课时分层检测(20)导数的概念及其意义、导数的运算-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

5.C[若购物总额为78元，则应付款 78一5=73（元），故A正确； 若购物总额为228元，则应付款 :12 228×0.9=205.2(元)，故B正确； 若购物总额为368元，则应付款 300×0.9+68×0.8=324.4(元)，故C 错误： 若购物时一次性应付款442.8元，则包含购： 物总额300元应付的270元，还有172.8元！ 对应的购物额度1728=216（元），因此购 0.8 物总额为300十216=516（元），故D正确.] 6.D[由题意，f(x)=log.[k(x+1)2]= logak +2loga (+1), 由f(2)=2,f(8)=3 logak+2log (2+1)=2,logk +2log (8+ 1)=3, 两式相减得1og9=1,则a=9, 所以logk十2=3，得k=9. 该住房自装修完成后要达到安全入住的标： 准，则需0.48-0.1f(x)≤0.08，即f(x)≥4， 即1+21og9(x+1)≥4，解得x≥26， 故至少需要通风26周.故进D.] 7.BD[在A中，甲在公园休息的时间是 10min,所以只走了50min,A错误：由题中 图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间 比从公园到乙同学家所用的时间长，而距 离相等，所以甲从家到公园的速度比从公 园到乙同学家的速度慢，C错误：当0≤x 30时，设y=kx(k≠0)，则2-30k,解得k=13 5D正确.] 8.ACD[由题意可知，四等奖比五等奖的面 值多20元，因为100÷20=5， 所以ea+6十)-(ea+6+) (eta+b十k)-(ea+b+k) =e-a=5, 则a=一ln5,故A正确； (ea)-(eta)=e+b (1-e) =100, 可知e3a+b=125. 因为四等奖的面值是五等奖面值的3倍，所， 以eta+b十k=3(eia+b十k),解得k=5,故B 错误： 则三等奖的面值为e3a十6十k=125十5= 、 130(元)，故D正确； 由ee+b+k=e3a+b·e2a+k=125X25+ 5=3130, 故一等奖的面值为3130元，故C正确.] 9.11.1[结合已知条件可知，某人坐出租车 走了12km,应付6+(10-3)×0.5+(12 10)×0.8=11.1(元).] 10.48800[设AB=xmx>0,则BC=: -m, 这样的一个工作房的总造价为2×3r×:14 800+2×6×3×1200+20000=4800x+ 43200+20000, 因为4800x+4320+20000 ≥2，/4800x.4820+20000=48800. 当且仅当4800z=48200,即工=3时，等 x 号成立， 所以一个这样的工作房的总造价最低为 48800元.] kP 1.462[由题意得，f(60)-1十g≈ kP k=279=0.465, 6 f(100)-0.465X400 186 1+1g1011+1g100+1g1.01! ≈186=62， 3 ,该学生在高考中可能取得的总分约为！ 当t=8√2，即x=128时，y取最大值88. 400+62=462. 因为88-(26+16√15)=2×(31 8[过滤第1次污染物的含量为 1.2×(1-0.2)(mg/cm3); 8/15)>0, 过滤第2次污染物的含量为1.2×(1 故f(x)的最大值为88. 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资 0.2)2(mg/cm3); 112万元时，总收益最大，且最大收益为 过滤第3次污染物的含量为1.2×(1 88万元. 0.2)3(mg/cm3); 课时分层检测（二十） 过滤第n次污染物的含量为1.2×(1 1.D[y=4t,当t=3时，y=4×3=12(m/s), 0.2)r(mg/cm3). 所以物体在t=3s时的瞬时速度是12m/s, 要求废气中该污染物的含量不能超过 故选D门 0.2 mg/cm 2.B[从函数的图象可知，函数值在[2,4]上 则1.2(1一0.2)0.2，即 () 的增长越来越快，故函数在[2,4]上各点处 ≥6， 的斜率也越来越大.因为f)二(2=a, 42 两边取以10为底的对数可得lg 4 所以f(2)<af(4),故选B.] 3.A[导数的几何意义（理性思维、数学应用） lg 6, 即lg 5×2 f(x)= (e2+2cosx)(1+x2)-(er+2sinx）·2x ≥1g2十lg3,所以n (1+x22 1g 2+1g 3 所以f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在点(0 1)处的切线方程为y-1=3(x一0)，即3x 1-31g2 y十1=0，切线与两坐标轴的交点分别为 因为lg2≈0.3,1g3≈0.477 所以1g2+lg3≈0.3+0.477 =7.77, (0,1), 3,0,所以切线与两坐标轴所 1 1-31g2 1-3×0.3 所以≥7.77， 围成的三角形的面积为X1×-合， 又n∈N",所以1mn=8, 故排放前需要过滤的次数至少为8.] 