课时测评20 导数的概念及其意义、导数的运算（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评20　导数的概念及其意义、导数的运算 (时间：60分钟　满分：88分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.已知函数f(x)可导，则 (　　) A.f'(x) B.f'(2 025) C.f(x) D.f(2 025) 答案：B 解析：因为函数f(x)可导，所以f'(x)，所以f'(2 025).故选B. 2.(2025·安徽宣城模拟)已知函数f(x)的导函数是f'(x)，且满足f(x)＝2xf'(1)＋ln ，则f(1)＝(　　 ) A.－e B.e C.－2 D.2 答案：D 解析：由题意得，f'(x)＝2f'(1)＋·'＝2f'(1)＋x·2f'(1)－，所以f'(1)＝2f'(1)－1，解得f'(1)＝1.所以f(x)＝2x＋ln，则f(1)＝2＋ln 1＝2.故选D. 3.若曲线y＝aln x＋x2(a＞0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题知，y'＋2x≥2(当且仅当2x时，等号成立)，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，则2，解得a.故选B. 4.(2025·江苏南京模拟)已知函数f(x)＝x(x＋2)－mln x的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则m的值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题知f'(x)＝2x＋2－，因为函数f(x)的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，所以f'2，即3－2m＝2，解得m.故选C. 5.(新定义)(多选)定义方程f(x)＝f'(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是(　　) A.g(x)＝x·2x B.g(x)＝－ex－2x C.g(x)＝ln x D.g(x)＝sin x＋2cos x 答案：ABC 解析：对于A，g'(x)＝2x＋x·2x·ln 2，由x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，解得x，所以g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；对于B，g'(x)＝－ex－2，由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，所以g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；对于C，g'(x)，根据y＝ln x和y的图象可看出ln x只有一个实数根，所以g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；对于D，g'(x)＝cos x－2sin x，由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，得3sin x＝－cos x，所以tan x＝－，根据y＝tan x和y＝－的图象可看出方程tan x＝－有无数个根，所以g(x)有无数个“新不动点”，故D错误.故选ABC. 6.(新定义)(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　) A.y＝cos x B.y＝ln x C.y＝ex D.y＝x2 答案：AD 解析：由题意，若y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)＝－1.对于A，因为f'(x)＝－sin x，存在x1，x2＝－，使得f'(x1)f'(x2)＝－1，故A正确；对于B，因为f'(x)＞0，不存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)＝－1，故B错误；对于C，因为f'(x)＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)＝－1，故C错误；对于D，因为f'(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f'(x1)f'(x2)＝4x1x2＝－1，故D正确.故选AD. 7.(2025·北京西城模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是　　　　　　. 答案：(e，1) 解析：设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n.又切线过点(－e，－1)，则n＋1.由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1). 8.(开放题)请写出与曲线y＝sin x在原点(0，0)处具有相同切线的另一个函数　　　　. 答案：y＝x3＋x(答案不唯一) 解析：因为y＝sin x的导函数为y'＝cos x，又y＝sin x过原点，所以y＝sin x在原点(0，0)处的切线斜率k＝cos 0＝1，所以y＝sin x在原点(0，0)处的切线方程为y＝x.所求曲线只需满足过点(0，0)且在x＝0处的导数值y'｜x＝0＝1即可，如y＝x3＋x，因为y'＝3x2＋1，所以y＝x3＋x在原点处的切线斜率为1，又y＝x3＋x过原点，所以y＝x3＋x在原点(0，0)处的切线方程为y＝x. 9.(13分)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数). (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(6分) (2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程.