2.13 函数模型的应用-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 §2.13函数模型的应用 【课标要求】1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直 线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中 的广泛应用. 必备知识·整合 夯实基础回归教材>> 【知识梳理】 :3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确 1.三种函数模型的性质 定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题 函数 y=a y=logar y=ru 的合理性 性质 (a>1) (a>1) (a>0) 【课前自测】 在(0，+o) 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√” 单调递增 单调递增 单调递增 上的增减性 或“×”) (1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大. 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 () 随x的增大 随x的增大逐 (2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天 逐渐表现为 随a值的变化 图象的变化 渐表现为与 涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚 与 而各有不同 平行 () 平行 不赔 (3)已知a>1,在(0，十∞)上，随着x的增大，y= 2.常见的函数模型 ar的增长速度会超过并远远大于y=xa和y= 函数模型 函数解析式 logx的增长速度. () 一次函数 f(x)=a.x十b(a,b为常数，a≠0) (4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所 模型 有的数据完全符合该函数模型. ( 二次函数 f(x)=a.x2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0) 2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的 模型 应该是 () 反比例函 f(x)=+b(k,b为常数，k≠0) A.y=100x B.y=log100- 数模型 C.y=x100 D.y=100 指数函数 3.(2025·贵阳模拟)在某个试验中，测得变量x和 f(x)=ba+c(a,b,c为常数，a>0且a≠ 模型 1,b≠0) 变量y的几组数据如下表所示： 0.50 1.09 2.01 3.98 对数函数 f(x)=logx十c(a,b,c为常数，a>0且 模型 a≠1，b≠0】 -0.99 0.01 0.98 2.00 幂函数模型 f(x)=a.x“+b(a,b,a为常数，a≠0，a≠0) 则对x,y最适合的拟合函数是 A.y=2x B.y=x2-1 【常用结论】 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指 C.y=2.x-2 D.y=log2x 数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指 4.(2025·寿光模拟)某桶装水经营部每天的固定 数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量 成本为420元，每桶水的进价为5元，日均销售 越来越小. 量y(单位：桶)与销售单价x(单位：元)的关系式 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象： 为y=一30.x十450，则该桶装水经营部要使利润 和性质是解题的关键， 最大，销售单价应定为 元 精品教辅·智慧人生 46 第二章函数 D关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 考点一用函数图象刻画变化过程 +/思维升华/++++++++++++++ [例1](1)（多选）血药浓度是指药物吸收后在血浆 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合 内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该 的两种方法 药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中 ; (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函 毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物 数模型时，先建立函数模型，再结合模型选 后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 择函数图象 t血药浓度(mgmL) -最低中毒浓度MTC) (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化 峰浓度 安全范围 快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验 -最低有效浓度MC) 证是否吻合，从中排除不符合实际的情况， O 23456789101112l小时 选择出符合实际情况的答案， 持续期 +残留期 根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物 即学即练1(2025·攀枝花质检)已知正方形 的说法中，正确的是 ( ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线 A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发 BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x, 挥治疗作用 △ABP的面积为S,则函数S=∫(x)的图象是 B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于 2小时时，一定会产生药物中毒 +S S C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次 服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗 作用 04812 04812x A B D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用 S 1单位该药物，不会发生药物中毒 (2)(2022·北京卷T7)在1gP: 北京冬奥会上，国家速滑 固态 :超临界 04812 04812x 馆“冰丝带”使用高效环保 液态 :状态 C D 的二氧化碳跨临界直冷制 考点二 已知函数模型的实际问题 冰技术，为实现绿色冬奥 气态 [例2](1)(2021·全国甲卷理)青少年视力是社会 作出了贡献，如图描述了 200250300350400T 普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量， 一定条件下二氧化碳所处的状态与T和gP的 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据， 关系，其中T表示温度，单位是K;P表示压强， 五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满 单位是bar.