第五章一元函数的导数及其应用章末综合检测卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用 （2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册） 一、单选题 1．已知函数的导函数为，且满足，则（   ） A． B．0 C． D．-1 2．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则在上的极值为（   ） A． B．1 C． D． 4．已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 5．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8.已知函数在区间上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最大值为 C．1是函数的极小值点 D．3是函数的极小值点 10．已知函数是增函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11（2024高考·新课标Ⅱ）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题 12．若曲线与直线相切，则 ． 13．已知函数，若仅存在一个正整数，使得，则实数的取值范围为 . 14．（2023高考·全国乙）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数． (1)当时，写出函数的定义域并求这个函数的导数； (2)若曲线在点处的切线方程为，求a的值． 16．已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 17．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； 18．已知，． (1)当时，求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围． 19（2025高考·上海）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章一元函数的导数及其应用 （2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册） 一、单选题 1．已知函数的导函数为，且满足，则（   ） A． B．0 C． D．-1 【答案】D 【分析】首先利用导数公式求，再代入导数公式求的值. 【详解】，所以，得， 则，所以. 故选：D 2．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式即可写出切线方程. 【详解】设， 则， 当时，，， 所以曲线在处的切线方程为. 故选：B. 3．已知函数，则在上的极值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据极值的定义，结合导数的运算进行求解即可. 【详解】， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以在上的极值为， 故选：A 4．已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 【答案】A 【分析】利用导数来求出斜率，通过切线斜率来求切点坐标，再代入切线方程，即可求参数值. 【详解】由切线斜率，则，解得：或(舍去)， 因为，所以切点坐标为，代入切线方程得：， 故选：A. 5．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可. 【详解】，则， 由题意方程应有两个不相等的正实根。 法1：即方程：应有两个不相等的正实根, ,即的取值范围是。 故选：A 法2：即有两个不同的正根， 记， 当时，函数单调递增，在时，函数单调递减， 所以当时，函数有最大值，且， 所以当时，有两个不同的根， 等价于直线与函数有两个不同的交点，如图， 所以. 故选：A 6．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 7．已知函数，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，令， 利用导数判断的单调性，从而可得，进而可得函数值的大小． 【详解】∵， ∴，∴是偶函数， ， 当时，，故函数在上单调递增， 令，则， 即函数在上单调递减，故， 即，而， 所以， ∴． 故选：C． 8.已知函数在区间上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数与函数性质的关系，分类讨论的取值范围，分析得的最值，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，则，所以在单调递增， 此时函数最小值为，解得，与矛盾，舍去； 当时，令，得；令，得； 所以在上单调递减，在单调递减增， ①当时，在区间上单调递增， 所以最小值为，不符合题意舍去； ②当时，在上先减后增，所以最小值为，解得； ③当时，在上单调递减， 所以最小值为，解得，不符合题意，舍去， 综上所述. 故选：D. 二、多选题 9．定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最大值为 C．1是函数的极小值点 D．3是函数的极小值点 【答案】AC 【分析】根据图像的符号确定函数的单调性，根据单调性比较大小，判断极值、最值即可逐项判断． 【详解】由图可知，当时，， 所以函数在上单调递增， ，故A正确； 由函数在上单调递增，， 则不是函数的最大值，故B错误； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以1是函数的极小值点，故C正确； 由图可知的左右两侧，所以3不是函数的极值点，故D错误． 故选：AC． 10．已知函数是增函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数导数和函数单调性之间的关系，通过函数单调性，判断导函数值恒大于0，进而根据二次函数性质，判断结果. 【详解】由题意知函数定义域为，个 由可得， 当函数在单调递增时，即二次函数在上恒大于或等于0， 则必有，所以A，C正确； 如图，当时也满足题意， 所以，，B错误，D错误； 故选：AC. 11（2024高考·新课标Ⅱ）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项： 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 三、填空题 12．若曲线与直线相切，则 ． 【答案】1 【分析】由题意，然后求出斜率为时的，从而可求解. 【详解】因为，所以．直线的斜率为1， 令，解得，，所以，解得． 故答案为：. 13．已知函数，若仅存在一个正整数，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】对函数求导，分析函数的单调性，结合仅存在一个正整数，使进行分析求得参数范围即可. 【详解】已知，， 当或时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在时，在递减，递增，最小值为. 因为仅存在一个正整数，使，则这个正整数只能是， 因此需满足，代入得 解得. 故答案为： 14．（2023高考·全国乙）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．已知函数． (1)当时，写出函数的定义域并求这个函数的导数； (2)若曲线在点处的切线方程为，求a的值． 【分析】（1）先根据对数的意义求函数的定义域，然后由导数乘法公式求导数； （2）通过切点在切线上和函数的导数值等于切线的斜率，联立方程组求解即可. 【详解】（1）当时，函数，其定义域为. 求导得； （2）由题意，切点 在切线 上，得 ， 由函数定义得 ，故 ①，切线斜率为 ，即 ， 由 得 ，故 ②， 将①代入②得 ，解得 . 16．已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 【分析】（1）求导，根据两直线垂直得到切线斜率，由导数几何意义得到方程，求出； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. 【详解】（1），则， 由题意可得， 解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 17．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，根据切点坐标可得结果； （2）求导后，根据正负可得函数单调性，进而确定最大值为. 【详解】（1）当时，，则， ，， 在点处的切线方程为：，即. （2）， 的定义域为，， ，，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，. 18．已知，． (1)当时，求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围． 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的极值与导数的关系，即可求得答案； （2）先判断出，即可将方程有两个不等实根，转化为与有2个交点的问题，结合函数的导数判断函数单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为R，， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为，无极大值． （2）方程，当时，显然方程不成立， 所以，则，方程有两个不等实根， 即与的图象有2个交点， ，当或时，， 在区间和上单调递减，且时，， 当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得极小值也即最小值，， 所以与有2个交点时，， 故a的取值范围为． 19（2025高考·上海）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，所以函数在上递减； 时，，所以函数在上递增。 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，，所以函数在上递减； 时，，所以函数在上递增。 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，所以函数在上递增。 所以函数无极值点，舍； 若即，则时，，所以函数在上递减； 时，，所以函数在上递增。 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且，即m的取值范围是。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $