精品解析：黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

2025~2026学年度高二年级第二学期开学考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章，第十章，选择性必修第一册第二章，第三章，选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据的第75百分位数与极差的差为（ ） A. 67 B. 66 C. 65 D. 64 2. 已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 3. 设随机变量，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. -1 4. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. -4 B. 1 C. -1 D. -4或1 5. 已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 6. 某超市举行抽奖活动，规则如下：从装有编号四个小球的抽奖箱中，每次取出1个小球，记下编号后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖，则顾客参与抽奖1次中奖的概率是（ ） A B. C. D. 7. 某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某汽车配件工厂在生产过程中，随机抽取100件同款零件测得其综合指标值，并按，分成六组，得到如下频率分布直方图.规定：综合指标值小于60的为二等品，综合指标值不小于60的为一等品，则下列说法正确的是（ ） A. B. 估计该厂所生产该款零件的综合指标值的平均数为71（同一组数据用该组区间的中点值作代表） C. 估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为78 D. 从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有15000件 10. 已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（ ） A. 若与相互独立，则 B. 若，则与相互独立 C. 若与互斥，且与也相互独立，则 D. 若与相互独立，且与也相互独立，则 11. 已知双曲线左､右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若，则 C. 以为直径的圆与圆相切 D. 若，则点坐标为或 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则__________. 13. 已知随机事件互相独立，且满足，则__________. 14. 现有30张彩票，其中有3张中奖彩票，从中任取张，若这张彩票中至少有1张中奖概率大于，则的最小正整数值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了200名购买过该款坚果礼盒的顾客，得到如下列联表. 性别 满意 不满意 合计 男性 40 40 80 女性 80 40 120 合计 120 80 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有关联； （2）从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，求这2人至少有1名女性的概率 附：. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知圆，直线过原点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程. 17. 某公司投资某款电动玩具的宣传费（单位：十万元）和销量（单位：百万件）如表所示： 宣传费（十万元） 3 4 5 6 销量（百万件） 2.5 3 4 4.5 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程； （2）若甲､乙两人购买这款电动玩具的概率分别为，且甲､乙是否购买这款电动玩具互不影响.若每个电动玩具的售价均定为80元，且两人购买电动玩具的总金额的期望不超过120元，求的取值范围. 参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 18. 甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. （1）求的值； （2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； （3）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在上，抛物线的焦点为. （1）求和的方程； （2）若点在上，且，求的面积； （3）过点的直线与交于两点，与相交于两点，试判断是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度高二年级第二学期开学考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章，第十章，选择性必修第一册第二章，第三章，选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据的第75百分位数与极差的差为（ ） A. 67 B. 66 C. 65 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】根据极差和百分位数的定义计算即可. 【详解】将样本数据按从小到大排列为， 共10个数据，且，故样本数据的第75百分位数为第8个数，即94， 极差， 所以样本数据的第75百分位数与极差的差为94-30=64. 故选：D. 2. 已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理可得. 【详解】由图知，从地到地的道路有2条，从地到地的道路有3条，由分步乘法计数原理可知，从地经过地到地不同的路线共有条； 从地不经过地到地的路线有1条. 根据分类加法计数原理可得，从地到地不同的路线共条. 故选：C. 3. 设随机变量，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性进行求解即可. 【详解】由正态分布关于均值对称，知，解得. 故选：C 4. