课时分层检测(38)平面向量基本定理及坐标表示-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

课时分层检测（三十八）平 …0知识过关0。 一、单项选择题 1.(2025·西安质检)设k∈R,下列向量中可与向 量q=(1,一1)构成一个基底的是 () A.b=(k,k) B.c=(-k,-k) C.d=(k2+1,k2+1)D.e=(k2-1,k2-1) 2.(2025·嘉兴调研)已知向量a=(-1,2),b (m,1).若a+2b与2a-b平行，则实数m= A-昌 c多 7 D.2 3.已知向量a与b的方向相反，b=(一2,3)，a|= 213,则a等于 ( A.(-6,4) B.(-4,6) C.(4,-6) D.(6,-4) 4.(2025·武汉模拟)在△ABC中，M为AC的中 点，若AB=入BM十4BC(入，∈R),则下列结论 正确的是 A.入十=1 B.入-4=3 C.λ+2u=0 D.2λ-u=0 5.如图，在正方形ABCD中，E,F D 分别为边BC,CD的中点，若AG -号A店+名A心，底=XE成，则 入等于 A b. c号 n.是 6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°， AB=BC=1,以AC为直径的半圆 上有一点M,BM=入BC+B入BA (入≠0)，则入等于 ) A.3+1 B3+1 4 2 c. D.3 面向量基本定理及坐标表示 二、多项选择题 7.(2025·长沙模拟)下列命题中正确的是( A.若p=x十b,则p与a,b共面 B.若p与a,b共面，则存在实数x,y使得p= xa+yb C.若MP=xMA+yMB,则P,M,A,B共面 D.若P,M,A,B共面，则存在实数x,y使得MP =x MA+yMB 8.(2025·德州模拟)已知O为坐标原点，A(2, -1),B(1,2),则 ( A.与AB同方向的单位向量为 R若A庐=2P.则点P的坐标为号0） C.若a=(1,-3),则a∥AB D.若C(1,一3)，则四边形OBAC为平行四边形 三、填空题 9.(2025·淄博模拟)若{，}是平面内一个基底， 向量Y=x+B(x,y∈R),则称(x,y)为向量Y 在基底{a,B}下的坐标.现已知向量a在基底{p, 9},p=(1,-1),9=(2,1)下的坐标为（一2,2）， 则a在基底{m,n},m=(一1,1)，n=（1,2)下的 坐标为 10.已知向量a=(-1,4),b=(3,-2入)，若a∥(2a 十b),则入= 11.如图，已知平面内有三个向量 B OA,OB,OC,其中OA与OB的 →A 夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|= 1OB1=1,1OC=23.若OC=λOA+uOB(, ∈R),则入十= 12.(2025·杭州模拟)若在△ABC中，AB=√2， ∠ABC=T,BC=3,AD为BC边上的高，0为 AD上靠近点A的三等分点，且AO=入AB十 AC,其中入，∈R,则入一2= 四、解答题 :14.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, 13.(2025·汉口模拟)已知A(-2,4),B(3,-1), b,c,已知m=(2sin(A+C),3),n=(cos2B, C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM 3c,CN=-2b. 2os号-1），且m/n (1)求3a+b-3c; (1)求角B的大小； (2)求满足a=mb十nc的实数m,n; (2)若b=1,求△ABC面积的最大值 (3)求M,N的坐标及向量MN的坐标. …0 能力拓展0 15.(2024·合肥模拟)古希腊数 学家特埃特图斯(Theaete- tus)利用如图所示的直角三 角形来构造无理数.