故选A.] 解(1)当x∈[0,16]时， 4.C[过点P作曲线y=lnx一x2的切线， 设函数f(x)=b(x-12)2+84(b0), 当切线与直线：x十y一4=0平行时， 因为f(16)=b(16-12)2+84=80, 点P到直线l:x十y一4=0的距离最小 1 1 设切点为P(x0yo)(x0>0), 所以b= ,所以f(x)= 4 (x-12)2+ 又y= 上一2x,所以切线斜率k= 1一2x0” 84: 当x∈[16,40]时，f(x)=log0.8(x+ 由题意知 -2x0=-1, 0 a)+80, 由f(16)=1og0.8(16+a)十80=80，解得 解得x0=1或x。=一 a=-15, 所以P(1,-1), 所以f(x)=log0.8(x-15)+80, 此时点P到直线l:x十y一4=0的距离d= 综上，f(x) 一4 (.-12)2+8M.x∈「0,167. 11-1-4=22.] (1eg.8(x-15)+80,x∈[16,40]. 2 5.B[由y=e+1,可得y=e: (2)当x∈[0,16]时，令f(x)= 4 由y=e+1,可得y'=e+1, 12)2+84≤68， 设两个切点分别为(x1,e,+1)和(x2, 即(.x-12)2≥64，解得x≤4或x≥20（舍 e2+1), 去)， 直线I的斜率k=e=e+1, 所以x∈[0,4]： 故x1=x2十1，即x1≠x2 当x∈[16,40]时，令f(x)=logo.8(x 15)+80≤68，得x≥15十0.8-12≈29.6， 所以---1 所以x∈[30,40]， 即直线L的斜率为1.] 所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为！6.D[,'(x)=2im@x十2ma一3， 4-0+40-30=14(分钟). 解(1)当x=128,即甲城市投资128万 ∴f(1)=2ima+2sime-3. -1≤sina≤1，.2-1≤2na≤2， 元时，乙城市投资112万元， 则2ina十2sina≥2√2ma·2sma-2,当 所以f128)=4X2x12题-6+×112+ 且仅当sina=0时等号成立， 2=88(万元). f(1)的最小值为一1， 因此，此时公司的总收益为88万元 易得f(1)的最大值为2+2-1-3<0， (2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城！ 市投资(240一x)万元， c[要故选D] (x≥80， 依题意得{240-x≥80， 7.BCD[由图知f'(2)>f(3)>0,故A错 误，B正确. 解之得80x160, 设A(2,f(2)),B(3,f(3)), 当80≤x<120,即120<240一x160时 则f3)-f(2)=f3）二f2-kB, f(x)=42x-6+32=4√2x+26< 3-2 26+16√/15： 由图知f(3)<kAB<f(2), 当120x≤160，即80240-x120时， 即f'(3)<f(3)-f(2)<f(2),故C、D 正确.门 fx)=4V2反-6+(240-)+2= 8.BCD[对于A,f(.x)=cosx十sinx, 1 1x+4√2x+56. (r)--sin ++cos --2sin 令t=√x,则1∈[2W30,4√10]， 所以y-2+4+56=-( 当xe(0,）时，sim(x-)<0: 8√2)2+88. f产()=-Esim(x-）>0，故A错误 470 对于Bf()=是-3f(x)=-之<0在 (0,受）上恒成立，故B正确： 对于C,f(x)=-3x2+3,f(x)=-6x<018 在(0，受）上恒成立，故C正确： 对于D,f(.x)=ei-xer=(1-x)e', f"(x)=-e-x-(1-x)e-x=-(2 r)ez, 因为x(0,）所以2-x>0, 所以fr=-(2-e<0在(0，登)月 上恒成立，故D正确.] 9.1[由画数fx)=2+是求导得f'(x)= 2x- 依题意，m=f(1)=2-a. 又点P(1,f(1)在直线y=mx+n上， 所以f(1)=1十a=2m, 14 因此1十a=2(2-a),解得a=1.] 10.y=x3十x(答案不唯一）[：y=sinx的！ 导函数为y'=Cosx, 又y=sinx过原点， ∴.y=sinx在原，点(0,0)处的切线斜率k= cos 0=1, y=sinx在原点(0,0)处的切线方程为 y=I. 所求曲线只需满足过，点(0,0)且在x=0处！ 的导数值y=1即可，如y=x3十x, y=3x2+1, ∴.y=x3十x在原点处的切线斜率为1， 又y=x3十x过原点， ∴y=x3十x在原点(0,0)处的切线方程为1 y=r.] 11.(-∞，-1)U(3,十∞)[因为f(x)= 2-ar2+(号a+)r(a∈R,所以 f()-3r2-2ac+号a十1，因为曲线y- f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关 于x的方程f(r)=3r-2ax+子a+ 1=0有两个不相等的实根，则△=4a2一1 12(号a+1)>0,即心-2a-3>0,每得 a>3或a<-1,所以a的取值范国是 (-∞，-1)U(3,+).] 