期第三次学情调研数学试题 一．选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列函数是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不是的二次函数，故本选项不符合题意； B、，不是的二次函数，故本选项不符合题意； C、，是的二次函数，故本选项不符合题意； D、，是的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数，熟练掌握形如的函数称为是二次函数是解题的关键． 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 明天下雨是随机事件 B. 要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查 C. 已知一组数据：3，3，4，5，8，10，11，则这组数据的中位数是5 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查随机事件、调查方式、中位数和方差的概念．选项A正确，明天下雨是随机事件；选项B错误，因为日光灯使用寿命的测试是破坏性的，全面调查不现实，应采用抽样调查；选项C正确，数据中位数为5；选项D正确，方差越小数据越稳定． 【详解】解：∵选项A：明天下雨可能发生也可能不发生，是随机事件，正确； ∵选项B：全面调查需检查所有个体，但日光灯寿命测试是破坏性的，全面调查不经济且不现实，应采用抽样调查，错误； ∵选项C：数据3，3，4，5，8，10，11按升序排列，共7个数，中位数为第4个数5，正确； ∵选项D：方差，乙组数据方差更小，更稳定，正确； 故选B． 3. 抛物线的开口方向是（ ） A. 向上 B. 向右 C. 向下 D. 向左 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， 抛物线的开口方向是向下， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口． 4. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是(　　) A. 且 B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】当方程为一元一次方程时(二次项系数为)，直接验证是否有实数根；当方程为一元二次方程时，利用判别式确定参数范围，最后综合两种情况得到的取值范围．关键是不能忽略二次项系数为0的情况，否则会漏解． 【详解】解：当时，，此时方程变为，解该方程得，存在实数根，故符合条件． 当，，此时方程为一元二次方程． 若方程有实数根，则判别式， 解得， ∴此时的取值范围是且． 综合两种情况，的取值范围是． 5. 如图，在平行四边形中，点为对角线交点，与相交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意证明，即可得到答案． 【详解】解：令与交于点， 平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选B． 6. 如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出杆长处的点离地面的高度，又量得杆底与坝脚的距离，则石坝的坡度为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先过作于，根据，可得，进而得出，根据勾股定理可得的长，根据和的长可得石坝的坡度． 【详解】解：如图，过作于，则， ，即， 解得， 中，， 又， ， 石坝的坡度为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了坡度问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是锐角∠CBF，坡度实际∠CBF的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 7. 下列四个点中，在抛物线上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题可将四个选项中的坐标代入抛物线方程中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上． 【详解】解：A．把代入得，故点不在抛物线上． B．把代入得，故点不在抛物线上． C．把代入得，故点在抛物线上， D．把代入得，故点不在抛物线上． 故选：C． 8. 如图，中，，，．点从点沿线段向运动，点先从点沿线段运动，到达点后，再沿线段向运动，点和到达点后就停止运动．当点运动的路程为时，点运动的路程为，则在运动过程中面积的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再分点在上和点在上两种情况讨论：当在上时，用含的式子表示，并求出点到的距离，进而表示出的面积，利用二次函数求最值；当在上时，用含的式子表示和，再表示出的面积，利用二次函数求最值；比较两种情况下的最大面积，得到最终结果． 【详解】解：，，， ． 情况1：点在上，当，即时， 如图，过点作于， ， ． ， ． ，对称轴， ∵ 当时，取得最大值， ， 情况2：当，即时，点在上， 如图，过点作于， ， ，． ， ∴， ，对称轴， 在内，随增大而减小， 当时，取得最大值， ，面积的最大值为． ∵， ∴面积的最大值为． 二．填空题（每小题3分，共18分） 9. 若，则等于_______度． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了特殊角度的锐角三角函数值，根据即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 故答案为：15． 10. 将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的函数图象的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，掌握抛物线解析式的变化规律是解题关键． 根据抛物线平移时解析式“左加右减，上加下减”的变化规律即可得出答案． 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位， ∴． 故答案为：． 11. 在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则纸箱中白球个数最可能为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的其它实际问题，已知概率求数量，由频率估计概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据频率估计概率，摸到白球的概率稳定在，设白球个数为，利用概率公式列方程求解． 【详解】解：摸到白球的概率稳定在，即摸到白球的概率为， 设白球个数为，则总球数为， 摸到白球的概率为， 解得：， 经检验，是方程的解，且分母， 故答案为：20． 12. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键；先计算二次根式的乘法，化简二次根式，再计算加减即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 在中，，是边上的高，，那么的长为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，由是斜边上的高，通过证明三角形相似，得到比例关系，进而求解的长． 【详解】解： ∵在中，，是边上的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 将，代入，得： 解得：． 14. 如图为二次函数（）的图象．有下列四个结论：①若，分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④．其中正确的个数是_______． 【答案】4个 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的增减性、二次函数的最值以及特殊点的函数值应用，熟练掌握二次函数图象与系数的关系及利用图象分析函数性质的方法是解题的关键． 先根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判断、、的符号及相关关系，再逐一分析四个结论：抛物线的对称性和增减性判断与的大小；根据、、的符号判断的符号；利用函数最大值的性质推导不等式；结合特殊点的函数值和、的关系判断的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为直线，即， ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴． ①∵抛物线对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为． ∵当时，随的增大而减小，且， ∴，故①正确． ②∵，，， ∴，故②正确． ③∵当时，函数取得最大值， ∴， ∴，即，故③正确． ④∵当时，，且，即， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：． 