已知AB =BC=CD=1,AB⊥BC, AC⊥CD,AC与BD交于点 O,若DO=入AB十uAC,则入十u等于 ( A.√2-1 B.1-2 C.√2+1 D.-√2-1 16.(2025·九江模拟)在矩形ABCD中，AB=1, AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切 的圆上.若AP=入AB十4AD,则入十4的最大 值为 2987.ABC[对于A,QC-QP+成=P元+C0= PQ,符合题意；」 对于B,AB+(PA+BO)=(PA+A正)+ BQ-PB十BQ-PQ,符合题意： 对于C,(AB+PC)十(BA-QC)=(AB+ BA)十(CQ-CP)=0+PQ=PQ,符合 题意： 对于D,PA+A-B成=P店-B戒≠P戒，不 符合题意.] 8.ABC[AB∥CD,AB=2DC, C-扇++元-A花+A茹+号A成- 合应+立.就A正确： :B元=3元，酝=号成=-}A店+ 号花。 :A店=A店+眩=A店+(-子A店+ 号动)号+号茹， 又F为AE的中点∴A亦-花-子A+ 子心，故B正确； “-A+A=A店+A成+A= 号花+宁市故C正确： 市-成+萨--B元-号A店+ 合花-(-峦+ò)-合店 号市故D错误门 9.(1)AB,(20[(1)原式=AB+B0+OM+ MB-AB. (2)原式-NP+PN-0.] 10.20240[当单位向量e1,e2…,e224方 向相同时， e1十e2十…十e224取得最大值， e1+e2+…+e2o24=e,+e2|+…+ e2024 =2024: 当单位向量e1,e2…e224首尾相连时， e1+2+…十e2024=0, 所以e1十2十…+e2024的最小值为0.] 1山.号[在△ABC中，B苏-2元， 则AP=AB+B驴=A店+号BC -A店+是(AC-AB)-AB+号A花. 又AP=AAB十4AC,且AB,AC不共线， 则入=号-子 2 所以2x十-亭.] 12.3[因为BE-EC, 所以A正-A弦+成-A正+心， 又因为CD=2CF, 所以亦-AD+D萨-号+A心. 所以A正+1=多店+AD1- 是1C. 又因为∠BAD=120°，所以∠ADC=60°， 所以△ADC为等边三角形，所以AC= AD=2, 所以A正+A=号A=是×2=3.] 13.解(1)依题意，设EV=1EF, CN-CE+EN-CE+EF-CE+(CF CE)=1-DCE+C市--2AB 3 子茹， 又CN=AA+AD 所以2 1-t 第得+以-一子 μ=-3· (2因为A心=A店+A心，A正=号A店+ AD,A市=AB+2AD. 所以证+萨=吾应+动)-号花， 所以C-号a+b 14.(1)解在△ABC中，因为A店=a,AC=b, 所以BC-AC-AB-b-a, 茹-+成-脑计武 -a+b-a)-子a+b, 酝-Bi+A正--AB+子AC--a+ 专b, (2)证明因为BE=-a十子b, 成-成+萨-+号动 =-a+号(a+宁)=-+b -(a+ 所以B亦-号B配，即B驴与B配共钱，且有公 共，点B,所以B,E,F三，点共线 15.C[如图， :OA+3OB+4O元 =0, -0i-号0i+ B 号成， 设-0i-0成， 则Oi=是O成+O元，即B,C,D三点 共线， :.1op1Samc1 ADS△ABC8' S%x=4X-合J 6号[法-易知励-市 CB,因为2BD-CB+入CA,所AB 以2(CD-CB)=CB+ACA, 得Ci=C+含.因为A,B,D三点 2 美线，所以受十合=1，所以=-1.由 2BD-CB-CA,得2BD-AB,即AB- 子AD,由△ACB和△ACD同高，所以 SLAB2 S2AD-3. 法二因为A,B,D三点共线，所以存在 唯一非零实数，使得BD=4AB.易知AB =CB-CA,所以BD=4AB=4CB- uC.又由已知得BD-C店+合C,所以 —487 =子，-=合，所以入=-1则2前- -C,可得2成-忘，AB=号AD.由 △ACB和△ACD同高，片以受 课时分层检测（三十八） 1.C[对于选项A,B,若k=0,则b=(0,0), c=(0,0),均不满足构成基底的条件，所以 A,B不符合题意：对于选项C,因为Hk∈ R,k2+1≠0，且(k2+1)×(-1)-(k2+1) ×1=-2(k2十1)≠0恒成立，所以d与q不 共线，满足构成基底的条件，所以C符合题 意：对于选项D,若k=士1，则e=(0,0),不 满足构成基底的条件，所以D不符合题意. 故选C.] 2.B[已知向量a=(一1,2)，b=(m,1), 得a+2b=(-1,2)+2(m,1)=(2m-1, 4), 2a-b=2(-1,2)-(m,1)=(-m-2,3). 由a十2b与2a-b平行， 有3(2n-1)-4(-m-2)=0,解得n= 3.C[,a与b的方向相反， .a=Ab(A<0). 设a=(x,y),则(x,y)=1(-2,3), 于是{22x…由a=2W. 1y=3， 得x2+y2=52,即42+9λ2=13λ2=52， ∴.2=4， 又<0，∴.入=-2，.a=(4,-6).] 4.C[因为M为AC的中点，所以BM- BA+号B元，所以A店=-2BM+B元，又 AB=ABM十4BC(A,4∈R),所以A=-2, u=1,所以入十2=0，故选C.] 5.C[如图，建立平面直角 坐标系，设正方形ABCD 边长为6， 则B(6,0),D(0,6),C(6 6),E(6,3),F(3,6), :店=号店+骨 号6.0+名(0,6)-4.5… G(4,5),EG-(-2,2),EF-(-3,3), 武-号成以-是] 6.A「以B为原点，BC,BA 所在直线分别为x轴、y 轴建立如图所示的平面直 角坐标系. 则A(0,1),C(1.0),AC=√2， 设D为AC的中点，则以 AC为直径的圆的圆心为AC的中点D () 则以AC为直径的圆的方程为 (-)+(-)- 设M(x,y), 则BM-(x,y),BC=(1,0),BA-(0,1), BM-λBC+√5aBA=(A,N3X), 所以∫r=, y=√3 由点M在国(x-合)+(-合) 2上. 可得(a-)+(a-)= 即42-(1十√3)1=0， 解得A=5+1或A=0(合去).] 7.AC[对于B,若a,b共线，p与a,b不共 线，则不存在实数x,y使得p=xa十yb,故 B错误；对于D,若M,A,B共线，P在直线！ AB外，则不存在实数x,y使得M币= xMA十yMB,故D错误；由平面向量基本 定理知A,C正确.] 8.ACD[因为AB=(-1,3),AB1=√10， 所以与AB同方向的单位向量为一 1 1o1 设P(x,y),由AP=2PB,得(x-2,y+1) =21-,2-所以二220-)解 1y+1=2(2-y), 4 得{二云·所以P(合选项B错误：因 y=1, 为a=(1,-3),AB=(-1,3),AB=-a,所 以a∥AB,选项C正确；因为OB-(1,2), CA=(1,2),所以OB=CA,又显然O,B,C 不共线，所以OB∥CA且OB=CA,所以四 边形OBAC为平行四边形，选项D正确.故； 选A、C、D.] 心公及。在老-的装提为 m+m=(-x+y,x+2y),所以 {x十y一2即{江=0所以a在基底《m, x+2y=4, y=2, n}下的坐标为(0,2)，] 10.6[向量a=(-1,4),b=(3,-2入)， 则2a+b=(1,8-2), 由a∥(2a+b),得4=-8+2λ， 解得λ=6.] 11.6[方法- 如图，作 平行四边形OB1CA1, B 则OC-OB1+OA1, 因为OA与0B的夹角为120°， OA与OC的夹角为30°， 所以∠B1OC=90° 在Rt△OB1C中，∠O0CB1=30°，1OC1= 2√5， 所以OB1|=2,|B1C1=4, 所以OA1=|B1C=4, 所以OC=4OA+2OB,所以A=4,4=2, 所以入十4=6. 方法二以)为原点，建 立如图所示的平面直角 B、 坐标系， OA 则A(1,0),B（-立， 9).c8w. 由OC-aOA+uOB, (3=X-2…g 得 - 解得1=4， (4=2. 所以入十2=6.] 12.0[由题意可知， B D 在R△ABD中，AB=区，∠ABC-干， 所以BD=1,所以BD=子BC, 所以A访-子市-子(+ò =吉(+号)=号+合耐+ A心-号店+号A心， 又因为AO=入AB+uAC, 所以一号以- 1 9 所以-=号-号=0] 3.解由已知得a=(5,-5),b=(-6, -3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3) 3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)法一 mb+c=(-6n+,-3m+ 8), 05拆释 =-1. 法二，a十b十c=0,∴.a=-b-c, 又：a=mb十心，.mb十c=-b-c, (3)设0为坐标原点， .CM-OM-OC-3c. ∴.OM=3C+OC=(3,24)+(-3,-4)= (0,20). ,∴.M(0,20). 又：Ci=0N-0元=-2b, .ONV=-2b+0C=(12,6)+(-3,-4)= (9,2), N(9,2),.MN=(9,-18. 4.解(1)由于m∥n, 所以2aA+0×(2如号-）-5s2B 即2 sin Bcos B=√3cos2B, 即sin2B=√5cos2B,tan2B=√5， 由于B是锐角，所以0<B<受，0<2B<。 所以2B=，B=吾 (2)依题意，B-吾b-1. 由正定理得品A品BC 1 即snA sin 6 sin C' a=2sin A,c=2sin C, 1 所以SAA度=立ucsin B=-sin Asin C -sin Asin(A+B)-sin Asin(A+若） 号A+in Acos A -9×1上24+×2A 2 2 cos 2A+3 4 A 如(A)+ 由于 <A<2 所以 > <A 2 A+6> 所以<2A<元， 3 ,T<2A- < 488 所以当2A-吾-受，即A-登时，5aC 取将景大值为宁+9-2牛 15.A[以C为坐标原点， CD,CA所在直线分别 为x,y轴建立如图所 示的平面直角坐标系 由题意得AC=√2， 则A(0,√2)，B 2 2),C(0,0),AB= 2 (0,-√2). 因为CB=CD=1,∠DCB=90°+45°= 135°，故∠BDC=22.5°， 因为tan45°= 2tan22.5° 1-tan222.5 =1 所以tan22.5°=√2-1， 所以OC=DC·tan22.5°=√2-1， 故0(0，√2-1). 又D(-1,0),则D0=(1,√2-1)， 因为成-x峦+就-（竖，-号 1= ② 所以 2, W2-1=- 解得1=②， (4=-1 所以A十4=√2一1.] 16.3[如图所示，以A为原点建立平面直角 坐标系，B(1,0),D(0,2),C(1,2), Y 直线BD的方程为BD: y=-2x+2, ⊙C方程为：(x-1)2十(y-2)2=2, 又AB=(1,0),AD=(0,2), 则AP=AAB+4AD=(A,24), 圆与直线BD相切，则半径r= 2 P点坐标可表示为 x=1+rcos0=λ，y=2+rsin0=24, 剥A+A=2+乞sin0叶ros0 =2+sin(0+g). 2 当sin(0+g)=1时，有最大值，为 +号×后8 课时分层检测（三十九） 1.A[(a-b)·(b-2a)=a·b-2a2-b2+ 2a·b=3a·b-b2-2a2=3×4×1× (-）1-2×16-36.] 2.C[由题意，得c=a十b=(3十t,4), 所以a·c=3×(3+t)+4×4=25十3t, b·c=1×(3十t)十0×4=3+t. 因为(a,c〉=(b,c〉， 所以cos(a,c〉=cos(b,c》, 中日后一合治即25时=3+，解将 b·c 5 t=5.]