12.4[由已知得，曲线的切线过点(0,0)， e 当x>0时，曲线为y-ax十2lnx, 设工>0，直线y=k1x在曲线上的切点为 （a1+2my1-5=a+2 ∴.切线方程为y-(ax1+2hx1)=a+ 又切线过，点(0,0)， a41-2m-(e+号水- -e-a+2 同理，当x<0时，曲线为y=ax十2ln(-x),!16 设工2<0，直线y=k2x在曲线上的切点为 a+21h(-)y1x-与=a+2, 切线方程为y-[ar2十21n(-2门=（a +2）x-) x2) 又切线过点(0,0)， -ar2-21n(-x2)=（a+2）(-x2), M(0,ex1-e+1), 所以|AM=√J+(ex)卫-√1+e·| ∴.x2=-e,k2=a 2,k1-k2= x1, 解(1)因为(x)=3.x2一8x+5, 同理|BN|=J1+e,·|x2|, 所以f(2)=1, 所以 AM √1+e2x·lx1 1+e2 又f(2)=一2，所以曲线f(x)在，点(2， BN √1+·|2 V1+e2 f(2))处的切线方程为y一（一2）=x一2， 即x一y一4=0. 1+2x (2)设，点坐标为(x0,xi一4x十5.x0一 V1+e-2r =e1∈(0,1).] 4), 课时分层检测（二十一） 因为f'(xo)=3.x号-8x0十5， 所以切线方程为y-(-2)=(3品-8x0十1. f(x)=2x-sin x, 5)(x-2), ∴.f(x)=2-cosx>0在(-∞，十∞)上恒 成立， 又切线过，点(x0,x8-4x品十5x0-4), .f(x)在（一∞，十∞）上是增函数.] 所以3-4品+5-2=(36-8。+5)·2.D[由f(x)的图象可知，f(x)在(-0,0) (x0-2), 上为单调递减函数，故x∈（一，0）时 整理得(x0-2)2(x0-1)=0, f(x)<0,故排除A,C:当x∈(0，十∞)时 解得x0=2或x0=1, 函数f(x)的图象是先递增，再递减，最后再 所以经过，点A(2,一2)的曲线f(x)的切线 递增，所以f(x)的值是先正，再负，最后是 方程为x-y-4=0或y十2=0. 正，因此排除B,故选D.] 解 (1)方程7x-4y-12=0可化为y= 3.C[由题意知，f(x)=a.x2十2x+1, 1x3, 若f(x)在R上单调递增，则f(x)≥0恒 成立， 当r=2时y=号 则a>0, 1△=4-4a0, 解得a≥1， 又片f(x)=a+2 故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要 不充分条件，] 1 2a- 2=2 4.C[依题可知，f'(x)=ae 1≥0在(1 b 7 解得∫a=1, b=3. a+4 2)上恒成立，显然a>0, 4 3 所以re≥】在(1,2)上恒成立， ∴.f(x)=x一 a (2)设P(x,yo)为曲线y=f(x)上任 设g(x)=xe,x∈(1,2)， 一点， 所以g'(x)=(x+1)e>0, 所以g(x)在(1,2)上单调递增 由y'=1+ 广知曲线在点P(0)处的切 3 g(x)>g(1)=e,故e≥ 线方程为y一一 (x 即a≥1 =e1,即a的最小值为e1.] 5.B[函数fx)=2x3-ax+6,则f(x) 6 令x=0,得y= 6x2 ∴.切线与直线x=0的交点坐标为 当a0时，f(x)≥0恒成立，函数f(x)在 其定义域内单调递增。 当a>0时，令f()-0,解得x-±√合， 令y=x,得y=x=2x0 ,切线与直线y=x的交点坐标为(20 当x(√，+∞）时，f(x)>0,数 2x0). ,.曲线y=f(x)在，点P(xo,y0)处的切线 f(x)递增. 与直线x=0和y=x所国成的三角形的 ,函数f(x)的一个单调递增区间为[1， 面积S=1 6 2 ·12xo=6. Lo 十o),故得合-1，解得a-6: 故曲线y=f(x)上任一，点处的切线与直线 1 ·x∈(-1,1)时，f(x)<0,函数f(x)单调 x=0和y=x所国成的三角形面积为定 递减， 值，且此定值为6. !6.AD[三次函数的单调性、零点个数、极值 C[如图所示，若使 点十曲线的对称性 PQ取得最小值，则 ⊙ -sin 由题可知f(x)=6x(x-a). 曲线y -sinx(.x∈ 3-2y-6=0 ; 对于A,当a>1时，由f'(x)<0得0<x< [0,π])在点P处的切 a,由f(x)>0得x<0或x>a,则f(x)在 线与直线x-2y-6 (一∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递减 =0平行，对函数y=一sinx求导得y'= 在(a,十∞)上单调递增，且当x→一∞时， -cos,令y=2,可得osx= 2,因 f(x)→-∞，f(0)=1,f(a)=-a3+1<0 当x十∞时，f(x)→十∞，故f(x)有三个 为0≤x≤π，解得x= 2π.故选C.] 