(7分) 解：(1)f'(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，即f'(1)＝1－0，解得a＝e. (2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f'(x)＝1－. 设切点为(x0，y0)， 因为fx0－1＋kx0－1， ① f'1－k， ② ①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解， 所以x0＝－1，k＝1－e， 所以直线l的方程为y＝(1－e)x－1. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.设直线l与曲线f(x)＝2x3－x＋1相切于点M(x1，f(x1))，相交于另一点N(x2，f(x2))，则(　　 ) A.x2＝－2x1 B.x2＝2x1 C.x2＝－2x1－1 D.x2＝2x1－1 答案：A 解析：因为f(x)＝2x3－x＋1，切点M(x1，f(x1))，所以f'(x)＝6x2－1，所以切线斜率k＝6－1.又因为直线l与曲线相交于另一点N(x2，f(x2))，所以k，所以(6－1)(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)＝(2－x2＋1)－(2－x1＋1)＝2－2－x2＋x1＝2(x2－x1)(＋x1x2＋)－(x2－x1)，因为x2≠x1，所以3＋x1x2＋，即＋x1x2－20，(x2＋2x1)(x2－x1)＝0，所以x2＝－2x1.故选A. 11.若过点P(a，0)与曲线y＝xex相切的直线有且仅有两条，则实数a的取值范围是　　　　　　　. 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析：设切点为(x0，x0)，则y'(x0＋1)，所以切线方程为y－x0(x0＋1)(x－x0)，由切线过点P(a，0)，代入得－x0(x0＋1)·(a－x0)，即方程－ax0－a＝0有两个解，则有Δ＝a2＋4a＞0，解得a＞0或a＜－4，即实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). 12.(15分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.(9分) 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为yx－3， 当x＝2时，y， 又因为f'(x)＝a＋， 所以解得 所以f(x)＝x－. (2)设P(x0，x0－)为曲线y＝f(x)上任一点， 由y'＝1＋知曲线在点P处的切线方程为y－(x－x0). 令x＝0，得y＝－， 所以切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x，得y＝x＝2x0， 所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0). 所以曲线y＝f(x)在点P处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S·｜2x0｜＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6. (13、14题，每小题5分，共10分) 13.(多选)(2025·河南郑州名校联考)过点P作直线l与函数f－2x3的图象相切，则(　　) A.若P与原点重合，则l方程为y＝0 B.若l与直线x－6y＝0垂直，则6a＋b＝4 C.若点P在f的图象上，则符合条件的l只有1条 D.若符合条件的l有3条，则＜－ 答案：AD 解析：设l与f－2x3的图象切于点Q，则切线斜率k＝f'－6t2，整理得4t3－6at2－b＝0.对于A，若P与原点重合，则a＝b＝0，所以t＝0，k＝0，l即x轴，方程为y＝0，故A正确；对于B，若l与直线x－6y＝0垂直，则k＝－6t2＝－6，t＝±1，当t＝1时，4－6a－b＝0，6a＋b＝4，当t＝－1时，－4－6a－b＝0，6a＋b＝－4，故B错误；对于C，当点P在f的图象上时b＝－2a3，4t3－6at2＋2a3＝0，所以0，解得t＝a，或t＝－，当a≠0时，l有2条，故C错误；对于D，设g4t3－6at2－b，g'12t2－12at，由g'0得t＝0或t＝a，符合条件的l有3条，g有3个零点，则gg－b＜0，所以b(2a3＋b)＜0，＋1＜0，＜－，故D正确.故选AD. 14.(多选)(2025·江西南昌一模)已知直线l1是曲线fln x上任一点A处的切线，直线l2是曲线gex上点B处的切线，则下列结论中正确的是(　　) A.当x1＋y1＝1时，l1∥l2 B.存在x1，使得l1⊥l2 C.若l1与l2交于点C时，且△ABC为等边三角形，则x1＝2＋ D.若l1与曲线g相切，切点为C，则x1y2＝1 答案：AD 解析：对于A，由题意得y1＝ln x1，由x1＋y1＝1，得x1＋ln x1＝1，如图①，可知y＝x＋ln x与y＝1交点是，可得x1＝1，y1＝ln x1＝ln 1＝0，由fln x，得f'，所以直线l1的斜率为f'f'1，由gex，得g'ex，所以直线l2的斜率为g'g'e0＝1＝f'，即直线l1的斜率等于直线l2的斜率，且l1：y＝x－1，l2：y＝x＋1，所以l1∥l2，故A正确；对于B，因为·f'·g'···x1＝1≠－1，所以不存在x1，使得l1⊥l2，故B错误；对于C，如图②，设l1，l2的倾斜角分别为α，β，因为△ABC为等边三角形，所以β＝α±，又tan α＝f'，tan β＝g'x1，所以当β＝α＋， tan β＝tanx1，整理得－2x1－1＝0，所以x1＋2(负值舍去)；当β＝α－，tan β＝tanx1，整理得＋2x1－1＝0，所以x1＝－＋2(负值舍去)；所以x1＝±＋2，又由题意可得△ABC关于直线y＝x对称，△ABC为等边三角形，故C错误；对于D，若l1与曲线g相切，切点为C，则f'g'，即，又C(x2，y2)在gex上，所以y2，所以y2，即x1y2＝1，故D正确.故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $