8.1基本立体图形 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.1基本立体图形同步训练 一、单选题 1．如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（    ）． A． B． C．3 D．2 2．下列说法中，正确的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 3．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 4．已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若则此球的表面积为（    ） A．10π B．12π C．16π D．20π 5．在高为的四棱锥中，底面是矩形，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（    ）    A． B． C． D． 7．在正方体中，若的中点为，则过点三点的截面是（    ） A．三角形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 8．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的棱长为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法中正确的有（    ） A．正四面体是正三棱锥． B．棱锥的侧面是全等的三角形． C．平行六面体各个面都是平行四边形． D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点． 10．如图在四棱台中，点，分别为四边形，的对角线交点，则下列结论正确的是（    ）    A．若四棱台是正四棱台，则棱锥是正四棱锥 B．几何体是三棱柱 C．几何体是三棱台 D．三棱锥的高与四棱锥的高相等 11．用一个平面截取一个正方体，所得截面的形状可能是（    ） A．六边形 B．五边形 C．直角三角形 D．矩形 三、填空题 12．如图所示正方体的棱长为2，E是棱的中点，则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 . 13．下列命题中，是真命题的是 .（请填上所有正确命题的序号） ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其棱长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 14．已知正方体的棱长为，以为球心，为半径的球面与该正方体不含顶点的三个面的交线总长度为，则 . 四、解答题 15．在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.    16．如图所示，正四棱台的高是17cm，上、下两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高. 17．已知三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，且，，，．求球O的半径． 18．一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和． （1）求圆台的高； （2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 19．如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.    (1)计算四棱锥的高； (2)计算四棱锥侧面三角形底边上的高. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】画出圆柱的侧面展开图，解三角形即得解. 【详解】解：圆柱的侧面展开图如图所示，由题得, 所以. 所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为. 故选：B 2．D 【分析】根据棱锥的结构特征可判断ABC；根据正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长可判断D. 【详解】对于A，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如下图， 所以A错误； 对于B，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点， 所以B错误； 对于C，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为 底面等边三角形的中心，所以C错误； 对于D，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知， 若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确. 故选：D. 3．C 【分析】在立体图形中，根据各边长得到相应的弧长，在侧面展开图中，利用弧长公式计算出夹角为直角，再根据勾股定理求边长即可得到答案. 【详解】因为，所以圆的周长是圆周长的两倍， 则弧的弧长. 将圆台一半侧面展开，如图1中扇环所示． 延长和交于点，连接，如图1所示， 由可得， 所以，则， 所以在中，， 即点到点所经过的最短路程为． 故选：C． 4．D 【分析】通过已知条件求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为,球心为,在中,求出球的半径,然后求出球的表面积. 【详解】 解: 在中, 可得， 所以, 由正弦定理,可得外接圆半径, 设此圆圆心为,球心为，球的半径为， 由球的性质可知：平面， 在平面内， 所以， 在中,， 所以球半径, 故此球的表面积为 故选：D 5．C 【分析】设点在底面的投影为，连接，作，垂足为，根据已知求得，，最后由余弦定理及平方关系得，应用面积公式求三角形面积. 【详解】如图，设点在底面的投影为，连接，则， 在中，由，，得，作，垂足为， 由，易知点到，的距离相等，所以，， 在中，， 在中，， 在中，，则， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 所以. 故选：C 6．D 【分析】结合图形，取正三棱台的上下底面中心为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，分别计算的长，利用直角梯形即可求得答案. 【详解】    如图，取正三棱台的上下底面中心为，则即为棱台的高. 连接并延长交于点，连接并延长交于点. 依题意，，， 在直角梯形中，，即棱台的高为. 故选：D. 7．B 【分析】取中点，可证，且，可得过的截面的形状. 【详解】 如图所示：取的中点，连接和， 因为分别是的中点，所以且， 又，故且， 故四点共面，且四边形是过三点的截面， 又因为四边形是梯形，故选B. 故选：B 8．B 【分析】利用多面体棱长与正方体的棱长的关系列方程即可求解 【详解】如图，设该半正多面体的棱长为，则， 延长与交于点，延长交正方体棱于， 由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形， ∴，∴ ∴，即该半正多面体棱长为. 