下列结论中正确的是 ( 足L=5十1gV.已知某同学视力的五分记录法的 A.当T=220,P=1026时，二氧化碳处于液态 数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 B.当T=270,P=128时，二氧化碳处于气态 (10≈1.259) () C.当T=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界 A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 状态 (2)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标 D.当T=360,P=729时，二氧化碳处于超临界 准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m 状态 为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室 [听课记录 内甲醛浓度为6.05mg/m3,使用了甲醛喷剂并 处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度以(1)（单 位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间1(1∈ N)(单位：天)近似满足函数关系式u(t)=Ac+ 47 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 0.05(a∈R),则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为 时间 to t1=0.8s t2=0.2s (参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6) 2 ( 》 距离 d0=30m d d2 d3=z0k m A.32天 B.33天 C.34天 D.35天 (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位： [听课记录」 m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报 警距离均小于90m,则汽车的行驶速度应限制在 多少以下？ 听课记录] +/思维升华/++++++++++ 己知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定 系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中 的待定系数. (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数 等求解实际问题，并进行检验。 即学即练2某化工企业为了响应并落实国家污 水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤 过程中，污染物含量M(单位：mg/L)与时间t(单 位：h)之间的关系为M=Moe(其中M,k是 正常数).已知经过1h,设备可以过滤掉20%的 污染物，则过滤掉60%的污染物所需的时间约为 /思维升华++++++一 (参考数据：1g2≈0.301) ( 构建函数模型解决实际问题的步骤 A.3h B.4h C.5h D.6h (1)建模：抽象出实际问题的数学模型。 考点三构造函数模型的实际问题 (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或 [例3](2025·文山模拟)汽车智能辅助驾驶已开 数学运算，得到问题在数学意义上的解. 始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测： (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入 出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于 讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实 报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就 际问题中去，得到实际问题的解。 自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所 即学即练3(2024·北京卷)生物丰富度指数 示)，分别为准备时间0、人的反应时间1、系统 反应时间t2、制动时间t3,相应的距离分别为do, d-是河流水质的一个评价指标，其中S,N d1,d2,d3,当车速为o(单位：m/s),且0≤v≤： 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数， 33.3时，通过大数据统计分析得到下表（其中系 生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流 数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且 治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总 0.5k0.9) 数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到 报警距离a 3.15,则 () 危险距离 A.3N2=2N1 do B.2N2=3N1 d C.N3=N D.N=N? 温馨提示 请做课时分层检测（十九） 精品教辅·智慧人生 48所以0<y<27, 即(x3-3)(x4一3)的取值范国是(0,27).] [例3解析令t=f代x)十1= （lnx 1+1,x>0, (x+1)2,x0. 当t>0时，f(t)=lnt 则函数f(t)在(0，十∞)上单调递增， 因为f(1)=-1<0,f2)=1n2-号>0， 所以由函数零，点存在定理可知，存在1∈ (1,2),使得f(t1)=0: 当t≤0时，f(t)=t2+2t, 由f(t)=t2十2t=0,解得t2=-2,t3=0. 作出函数t=f(x)十1，直线t=t1,t=-2, 1=0的图象如图所示， 2 -3-2-101234x -t=-2 由图象可知，直线t=t1与函数1=f(x)十1 的图象有两个交点： 直线t=0与函数1=f(x)+1的图象有两 个交，点：直线1=一2与函数t=f(x)十1的 图象有且只有一个交点. 综上，函数y=f[f(x)十1]的零点个数 为5. 答案D [例解析设t=f(x), 令g(x)=f(f(x)) a=0,则a=f(t).在同 一平面直角坐标系内 y=-2 作y=a,y=f(t)的图 象（如图）.