零点，A正确： 对于B,当a<0时，由f'(x)<0得a<x (0,1)[由题意得，f(x)=|ex-1|= 0,由f'(x)>0得x>0或xa,则f(x)在 1-e2,x<0, ∞，a)上单调递增，在(a,0)上单调递减， 1ex-1,x≥0， 在(0，十∞)上单调递增，故x=0是f(x)的 则f()-{eo. 极小值点，B错误： ex,x≥0， 对于C,当x→十∞时，f(x)→十∞，当x→ 所以点A(x1,1一e1)和，点B(x2,e一1)， 一∞时，f(x)一∞，故曲线y=f(x)必不 存在对称轴，C错误； kAM=一e'1,kBN=e2, 所以-e1·e2=-1,x1十x2=0, 对于D,解法一（配方、平移）f(x)=2.x3 所以AM:y-1十e=-e(x-r1), 3a2+1-2(x-号）-号(x-号） 471课时分层检测（二十） 导数的概念及其意义、导数的运算 二、多项选择题 …0知识过关0… :7.(2025·成都一模)已知函数f(x)的图象如图， 一、单项选择题 1.(2025·通州一模)某物体做直线运动，位移y(单 f'(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是 位：m)与时间t(单位：s)满足关系式y=212十1， 那么该物体在t=3s时的瞬时速度是 ( ↑fx) A.2 m/s B.4 m/s C.7 m/s D.12 m/s 2.已知函数f(x)在R上可导， O123 其部分图象如图所示，设 A.f(3)>f(2) 4)二2)=，则下列不等八 4-2 2 B.f(3)<f(2) 式正确的是 () C.f(3)-f(2)>f(3) A.a<f'(2)<f'(4) D.f(3)-f(2)<f'(2) B.f'(2)<a<f'(4) 8.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f'(x)存 C.f(4)<f'(2)<a D.f'(2)<f(4)<a 在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在 3.(2024·全国甲卷·文)设函数f(x)= D上存在二阶导函数，记(x)=(f(x)′，若 十2sin工，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线 (x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸 1+x2 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ( 》 函数，以下四个函数在(0，)上是凸函数的是 a方 c n号 A.f(x)=sin x-cos x B.f(x)=In x-3x 4.若点P是曲线y=lnx-x2上任意一点，则点P C.f(x)=-x3+3.x-1 到直线1：x十y-4=0距离的最小值为( D.f(x)=xe a A号 B.√2 三、填空题 C.2√2 D.42 5.直线l与曲线y=ex十1和y=e2+1均相切，则1 9.若函数(x)=2+是的图象在点P(1,f(1)处 的斜率为 ( 的切线方程为y=m.x十m,则实数a= A吉 B.1 10.请写出与曲线y=sinx在原点(0,0)处具有相 同切线的另一个函数 C.2 D.e 6.(2025·湖南三湘名校联考)设函数∫(x)= 11.(2025·西安一模)已知函数f(.x)=x3-ax2+ 2ina-1x2+(2ima-3)x的图象在点(1，f(1) 处的切线为1，则1的倾斜角0的最小值是 (层a十)xa∈R),若面线)=x)存在两条垂 直于y轴的切线，则a的取值范围为 A :12.已知直线y=k1x与y=k2x(k1>k2)是曲线 y=ax十2lnx|(a∈R)的两条切线，则k1一k2 c 3π D. 268 四、解答题 13.已知函数f(x)=x3-4x2+5.x-4. 14.设两数f(）)=ax-2,曲线y=f(x)在点 (1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2,f(2))处的切线方程为7x-4y一12=0. (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线： (1)求f(x)的解析式； 方程. (2)证明曲线∫(x)上任一点处的切线与直线 x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定 值，并求此定值. 0 能力拓展。… 15.已知P是曲线y=-sinx(x∈[0，π])上的动 点，点Q在直线x-2y-6=0上运动，则当|PQ 取最小值时，点P的横坐标为 () A. B.Z C. D. 16.(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=|e-1, x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1) 和点B(x2,f(x2)的两条切线互相垂直，且分 别交y轴于M,N两点，则A的取值范围 BN 是 269