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. -4 B. 1 C. -1 D. -4或1 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行可得，求解得的值，检验可得结论. 【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或. 当时，直线，直线，满足题意； 当时，直线，直线0，两直线重合，舍去. 综上所述，. 故选：A. 5. 已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题知，，解得， 所以的展开式的通项为， 令，得，所以的系数为. 故选：B. 6. 某超市举行抽奖活动，规则如下：从装有编号四个小球的抽奖箱中，每次取出1个小球，记下编号后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖，则顾客参与抽奖1次中奖的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理确定基本事件总数，再确定符合条件的基本事件个数，由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】因为每次取球都有4种可能，且取2次，根据分步乘法计数原理，总的基本事件数种， 小球号码之和等于7的情况有，共2种情况； 号码之和等于6的情况有，共3种情况； 号码之和等于5的情况有，共4种情况， 所以中奖的情况数种，所以中奖的概率为. 故选：D. 7. 某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分组分配，结合排列组合知识计算即可求解. 【详解】先将6名志愿者分成5组，从6人中选2人一组，其余4人各一组，共有种分法， 再将这5组全排列，对应5个项目，有种排法， 所以不同的分配方法种数为种. 故选：B. 8. 已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得点的轨迹是以为直径的圆，求得圆的方程，进而求得圆心到直线的距离，进而可求点到直线的距离的最大值. 【详解】由题知直线过定点，直线过定点， 又因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 又的中点坐标为，半径， 所以圆的方程为. 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某汽车配件工厂在生产过程中，随机抽取100件同款零件测得其综合指标值，并按，分成六组，得到如下频率分布直方图.规定：综合指标值小于60的为二等品，综合指标值不小于60的为一等品，则下列说法正确的是（ ） A. B. 估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71（同一组数据用该组区间的中点值作代表） C. 估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为78 D. 从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有15000件 【答案】ABD 【解析】 【分析】由频率分布直方图面积和为1，可判断A，由平均数计算公式可判断B，由中位数计算方法可判断C，由频率分布直方图确定频率，即可判断D. 【详解】由，得，A正确； 平均数为， 所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71，B正确； 因为， 所以中位数在第4组， 设中位数为，则， 解得，所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为73.33，C错误； 由频率分布直方图可知100件零件中二等品有件，一等品有件， 故从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有件，D正确. 故选：ABD. 10. 已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（ ） A. 若与相互独立，则 B. 若，则与相互独立 C. 若与互斥，且与也相互独立，则 D. 若与相互独立，且与也相互独立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可. 【详解】因为事件与相互独立，所以事件与相互独立， 所以， 因为，A正确； ，又， 所以，又， 所以，即与相互独立，B正确； 因为与互斥，所以， 又因为与相互独立， 所以，C错误； 因为与相互独立，所以， 又因为与相互独立，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若，则 C. 以为直径的圆与圆相切 D. 若，则点的坐标为或 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线斜率，并结合图形，判断A；利用双曲线的定义以及余弦定理求出，判断B；根据双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，判断圆心距和两圆半径的关系，确定两圆的位置关系，判断C；根据圆的切线段性质以及双曲线的定义可得出点的横坐标，再根据勾股定理及三角形的面积公式，求得内切圆半径，从而求得点的坐标，判断D. 【详解】双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，则. 所以双曲线的渐近线的斜率为. 因为直线与的左支交于两点，所以的取值范围为，故A正确. 由双曲线定义得， 设，则. 在中，由余弦定理，知， 所以，故B错误. 设的中点为，又圆9的圆心为，为 的中点，所以. 又，所以以为直径的圆半径为， 因为圆的半径，所以两圆的圆心距，所以两圆内切，故C正确. 由0，知. 设内切圆分别与轴相切于点， 则 因为，解得.所以点的横坐标为3. 设，，可得. 因为的面积为，所以其内切圆半径， 所以点的坐标为或，故D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则__________. 【答案】36 【解析】 【分析】直接利用公式求解，即随机变量，则有，再根据方差的性质求解. 【详解】由题知， 所以， 解得. 故答案为：36 13. 已知随机事件互相独立，且满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用独立事件的性质和条件概率公式建立方程，先求出与，再计算. 【详解】因为互相独立，所以. 又因为， 把代入可得：， 故. 由相互独立，得. 故答案为： 14. 