易知当Q<一1时只有一个零点， 当a≥一1时，y=a与y=f(t)的图象有两 个交点.设交点的横坐标为1,2（不妨设 t2>t1),则t1<-1,t2≥-1.当t1一1 时，t1=f(x)有一解；当t2≥一1时，t2= f(x)有两解.综上，当a≥一1时，函数g(x) =f(f(x)一a有三个不同的零点. 答案[-1，十o∞) 即学即练2（一∞，一24][画出f(x)的函 数图象如图，令1=f(x),则由图可知要使} g(x)有三个零，点，则关于t的方程2十2t十 m=0有两个根，且一个根小于4，一个根大 于等于4，所以44-4m>0, 142+2X4+m≤0， 解得n -24.] 1=2-2x+41y O1 e S2.13函数模型的应用 必备知识·整合 【知识梳理】 1.y轴x轴 【课前自测】 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2.D[根据函数特点可知，指数函数的增长 是爆炸式增长，则当工越来越大时，底数大 于1的指数函数增长速度最快，] 3.D[在直角坐标系中，描，点连线画出图象 (图略)，观察图象知进D.] 4.10[由题意得该桶装水经营部每日利润为 W(x)=(-30x+450)(x-5)-420= -30x2+600x-2670=-30(x-10)2+ 330,则当x=10时，利润最大.] 关键能力·突破 工例1](1)解析从图象中可以看出，首次 服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥 治疗作用，A正确：根据图象可知，首次服用 1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最 大值，由图象可知，当两次服药间隔小于 2小时时，一定会产生药物中毒，B正确：服 药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓 度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物 持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单 位该药物4小时后与再次服用1单位该药 物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓 度，因此一定会发生药物中毒，D错误 答案ABC (2)解析当P= 1g P. 1026时，1g103< 4 超临界 lgP<1g104,即3< 3 A lgP<4:当P=128 D 2 时，lg102<1gP lg103,即2<1gP 气态 3;当P=9987时， lg 103<Ig P< 200250300350400T lg104,即3<lgP<4(lgP接近4)：当P= 729时，lg102<1gP<1g103,即2<1gP< 3.A,B,C,D四选项所对应的点分别设为 A,B,C,D,在图中的大致位置如图所示，由 图易知，选项D正确.故选D. 答案D 即学即练1D[依题意知，当0≤x≤4时， f(x)=2x；当4<x8时，f(x)=8;当8 x12时，f(x)=24一2x,观察四个选项知 D项符合要求.] [例2](1)解析由题意知，4.9=5+1gV, 得lgV=-0.1,得V=10-= 10 .25丽≈0.8，所以该同学视力的小数记录 法的数据约为0.8. 答案 (2)解析依题意可知当1=0时，4(t)= 6.05, 即6.05=Ae7+0.05,解得A=6, 所以()=6e÷十0.05， 由(t)=6e÷+0.05≤0.1， 得e奇≤120 1 即-片≤n0,即7≥ln120=3ln2+ ln3+1n5≈3×0.7+1.1+1.6=4.8，所以 t≥33.6， 又1∈N,所以1min=34, 至少需要放置的时间为34天： 答案C 即学即练2B[由题意可知(1一20%)M= 所以e=0.8, 由(1-60%)M=Mne-, 得0.4=e=(e)1=0.8, g0.4_g5 所以1=1og.80.4=g0.8 Ig 2-1g 5 lg2-(1-lg2) .21g2-1 21g2-lg521g2-(1-1g2)3lg2-1 2×0.301-1 3×0.301-1 -0.398≈4.103，比较接近4] =-0.097 例3]解(1)根据题意，d=do十d1十d2十 d,=30+0.8u+0.2u+206-30+v+20 (0≤33.3). (2)根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d 90恒成立，即对任意的k∈[0.5,0.9]，30+ 2 u十20k 90恒成立 易知当v=0时，满足题意； 1 当0<v≤33.3时，有20k<2 上对任意 的k∈[0.5,0.9]恒成立 1 由kc[o.50.9],得0[8] 387 所以601、1 2u10 即2+10u-600<0,解得-30<<20， 所以0<<20. 综上，020 所以汽车的行驶速度应限制在20m/s 以下。 即学即练3D[函数模型的实际应用（理性 思雏、数学应用、数学探索)由题意，得 S-1=2.11nN2 In N S-=3.15.若S不变，则 2.1In N =3.15In N2 p 2In N1 =31n N2, 所以N号=N.故选D.] 第三章一元函数的导数及其应用 §3.1导数的概念及其意义、导数的运算 必备知识·整合 【知识梳理】 1.(1)f(x0)y1x=5 f(xo+△x)-fxo) lim Mr 2.斜率y-f(xo)-f(x0)(x-xo) 3.0 axa cos r -sin x aln a e 1 1 4.f(x)tg(r)f(r)g(r)+f(r)g'(x) cf(x) 【课前自测】 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.B[由导数的几何意义可知，f(x)为常 数，且f'(x)<0.] 3 3.4 [点(1，2)在曲线上，且y= 所以切线的斜率=1，所以领斜角为于] 4.2e[由y=xe2,得y'=e(x+1), 所以该曲线在，点(1，e)处的切线斜率为2e, 由y=alnx十2，得y=4, 所以该曲线在点(1,2)处切线斜率为a. 因为两切线平行，所以a=2e.] 关键能力·突破 [例1](1)解析对于A,[(3x+5)3]'= 3(3x+5)2(3x+5)'=9(3x+5)2,故A 正确： 对于B,(x3lnx)′=(x3)'lnx十x3(lnx)'= 3x21nx十x2,故B正确； 对于C,(2sinr）=2 sn2-2sinr(x2y 、x2 2xosx一4sin‘,故C错误； 对于D.n2r-2·安子故D端误 答案AB (2)解析由f(x)=e-f(0)x得f(x) e-f(0),则f(0)=e°-f(0),得f(0)= 1 立，故f(x)=心一之x,因此f(2)= e2-1. 答案C 即学即练1ACD[f(x)=sin(2x+3), f(x)=cos(2.x+3)·(2x+3)′=2cos(2.x十 3),故A正确：f(x)=e2x+1,则f(x)= -2e2r+1,故B错误；f(x)= e-xe-1工，故C正确；f(x)=lnx, (er)2 f(x)=x'ln.x+x(lnx)'=lnx+1,故D正 确.门 [例2](1)解析f(1)=1一2=一1，切点坐 标为(1，一1)， 又f(x)=4x3-6.x2, 所以切线的斜率k=f'(1)=4X13一6× 12=-2,