故选：B 9．ACD 【分析】根据棱锥、平行六面体、棱台的结构特征逐项判断即得. 【详解】对于A，正四面体的四个面都是等边三角形，是正三棱锥，A正确； 对于B，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，B错误； 对于C，平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，各个面都是平行四边形，C正确； 对于D，棱台可视为棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体， 因此延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，D正确. 故选：ACD 10．ACD 【分析】根据正棱锥、棱柱、棱台的概念即可判断A、B、C，根据锥体的高和四棱锥的高判断D. 【详解】由正棱台的定义知四边形是正方形，是高， 则由正棱锥的定义知是正四棱锥，选项A正确； 几何体中，没在任何两个平面平行，选项B错误； 将四棱台沿轴截面分成两部分， 其中之一是三棱台，选项C正确； 三棱锥的高和四棱锥的高都是四棱台的高， 所以相等，选项D正确. 故选：ACD. 11．ABD 【分析】根据题意分别用一个平面去截正方体，可对A、B、D判断求解；截面为，假设为直角三角形，可通过计算证明假设不成立，即可对C判断. 【详解】A：如图，用一个平面去截正方体，截面为六边形，故A正确； B：如图，用一个平面去截正方体，截面为五边形，故B正确； C：如图，截面为，点O为正方体的顶点，在三棱锥中，，，两两垂直， 若为直角三角形，不妨令，则， 因，，，化简得，故矛盾， 则不为直角三角形，故C错误； D：如图，用一个平面去截正方体，截面为矩形，故D正确； 故答案为：ABD. 12． 【分析】先通过作辅助线确定截面的形状，再利用正方体棱长及勾股定理分别求出截面四边形各边的长度，最后相加即可. 【详解】延长与的延长线交于点，连接交于点，连接，如图所示， 则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 棱的中点,且，在中，为中位线，， 又由题意得，且，，又，，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 所得截面图形的周长为. 故答案为：. 13．②③ 【分析】根据长方体、正四面体、正方体、圆锥的性质逐一判断即可. 【详解】①平行六面体的底面是矩形，但侧棱可能与底面不垂直，此时侧面仍为平行四边形，因此不一定是长方体.长方体要求所有面均为矩形，故①错误. ②设正四面体棱长为，底面正三角形的高为，重心到顶点的距离为.由勾股定理，正四面体的高为：，故②正确； ③用平面切割正方体时，若平面依次经过五个面（如从一个顶点出发，切割相邻五个面），截面为五边形.如图所示，为五边形截面，故③正确. ④过圆锥顶点的截面为等腰三角形且两腰长为母线长，设圆锥的母线长为l，等腰三角形的顶角为，则过圆锥顶点的截面面积为，所以当，即时，截面面积最大.当轴截面的顶角大于时，轴截面面积不是最大截面面积，故④错误. 故答案为：②③ 14．1 【分析】根据正方体体对角线和面对角线的长度判断球面与正方体的交点位置，由球的截面性质求出截面圆的半径，利用弧长公式求解可得. 【详解】由，，有， 可知球仅与正方形，，表面相交，且交线长都相等. 设点在球与正方形的表面的交线上， 有，有， 可得点在以为圆心，为半径的圆上， 设该圆与正方形的交点分别为、（点在上，点在上）. 又由，可得，同理可得. 又由，可得， 所以每个表面上的圆弧所对的圆心角均为，则每个圆弧的长度为， 可得球面与该正方体表面的交线的长度为， 由已知，所以. 故答案为：. 15． 【分析】由已知中底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案. 【详解】解：设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为， 底面半径为2母线长为4的圆锥的高为， 则圆柱的上底面为中截面，可得， ，， . 【点睛】本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键. 16．这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为 【分析】取棱台两底面的中心分别是点O和，，BC的中点分别是，E，利用四边形，都是直角梯形计算． 【详解】设棱台两底面的中心分别是点O和，，BC的中点分别是，E.连接，，，OB，，OE，则四边形，都是直角梯形，如图. 正方形ABCD中，∵， ∴，. 在正方形中，∵， ∴，. 在直角梯形中， . 在直角梯形中， . 故这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为. 【点睛】本题考查求正棱台的高、斜高，解题关键是掌握正棱台中的两个直角梯形：两底面中心与一条侧棱的两个顶点构成直角梯形，两底面中心与在同一侧面的上下底两边的中点构成直角梯形． 17． 【分析】由题意可得三棱柱为直三棱柱，据此计算可求球的半径. 【详解】已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且 因为，，，所以球心在过的中点与平面的直线上， 同理可得球心在过的中点与平面的直线上， 又三棱柱的6个顶点都在球O的球面上， 所以可得平面，所以三棱柱为直三棱柱， 又，所以可将三棱柱补成一个长方体， 此长方体的外接球即为三棱柱的外接球， 设外接球的半径为，则， 所以，所以球的半径为． 18．(1) . (2) . 【分析】（1）作出圆台的轴截面图示，利用勾股定理计算相关长度；（2）将轴截面的梯形补形成三角形，利用相似的知识去计算出母线长. 【详解】（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，，分别为，的中点，作于点，连接. 由已知可得上底半径，下底半径，且腰长， ∴，即圆台的高为. （2）如图，延长，交于点，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，得，即，∴即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.    【点睛】本题考查圆台的相关量的简单计算，难度一般.处理圆台有关问题时一定要将圆台和圆锥联系在一起，有时利用圆锥能很方便解决圆台问题. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的知识求得几何体的高. （2）根据等腰三角形的知识求得侧面三角形底边上的高. 【详解】（1）正方形的边长为， 由于四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 所以四棱锥是正四棱锥，设，连接， 则平面，由于平面， 所以，由于， 所以, 即四棱锥的高为. （2）由于正四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 侧面三角形底边上的高为.    2 1 学科网（北京）股份有限公司 $