现有30张彩票，其中有3张中奖彩票，从中任取张，若这张彩票中至少有1张中奖的概率大于，则的最小正整数值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用对立事件求出“张彩票中至少有1张中奖”的概率，结合增减性以及代入求值即可找出. 【详解】由题知“张彩票都不中奖”的概率为， 故“张彩票中至少有1张中奖”的概率为. 由，得，即， 当时，随着的增大而减小， 当时，；当时，， 所以的最小正整数值为6. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了200名购买过该款坚果礼盒的顾客，得到如下列联表. 性别 满意 不满意 合计 男性 40 40 80 女性 80 40 120 合计 120 80 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有关联； （2）从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，求这2人至少有1名女性的概率 附：. 0.1 0.05 0.01 2706 3.841 6.635 【答案】（1）与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）提出零假设，结合所给卡方公式进行运算判断即可； （2）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可. 【小问1详解】 零假设为：顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别无关. 经计算得， 依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 （2）由题意，从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人， 结合列联表可得，对该款坚果礼盒满意的顾客共120人，其中男性有40人，女性有80人， 抽取2人至少有1名女性的概率为. 16. 已知圆，直线过原点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】（1）或. （2）或. 【解析】 【分析】（1）先检验直线斜率不存在时是否满足条件，当直线斜率存在时设直线的方程，根据点到直线的距离等于半径，求出斜率，由此可得结论； （2）先说明直线的斜率存在，再设其方程为，由点到直线的距离公式及直线与圆相交时的弦长公式，求出面积的表达式，利用二次函数的性质即得. 【小问1详解】 圆的圆心的坐标为，半径， ①当直线的斜率不存在时，直线为， 圆心到直线的距离， 直线为圆切线， ②当斜率存在时，设直线为， 圆心到直线的距离， 由题知直线与圆相切， 则，解得， 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 直线的斜率不存在时，直线为与圆相切，不符合题意，故直线斜率必存在， 设直线的方程为， 圆心到直线的距离，弦长， 所以， 当时，面积最大， 此时，整理得， 解得， 所以直线的方程或. 17. 某公司投资某款电动玩具的宣传费（单位：十万元）和销量（单位：百万件）如表所示： 宣传费（十万元） 3 4 5 6 销量（百万件） 2.5 3 4 4.5 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程； （2）若甲､乙两人购买这款电动玩具的概率分别为，且甲､乙是否购买这款电动玩具互不影响.若每个电动玩具的售价均定为80元，且两人购买电动玩具的总金额的期望不超过120元，求的取值范围. 参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出样本中心点，再计算，最后代入得出，即可求出经验回归方程； （2）先求出的所有可能取值为的概率，再计算数学期望再应用数学期望性质计算解不等式即可. 【小问1详解】 由题知， ， 所以， 所以. 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 设甲､乙两人中选择购买这款电动玩具的人数为， 则的所有可能取值为， 又， ， ， 所以， ， 令，即，解得. 又，所以的取值范围为. 18. 甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. （1）求的值； （2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； （3）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算取到的标号都是2的概率即可； （2）利用条件概率的公式计算； （3）利用互斥事件和独立事件的概率公式计算分布列，再根据期望公式计算即可. 【小问1详解】 从一个袋子中任取两个球的总组合数为，取到两个标号为2的球的组合数为. 则取到的标号都是2的概率是， 整理得，解得或（舍去）. 【小问2详解】 设事件表示“其中一个标号是1”，事件表示“另一个标号也是1”. 因为，， 所以. 【小问3详解】 的可能取值为， 因为从袋子中取个球，编号为的概率分别为， 所以，， ，， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在上，抛物线的焦点为. （1）求和的方程； （2）若点在上，且，求的面积； （3）过点的直线与交于两点，与相交于两点，试判断是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）不是定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、之间的关系、点到椭圆上列出方程组，解方程组求出椭圆标准方程，再根据抛物线的焦点坐标求出抛物线方程即可； （2）根据余弦定理、椭圆的定义，结合三角形面积公式进行求解即可； （3）设出直线的方程，分别与椭圆和抛物线的方程联立，得到两个一元二次方程，根据两点间距离公式，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系进行运算判断即可. 【小问1详解】 由题知，， 解得， 所以的方程为， 因为抛物线的焦点为， 所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 由题知， 在中，由余弦定理得 ， 即，解得， 所以的面积. 【小问3详解】 不是定值， 理由如下：设直线的方程为， 联立方程消去整理得， 则. 又， 所以 . 联立方程，消去整理得， 则. 又， 所以 所以， 当变化时，不是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $