2.11 函数的零点与方程的解-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 角度3利用图象求参数的取值范围 +/思维升华/++++++++++++++ [例5](2025·保定联考)已知函数f(x)= 当不等式问题不能用代数法求解或用代数 3+1-11,x≤0 法求解比较困难，但其对应函数的图象可作 若函数g(x)=f(x)一a有三 In x,x>0. 出时，常将不等式问题转化为图象的位置关 个零点，则a的取值范围是 系问题，从而利用数形结合思想求解！ A.(0,1) B.(0,2] C.(2,+o∞) D.(1,+∞) 即学即练3(1)把函数f(x)=lnx-a的图象 向左平移2个单位长度，所得函数在(0，十∞)上 听课记录 单调递增，则a的最大值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2025·常州模拟)若函数f(x)=a2-x-a (a>0,且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范 围是 (3)(2025·汕头模拟)已知函数f(x)= (sin,0≤x≤1， 若实数a,b,c互不相等，且 10g2024x,x>1, f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是 温馨提示 请做课时分层检测（十六） §2.11 函数的零点与方程的解 【课标要求】1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用 二分法求方程的近似解， 巴必备知识·整合 夯实基础回归教材> 【知识梳理】 间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近零 1.函数的零点与方程的解 点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法， (1)函数零点的概念 3.用二分法求函数y=f(x)零点xo的近似值的一 对于一般函数y=∫(x),我们把使 的实 般步骤 数x叫做函数y=f(x)的零点. (1)确定零点x的初始区间[a,b],验证fa)f(b)<0: (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)=0有实数解台函数y=∫(x)有 (2)求区间(a,b)的中点c: 台函数y=f(x)的图象与 有 (3)计算(c),并进一步确定零点所在的区间： 公共点， ①若f(c)=0(此时xo=c),则c就是函数的 (3)函数零点存在定理 零点； 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 ②若f(a)f(c)<0(此时xo∈(a,c),则令b=c; 连续不断的曲线，且有 ,那么，函数 y=f(.x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在 ③若f(c)f(b)<0(此时xo∈(c,b),则令a=c c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程 (4)判断是否达到精确度e:若|a一bl<e,则得到 f(x)=0的解. 零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4)： 2.二分法 【常用结论】 对于在区间[a,b]上图象连续不断且 若连续不断的函数∫(x)是定义域上的单调函 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区： 数，则f(x)至多有一个零点. 精品教辅·智慧人生 42 第二章函数 【课前自测】 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√” 或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点， )3.函数f(x)= 3-10g2x的零点所在的区间是 (2)连续函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则 ( f(a)f(b)<0. () A.(0,1) B.(1,2) (3)连续函数y=f(x)满足f(a)f(b)>0,则 f(x)在区间(a,b)上没有零点. () C.(2,3) D.(3,4) (4)求函数零点的近似值都可以用二分法.( )4.(2025·济宁一模)若函数f(x)=2a.x2-x-1在 2.(2025·昆明诊断)下列函数图象与x轴均有交点， (0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是 其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( 巴关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 考点一函数零点所在区间的判定 即学即练1(1)若a<b<c,则函数∫(x)= [例1](1)(2025·昆明诊断)函数f(.x)=x+1- (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) logx的零点所在的区间为 ( 的两个零点分别位于区间 () A(0,) B(合) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞，a)和(a,b)内 c(分) (合) C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞，a)和(c,十∞)内 (2)用二分法求方程n工一e+1=0在区间 x (2)(2025·曲靖模拟)已知函数f(x)=logx十 (2,3)内的根的近似值，至少经过 次二 x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时，函数 分后精确度达到0.1 ( f(x)的零点xo∈(n,n十1)，n∈N,则n= A.2 B.3 C.4 D.5 考点二 函数零点个数的判定 听课记录 例2](1)函数f(x)= -1,x≤0 的零点 x-2+In x,x>0 个数为 ( A.5 B.4 C.3 D.2 (2)(2021·北京卷，5分)已知f(x)=|1gx|一 kx一2，给出下列四个结论： ①若k=0,则∫(x)有两个零点； ②3k<0,使得f(x)有一个零点； +/思维升华/++++++++++++ ③3k<0,使得f(x)有三个零点： 确定函数零点所在区间的常用方法 ④了k>0,使得f(x)有三个零点. (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y= 以上正确结论的序号是 f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续；再看 听课记录] 是否有f(a)·f(b)<0,若有，则函数y= f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象 与x轴在给定区间上是否有交点来判断」 43 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 +/思维升华/++++++++++++++ 听课记录] 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令∫(x)=0,方程有多少个不同 的实数根，则f(x)有多少个零点. (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往 还要结合函数的单调性、奇偶性等 (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单 函数，依据两函数图象的交点个数得出函数 /思维升华/++++++ 的零点个数 根据函数零点的情况求参数的三种常用 方法 即学即练2(1)(2025·南京模拟)函数∫(x)= (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参 x一4一二的零点的个数为 ( 数的不等式（组），再通过解不等式确定参数 A.0 B.1 C.2 (范围). D.3 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函 (2)函数f(x)=√36-x2·cosx的零点个数为 数值城确定参数范围 (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平 考点三函数零点的应用 面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用 角度1根据函数零点个数求参数 数形结合法求解， [例3](2024·天津卷)若函数f(.x)=2√2-a.x 十十十十■十十十十十 |a.x一2|十1恰有一个零点，则a的取值范围为 即学即练3(1)(2025·邵阳模拟)已知函数 og2x>0, f(x)= 若g(x)=f(x)一a有 听课记录」 x2-4x,x≤0， 4个零点，则实数a的取值范围为 A.(0,4) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,1) (2)(2025·南通模拟)函数f(x)=2:-2-a的 角度2根据函数零点的范围求参数 一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范 [例4幻(2024·新课标卷)设函数f(x)=a(x十1)2- 围是 () 1,g(x)=cosx+2a.x.当x∈(-1,1)时，曲线y= A.(0,3) B.(1,3) f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则a= ( C.(1,2) D.[2,+o∞) A.-1 C.1 D.2 温馨提示 请做课时分层检测（十七） §2.12 函数与方程的综合应用 【重点解读】函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质， 结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置. 考点一由零点分布求值（范围》 A.(-∞，0] B.[0,3] 角度1二次函数的零点分布 C.(-∞，0]U[3,+∞)D.[3,+∞) [例1](1)(2025·枣庄模拟)已知函数f(x)= (2)若函数f(x)=(m-2)x2+m.x+2m+1的两 x2-2(a-1)x十a,若对于区间[-1,2]上任意两 个不相等的实数x1,x2,都有∫(x1)≠∫(x2),则 个零点分别在区间（一1,0）和区间(1,2)内，则m 实数a的取值范围是 的取值范围是 精品教辅·智慧人生 443.C[将函数f(x)=x|x|一2x去掉绝对值，1 由y=f(x)与y=a 得fx)=x2-2x,x≥0， fr=5ce,2,定义城为R,f(-c)= x2+2 的图象有三个交点， -x2-2x,x<0 5(e-z-e*) 结合函数图象可得a 画出函数f(x)的图象， =一f(x),所以函数f(x)= 17 x2+2 ∈(0,1). 如图所示 5(e二e是奇函数，所以排除A:对于B, 答案A 观察图象可知，函数f(x) 即学即练3(1)B[把函数f(x=lnx一a x2+2 的图象关于原点对称， 的图象向左平移2个单位长度，得到函数 故函数f(x)为奇函数， f(x)= n无，定义城为R,f(一x)= g(x)=lnx十2-a的图象， 且在(-1,1)上单调 则函数g(x)在(a一2，十o∞)上单调递增， 递减，」 5sin()5sin =一f(x),所以函数 又因为所得函数在(0，十∞)上单调递增， 4.ex+[由题意可知f(x)=e,把y x2+1 x2+1 所以a一2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2.] f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到 )n是奇函数，所以排除B:对于 (2)(1,+∞)[函数f(x)的零，点的个数就 g(x)=ex-1)=ex+1的图象.] 是函数y=a(a>0,且a≠1)与函数y 关键能力·突破 C.f(r)-5(ete-) 定义战为R,f(一x) x十a的图象的交，点的个数，如图，当a>1 例1]解(1)原函数 x2+2 时，两函数图象有两个交，点：当0<a<1时， 解析式可化为y=2十 5(e-zter) =f(x),所以函数f(x)= 两函数图象有一个交点.故a>1. 白故函数图象可由 x2+2 函数y=上的图象向右 -10 123 5(c+e)是偶函数，又r2+2>0,e+ x2+2 1 ex>0,所以f(x)>0恒成立，不符合题 平移1个单位长度，再 意，所以排除C;分析知，进项D符合题意， a>1 向上平移2个单位长度得到，如图所示」 故选D.] （sinmπr,0r1, (2)y=|x2-4x-5|的图 答案D (3)(2,2025)[函数f(x)= log er,1 象可由函数y=x2 即学即练2(1)A[由题意首先确定函数的 的图象如图所示， 4.x一5的图象保留x轴上 奇偶性，由函数的解析式可得： 方的部分不变，将x轴下 一4x 方的部分翻折到x轴上 f(-x)= x2+1 一f(x),则函数f(x)为 方得到，如图所示， 奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项 2024 x-1 y-() CD错误；当x=1时，y= 1+1 2>0,选项 不妨令abc B错误.] 由正弦曲线的对称性可知a十b=1, 其图象可看作由函数y=之)】 的图象 (2)D[当-1≤x≤0时，f(x)=-2x,表 而1c2024, 示一条线段，且线段经过（一1,2）和(0,0) 所以2a+b+c2025.] 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单 两点 位长度得到， §2.11函数的零点与方程的解 当0<x≤1时，f(x)= ,x≥0其图象 √，表示一段曲线.函数 必备知识·整合 f(x)的图象如图所示. 【知识梳理】 22,x0, f(x-1)的图象可由f(x) :1.(1)f(x)=0(2)零点x轴(3)fa)f(b)<0 f(c)=0 的图象保留x≥0时的图 的图象向右平移1个单位 长度得到，故A正确：f(一x)的图象可由 2.f(a)f(b)0一分为二 象，然后将该部分关于y f(x)的图象关于y轴对称后得到，故B正 :【课前自测】 轴对称得到， 确；由于f(x)的值域为[0,2]，故f(x)= 1.()X (2)×(3)×(4)× -1 !2.A[根据二分法的概念可知A不能用二分 则y-( |f(x)|,故|f(x)|的图象与f(x)的图象完 全相同，故C正确：很明显D中f(|x)的图 法求零点.] 的图象如图所示 象不正确.门 3.C[函数f(x)=3 一l0g2x在(0，+∞)上 即学即练1解(1)将y=2的图象向左平 例3]解析由已 单调递减， 移1个单位长度，得到y=2x+1的图象，再 知条件得f(x+2) =f(x),则f(x)是 将所得图象向下平移1个单位长度，得到y -1012345元 又f(1)=3-1og21=3>0,f(2)=3 2 以2为周期的周期 =2+1一1的图象，如图①所示. 函数，A正确：画出函数y=f(x)的部分图 1og2= 2>0,f(3)=3 -10g23=1 (2)首先作出y=1gx的图象，然后将其向 象如图所示，由图象知B正确，C不正确：当 右平移1个单位长度，得到y=lg（x一1)的 3<x<4时，-1<x-4<0,f(x)=f(x 1og®3<0， 图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻 所以f(2)f(3)<0,则f(x)有唯一零点，且 折到x轴上方，即得所求函数y=lg(x ,因此D正确.故选A、B、D. 在区间(2,3)内，] 1)|的图象，如图②所示（实线部分） () :4.(1,+oo)「当a=0时，函数的零，点是x= 答案ABD 一1，不符合题意.当a≠0时，若△>0，f(0)· 「例4门解析画出f(x)的大致图象如图所 示.不等式(x一1)f(x)≤0，可化为 -1 f1)<0,则a>1,若△=0，即a=-8,函 fx)o或1， (x1, 由图可知符合条件 数的零点是x=一2，不符合题意.] lf(x)≥0. 关键能力·突破 的解集为{x|x≤0或1<x≤2}. 工例1](1)解析由题易知f(x)在(0，十o∞) 图① 图② 4) 上单调递增，且函数f(x)的图象是一条连 [例2](1)解析函数图象的识别（理性思 续不断的曲线， 维、数学应用)排除法 2 ()十+1-4- 1 3 由题知函数f(x)的定义域为R,关于原点 <0, 对称， 答案《x|x0或1<x≤2} f(-x)=-(-x)2+(ex-e2)sin(-x)= f()-+1-e 1 :[例5]解析要使函数g(x)=f(x)一a有 3 一1og3 -x2+(e-e)sinx=f(x),所以函数 三个零，点， f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排 则f(x)=a有三个不相等的实根， 除A,C:f1)=-1+(e- 1 即y=f(x)与y=a的图象有三个交点， log2 2-log2 3-log27 6Y <0 sin1>-1+ 当x≤-1时，f(x)=1-3x+1在(-∞， (合)=+1-64- 1 >0, e-e =-1+ e >0,排除 -1]上单调递减，f(x)∈[0,1)： 2e 当-1<x0时，fx)=3x+1-1在(-1,0]上 所以函数f(x)=x十1一log÷x的零，点所在 D.故选B. 单调递增，f(x)∈(0,2]； 答案B 当x>0时，f(x)=lnx在(0，+∞)上单调 的区问为（· ,故选C (2)解析由题图可知函数f(x)的图象关于： 递增，f(x)∈R.作出函数f(x)的图象，如 答案C y轴对称，所以函数f(x)是偶函数.对于A, 图所示 (2)解析 ,开区间(2,3)的长度等于1， 385 每经过一次操作，区间长度变为原来的！[例3]解析函数的零点①当Q-0时， §2.12函数与方程的综合应用 一半 f(x)=2|x|-2+1=2|x|-1,令f(x)=I 经过n次操作后，区间长度变为， 0,得21x-1,x=士号，即f(x)有两个零[例1】①D解析三次函数f(x)=2-2(a- 1)x十a图象的对称轴为直线x=a一1， 故有亡<0,1，解得n≥4 点，不满足题意，②当a≠0时，令ax=,则 对于任意x1,x2∈[-1,2]且x1≠x2,都 2P-a-la-2+1=2 m2 有f(x1)≠f(x2), ,∴，至少经过4次二分后精确度达到0.1. 即f(x)在区间[一1,2]上是单调函数， 答案C .a-1-1或a-1≥2， 即学即练1(1)A[函数y=f(x)是图象开 m-2+1,由2 m -m-|n-2|+1= ,a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为 口向上的二次函数，最多有两个零点，由于 (-o，07U[3,+o). a<b<c,则a-b<0,a一c<0,b-c<0,因 √-m=m-2-1,则1m-21- 0可得2。 答案C 此f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0. 1>≥0，解得m≥3或m≤1.（i)若m≥3，则 (2)解析根据题意有，{f1)·f0)<0, f1)·f2)<0, 所以f(a)f(b)0,f(b)f(c)0, 由2 (m2 即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一 √a2-n=|m-21-1可得 <m<子 个零，点.门 答案C (2)2[对于函数y=logx,当x=2时，可 /n2 4 -m= m一3，化简得 [例2]解析由f(2-x)+f(x)=0→f(x) 得y1,当x=3时，可得y>1,如图，在同 2 -f(2-x)=f代x-2),得f(x)是一个周期为 一坐标系中画出函数y=logx,y= x+b n2-2m+9 =1- 9 1 2的奇函数， 的图象，可以判断两个函数图象的交，点的 n 当x∈(0,1]时，f(x)=-logx, 横坐标在(2,3)内，.函数f(x)的零，点x0∈ 8 8 (n,n十1)时，=2.] +分，令g(m)=9(（ 因此f(）=-1og影-11)=0 3,则g(m)在[3,9)上单调递减，在(9，十∞) 上单调递增，又g(3)= g(9)=9,当 4 8 所以f0)=0f(-)=-1-1)=0 m→十∞时，g(m)→1，作出g(m)的大致图 且g(x)=sin元x的周期为T=2x=2, -5-4-3-2-10712345x 象如图所示，(i)若n≤1，因为x=0不是 1 且g(-1)=0,g-立) -1,g(0)=0, f(x)的零，点，所以m≠0.由2。 /n2 a 一以 [例2](1)解析 当x≤0时，x2一1=0，解 () =1,g(1)=0, 得x=-1: 1m-2-1可得2√ 一m=1一m,化简 求F(x)=f(x)-sinπx的零，点个数， 当x>0时，f(x)=x-2+lnx在(0，+∞)上 m2+2m+1 =1+ 2 1 1 即求f(x)与g(x)图象的交点个数， 单调递增，并且f(1)=1-2+1n1=-10, m 如图为f(x)与g(x)在区 f(2)=2-2+1n2=ln2>0, 间[一1,1]的图象， 即f(1)f(2)0, 因为f(x)与g(x)均为周 所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个 令m-(品+）m≤1m≠0，则 期为2的周期函数， 零点， h(n)在（一，一1），(0,1]上单调递减，在 因此交，点也呈周期出现， 综上，函数f(x)的零点个数为2 (-1,0)上单调递增，又h(-1)=0,h(1)= 若在区间[-1，m]上有10 答案D 4,当→一∞时，h(m)→1，当m→0时，h 个零点，则第10个零点 (2)解析零点个数问题，转化成两个函数 (m)→十∞，作出h(m)的大致图象如图所 坐标为(3.5，-1)，第11 图象的交点个数来分析 示.数形结合可知，若f(x)恰有一个零点，{ 个零，点坐标为(4,0)，因 令f(x)=|1gx|-kx-2=0, 可转化成两个函数y1=lgx|,2=x十2 则号<1，解得-<a<-1或1a 此3.5<4. 答案A 的图象的交点个数问题. <√3，即a的取值范国为(-√5，-1)U(1,即学即练1(1)C[令g(x)=x2-2ax十a, 对于①，当k=0时，2=2与y1=1gx的 ) 由方程x2一2ax+a=0在区间(-1,1)上 图象有两个交点，①正确： 答案(-√5，-1)U(1,√5) 有两个不相等的实数解可得 对于②，存在k<0,使y2=kx十2与y1= :[例4]解析函数的图象十函数的性质（理 1gx的图象相切，②正确： △=4a2-4a>0, fa<o, 性思维、数学应用) -1<a<1, 对于③，若k<0,y1=lgx|与y2=kx+2 -1a1, 的图象最多有2个交点，③错误： 由题意知f(x)=g(x),则a(x十1)2-1= 即 1g(-1)>0, 对于④，当k>0时，过，点(0,2)存在函数 cosx+2a.x,即cosx=a(x2+1)-1.令 g(1)>0, la<l g(x)=lgx(x>1)图象的切线，此时共有两 h(x)=cosx-a(x2十1)+1.易知h(x)为 fa>1, 个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜 偶函数，由题意知h(x)在（一1,1）上有唯一 -1a1, 率时，就会有3个交点，故④正确. 零点，所以h(0)=0,即cos0一a(0+1)十 或 答案①②④ 1=0,得a=2,故选D. U>- 3 即学即练2(1)D 答案D 4 即学即练3(1)A[作出y=f(x)的图象 a1, [令f(x)=|x-4| (实线)，如图所示， 解得一 1 1<a<0.] =0,得|x-4= (2)1(0,27)[作出函数f(x)= 子在同一坐标系中 y=a log3,3, 分别画出函数y=x-4与y=上的图象 20 n吾3<≤15的国象，加因所示， 如图所示，由图象可知两个函数图象有三 g(x)=f(x)-a有4个零点，即y=f(x)与 个交点，所以函数有3个零点，故选D.] y=a的图象有4个交，点， 所以实数a的取值范国为(0,4).] (2)6[令36-x2≥0，解得一6≤x6, 0123s6912*415x 所以f(x)的定义域为[一6,6]. (2)A[因为函数y=2,y 2在(0， 因为f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),x1 令f(x)=0得36-x2=0或cosx=0, +∞)上单调递增， 由36-x2=0得x=士6， x2<x3x4. 2 所以函数f(x)=2r 一a在(0，十∞)上 由cosx=0得r-乏十kx,k∈Z, 所以由图可知，-leg=1l0g,十三=9， 2 单调递增， 且3<x3<6,即x1x2=1, 又x∈[-6,6]，所以x的取值为-3 由函数f(x)=2x- 2 2一a的一个零点在区 所以(x3-3)(x4一3)=x3x4一3(3十x4)十 π元3π 间(1,2)内得，f(1)·f(2)=(2-2-a)1 9=x3(18-x3)-45=-x+18x-45, -2,2·2 (4-1-a)=(-a)×(3-a)<0,解得0< 因为y=-x号+18x3-45在(3,6)上单调 故f(x)共有6个零点.] a<3.] 递增 386