三．解答题（共10小题，满分78分） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，先将方程进行化简，再利用配方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 解得，． 16. 下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，． 求证：． 请你完成此定理的证明过程． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在上取点M，使，过点M作交于点N，即可得到，根据对应边成比例求出，然后根据证明即可得到结论． 【详解】证明：在上取点M，使，过点M作交于点N． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 17. 已知抛物线开口向下． （1）求m的值； （2）若点在抛物线上，且，试比较与的大小． 【答案】（1）m的值为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为抛物线开口向下，得，，即可作答． （2）先得出抛物线的对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，又因为在抛物线上，且，得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴，， ∴（舍去）；， ∴m的值为． 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向下 ∴抛物线的对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵点在抛物线上，且， ∴ 18. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“力”“旺”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．若一次从盒子中随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好张为“力”、张为“旺”的概率． 【答案】 抽取的卡片恰好1张为“力”、1张为“旺”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率． 根据题意画树状图，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中，恰好张为“力”、1张为“旺”的情况有种， ∴． ∴抽取的卡片恰好1张为“力”、1张为“旺”的概率为． 19. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图1中画出的中线； （2）在图2中的边上找到一点F，使；； （3）______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取格点P，Q，连接交于点D，连接，线段即为所求； （2）取格点P，Q，连接交于点F，连接，点F即为所求； （3）作边上的高，根据等积法求的长度，再根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 解：如图①，线段即为所求； ∵四边形是正方形， ∴点D是的中点， ∴是的中线； 【小问2详解】 解：如图②，点E即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，作交于点E， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用网格作三角作图，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，正切的定义，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 20. 已知抛物线的顶点D及与y轴的交点C都在直线上，对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）设m为抛物线与x轴的一个交点的横坐标，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，分式的化简： （1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点为，再代入，即可求解； （2）根据题意可得，再把分别叠代入分子分母，进行化简，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，且， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，即抛物线与y轴的交点为， ∵抛物线的顶点D及与y轴的交点C都在直线上， ∴，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵m为抛物线与x轴的一个交点的横坐标， ∴， ∴， ∴ ∴ 21. 某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸（也叫护坡）的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度．（结果保留根号） 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 调查内容 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌的构筑物 材料 所需材料为石料、混凝土等 驳岸剖面图 相关数据及说明：如图，点在同一竖直平面内，和均与地面平行，岸墙于点，，，， ， 计算结果 交流展示 【答案】的长为的长为． 【解析】 【分析】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． 过点作于点，延长交于点，首先根据的三角函数值求出，，然后得到四边形是矩形，进而得到，然后在中利用的三角函数值求出，进而求解即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∴． 由题意得，在中，． ∴． ∴． 由题意得，，四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵． ∴． ∴， ∴． 答：的长为的长为． 22. 问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． 数学发现： （1）如图1，当时，______，如图2，当时， ______； （2）如图3，当边经过点时，求的长； （3）如图4，当点F落在的延长线上时，延长交于点H，求的长度． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由可得，于是可证得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出的度数；由旋转的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，，，进而可得，，在中，根据勾股定理可得，于是可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （3）解：连接、，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，根据证明，得出，在中，根据勾股定理得出，解方程即可． 【小问1详解】 解：如图，由旋转的性质可得：，， ， ， 是等边三角形， ； 如图，由旋转的性质可得：，， 在中，根据勾股定理可得： ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，由旋转的性质可得：，，， 四边形和都是矩形， ，，， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的长为； 【小问3详解】 解：连接、， 在中，根据勾股定理得， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，线段的和与差，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键． 23. 已知，如图，在四边形中，，，，，是的中点，是线段上的任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图1，过点作的垂线，垂足为，求和的长； （2）当，求的大小； （3）如图，若，求点所经过的路径弧的长（结果保留）； （4）若点落在或边所在直线上，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）利用设出直角边，结合求出和，再通过作构造矩形和直角三角形，求出的长度． （2）根据旋转性质得到，分在右侧和左侧两种情况，利用平角或角的和差关系计算． （3）过作，利用三角函数求出、，结合的长度求出，再用勾股定理求出，最后根据弧长公式计算路径弧的长． （4）分点落在上和直线上两种情况：①当在上时，利用直角三角形和三角函数求解；②当在直线上时，构造全等三角形，通过线段关系列方程求解． 【小问1详解】 解：∵，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， 过点作于点， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：∵将绕点逆时针旋转得到线段， ∴， 当在的右侧时，如图， ∵， ∴， 当在的左侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，或； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵，设，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴点所经过的路径弧的长为； 【小问4详解】 解：如图3所示，当点落在上时， ， ， 又， ， ∴ 当点落在直线上时，如图4所示，过点作，的垂线，垂足分别为，， 将绕点P逆时针旋转得到线段， ，， 又， ， ∴， 设， ， ，，， ， ∴， ， 解得：， ， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质、锐角三角函数、勾股定理、图形旋转的性质、全等三角形的判定与性质、弧长公式以及分类讨论思想，熟练掌握通过构造辅助线转化线段关系、利用分类讨论解决多解问题的方法是解题的关键． 24. 已知二次函数的图象与轴交于、，与轴交于点，点为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，点为轴上一动点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标． （2）当点位于直线下方时，求点到直线距离的最大值． （3）将上述抛物线沿轴翻折，得到的新抛物线与轴交于点当时，求出点坐标． 【答案】（1）， （2）点到直线距离的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与x轴的两个交点，写出交点式解析式，展开后得到一般式，再通过对称轴公式求出顶点坐标． （2）先求出直线的解析式，通过作辅助线将点E到直线的距离转化为等腰直角三角形的直角边，再用二次函数配方法求出距离的最大值． （3）先根据翻折性质得到点Q的坐标，再分点M在右侧和左侧两种情况，通过构造全等三角形得到点G的坐标，代入直线的解析式求解，从而得到点M的坐标． 【小问1详解】 解：由题可得交点式：， 对称轴为直线， 当时，， ； 【小问2详解】 解：如图，过作于点，则即为点到直线距离， 令，得， ，即， ， ， 再过作轴交于点，则， 为等腰直角三角形， ， 由点、可得直线解析式为：， 设，则， ， ， 当时， ； 【小问3详解】 解：由题可知点和点关于轴对称，则； 设， 由点，，可得直线解析式为， 当点在右侧时，如图，过点作交延长线于点，过点作轴，再分别过、作垂线段，垂足分别为、，则， ， ， 为等腰直角三角形，即， （）， ，， ， 将点坐标代入直线解析式得：， 解得（负值舍去）； ； 当点在左侧时，如图，过点作交延长线于点，过点作轴，再分别过、作垂线段，垂足分别为、， 同理可得（）， ，， ， 将点坐标代入直线解析式得：， 解得（正值舍去）， ； 综上，或 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解、二次函数的性质、点到直线的距离、图形翻折的性质、全等三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数与几何图形的综合应用方法、分类讨论思想以及构造全等三角形转化线段关系的技巧是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第三次学情调研数学试题 一．选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列函数是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 明天下雨是随机事件 B. 要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查 C. 已知一组数据：3，3，4，5，8，10，11，则这组数据的中位数是5 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 3. 抛物线的开口方向是（ ） A. 向上 B. 向右 C. 向下 D. 向左 4. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是(　　) A. 且 B. C. 且 D. 5. 如图，在平行四边形中，点为对角线交点，与相交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出杆长处的点离地面的高度，又量得杆底与坝脚的距离，则石坝的坡度为（ ） A. B. 3 C. D. 4 7. 下列四个点中，在抛物线上的点是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，．点从点沿线段向运动，点先从点沿线段运动，到达点后，再沿线段向运动，点和到达点后就停止运动．当点运动的路程为时，点运动的路程为，则在运动过程中面积的最大值为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 9. 若，则等于_______度． 10. 将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的函数图象的表达式是______． 11. 在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则纸箱中白球个数最可能为______． 12. 计算：__________． 13. 在中，，是边上的高，，那么的长为_____________． 14. 如图为二次函数（）的图象．有下列四个结论：①若，分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④．其中正确的个数是_______． 三．解答题（共10小题，满分78分） 15. 解方程： 16. 下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，． 求证：． 请你完成此定理的证明过程． 17. 已知抛物线开口向下． （1）求m的值； （2）若点在抛物线上，且，试比较与的大小． 18. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“力”“旺”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．若一次从盒子中随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好张为“力”、张为“旺”的概率． 19. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图1中画出的中线； （2）在图2中的边上找到一点F，使；； （3）______． 20. 已知抛物线的顶点D及与y轴的交点C都在直线上，对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）设m为抛物线与x轴的一个交点的横坐标，求的值． 21. 某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸（也叫护坡）的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度．（结果保留根号） 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 调查内容 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌的构筑物 材料 所需材料为石料、混凝土等 驳岸剖面图 相关数据及说明：如图，点在同一竖直平面内，和均与地面平行，岸墙于点，，，， ， 计算结果 交流展示 22. 问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． 数学发现： （1）如图1，当时，______，如图2，当时， ______； （2）如图3，当边经过点时，求的长； （3）如图4，当点F落在的延长线上时，延长交于点H，求的长度． 23. 已知，如图，在四边形中，，，，，是的中点，是线段上的任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图1，过点作的垂线，垂足为，求和的长； （2）当，求的大小； （3）如图，若，求点所经过的路径弧的长（结果保留）； （4）若点落在或边所在直线上，请直接写出的长． 24. 已知二次函数的图象与轴交于、，与轴交于点，点为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，点为轴上一动点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标． （2）当点位于直线下方时，求点到直线距离的最大值． （3）将上述抛物线沿轴翻折，得到的新抛物线与轴交于点当时，求出点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $