2.1 函数的概念及其表示-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

第二章函数 §2.1函数的概念及其表示 【课标要求】1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表 法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用. 巴必备知识·整合 夯实基础回归教材> 【知识梳理】 :3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个 1.函数的概念 函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域 一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合 的并集，值域等于各段函数的值域的并集， A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系 【课前自测】 ,在集合B中都有 确定的数y和它对：1，判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√” 应，那么就称∫：A→B为从集合A到集合B的一 或“X”) 个函数，记作y=f(x),x∈A. (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个 2.函数的三要素 函数是同一个函数 () (1)函数的三要素： (2)任何一个函数都可以用图象法表示.() (3)直线y=a与函数y=∫(x)的图象可以有多 (2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相 个交点 ( ) 同，那么这两个函数是同一个函数， -1,.x≥0 (4)函数f(x) 的定义域为R. 3.函数的表示法 2,x<0 表示函数的常用方法有 图象法和 x2-x,x≤1， 4.分段函数 2.已知函数f(x) 1， 1 则f(f(-1) 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不 ; 同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称 为分段函数 A.-1 c号 D.1 5.复合函数 :3.(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是 已知函数y=∫(u)与u=g(x),给定x的任意一 () 个值，就能确定的值，如果此时还能确定y的 值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x)有 Ay=+与y N3-x 意义，且称y=h(x)=f(g(x)为函数f(u)与 √3-x g(x)的复合函数，其中u称为中间变量. B.y=x2与y=(.x-1)2 【常用结论】 C.y=√x2与y=x 1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个 D.y=1与y=x0 交点. 2.在函数的定义中，非空实数集A,B,A即为函数 4.函数f(白)=十云则函数f()的解折式为 的定义域，值域为B的子集. 精品教辅·智慧人生 18 第二章函数 D关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 考点一函数的概念 考点二 函数的解析式 [例1](1)（多选）下列说法中正确的有 )[例2](1)已知f(1-sinx)=cos2x,求f(x)的解 A.f(x)=x与g(x) 1,x≥0， 析式； 表示同一个 -1,x0 函数 (2)已知f(2+)=+是，求f(x)的 B函数x)=中-的定义域是[-1.0)U 解析式； (3)已知(x)是一次函数且3f(x+1) (0,十∞) 2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式； C.f(x)=x2-2x十1与g(t)=2-21+1是同一 (4)若对任意实数x,均有f(x)一2f(一x)= 个函数 9x+2,求f(x)的解析式. D.若f(x)=lx-1-x,则f()=0 [听课记录] (2)(2022·北京卷T11)函数f(x)=1+√1-元 的定义域是 [听课记录] /思维升华/+++++++++一 函数的含义及判断两个函数是同 一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A,B是非空 的实数集；②第一个集合A中的每个元素在 第二个集合B中有且只有一个元素与之 对应. (2)两个函数满足定义域和对应关系相同 时，才是同一个函数， 即学即练1(1)下列各组函数表示同一个函数 /思维升华/+++ 的是 函数解析式的求法 A.f(x)=√x2,g(x)=(E) (1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解 B.fx)=1-1,g(x)=1 方程组法， x-1 +++++ C.f(.x)= (xx≥0， 即学即练2(1)已知f(√+1)=x+2√，则 x,x<0, g()=l f(x)= D.)=x+1g()= x-1 A.x2-1(x≥0) B.√x+1(x≥1) C.x2-1(x≥1) (2)(2020·北京卷，5分)函数f(x)= 1 D.Wx-1(x≥0) x+1 (2)已知f(f(x)=4.x十9，且f(x)为一次函数， lnx的定义域是 则f(x)= 19 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 考点三分段函数 +/思维升华/++++++++++++++ 1x2,-2≤x<1, 分段函数求值问题的解题思路 [例3)(1)（多选）已知函数f(x)= 则 -x+2,x>1, (1)求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应 下列关于函数f(x)的结论正确的是 从内到外依次求值。 A.f(x)的定义域为R (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段 B.(.x)的值域为(-∞，4] 函数定义区间的各段上，然后求出相应自变 C.若f(x)=2,则x的值是一√2 量的值，切记要代入检验， D.f(x)<1的解集为(-1,1) 即学即练3(1)(2025·广州联考)已知函数f(x)= (2)(2024·上海卷，4分)已知函数∫(x)= 1-a·2r,.x≤0， N元，x>0 若f(2024)=1,则 则f(3)= f(x-1)-f(x-2),x>0, 1,x≤0 实数a的值为 ( [听课记录] A.0 B.1 C.2 D.4 (+2,x<1, (2)(多选)已知函数f(x)= 则 -x2+3,x>1, A.f(f(√3))=3 B.若f(x)=-1,则x=2或x=-3 C.f(x)<2的解集为(-∞，0)U(1,十∞) D.若Hx∈R,a>f(x),则a≥3 温馨提示 请做课时分层检测（七） §2.2函数的单调性与最值 【课标要求】1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数 单调性的简单应用. 口必备知识·整合 夯实基础回归教材>》> 【知识梳理】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 少 y=f(x) y=f(x) 增函数 减函数 图 Af(x2) ifx2) 象 x月 般地，设函数f(x)的定义域为D,区间I二D,如果 修 x,x2∈I 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下 降的 定 当x1<x2时，都有 当x1<x2时，都有 义 ,那么就称函 ,那么就称函 (2)单调区间的定义 数f(x)在区间I上单调递数f(x)在区间I上单调 增，特别地，当函数f(x)递减，特别地，当函数f(x) 如果函数y=∫(x)在区间I上单调递增或单调 在它的定义域上单调递增在它的定义域上单调递减 递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有 时，我们就称它是增函数 时，我们就称它是减函数 (严格的)单调性，区间I叫做y=∫(x)的单调 区间. 精品教辅·智慧人生 20当且仅当工 y (1+2+3)2 y+2x z+2x x+2y x十y十之 =36,当且仅当1=2=3」 (②)解析由题意可得{0.解得≤ 即工=y=之=时取等号 1 1 1且x≠0，所以函数f(x)的定义域为 3 即x= 6,y= 号=号时取等号门 (-∞，0)U(0,1]. 答案3 1 2、(a+b)2 答案（一∞，0）U(0,1] 6.8-1a-0+60 即学即练1(1)C[对于A,f(x)=√的 即学即练2(1)27 1 813,23 2十 令a+b-2=1, 则a十b)2_(u+2)2 定义域为R,g(x)=(E)2的定义域为 =t十 [0,十∞)，不是同一个函数：对于B,f(x)的 (1+2)3 (x十y)2 27,当且仅当↓= 2,即x一 a+b-2 t 4+4≥8， 定义域为{xx≠0}，g(x)的定义域为{x|x b 一子时取等号] 1 当且仅当气一。气'即4=b=2时取 ≠1}，不是同一个函数：对于C,两个函数的 定义域、对应关系均相同，是同一个函数：对 (a+b-2=2, 于D,f(x)=x+1的定义域为R,g(x)= (2)D[.a+b+c=1, 等号， a2 62 所以后十。的最小值为8.门 的定义城为《xx≠1，不是同一分 函数.门 (品片+) 第二章 函数 (2)(0,十∞)[要使函数有意义，需满 足/x+1≠0. 2×(1+1+1)2 ≥a千b+b+c+a+ =9, §2.1 函数的概念及其表示 lx>0, 即x>0且x≠一1.所以函数的定义域为 号时等号成立.] 必备知识·整合 (0,+∞). 当且仅当a=b=c= 【知识梳理】 [例2] 解 (1)(换元法)设1-sinx 能力提升 1.唯 t,t∈[0,2]， 1.A[:实数x,y满足3x2+4y2-12, 2.(1)定义域对应关系 值域(2)定义域 则sinx=1一t, +. 对应关系 .f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, :3.解析法列表法 3 ∴.f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2]. 【课前自测】 即f(x)=2x-x2(0≤x≤2). (+苦)}16+9≥2x+2. 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.A[因为-1≤1，所以f(-1)=(-1)2 (2(配凑法)f(2+)-+-（日 即-5≤2x+√3y5,当且仅当3√3x=8y, (-1)=2,因为f(-1)=2>1,所以 5 即 时，左边取等号， ff-1)=f2)==2-1.J y 3 5 3.BCD[对于A选项，y= √十3的定义域 √3-x 又+ =2, 8 x= 是[-3,3)， 3时，右边取等号， 5 当且仅当-脚工-士1时等号成立 当 十E的定义域是[-3,3)， y√3 设1=x2+ 2, ∴.之=2x十√3y的最小值是一5.] 并且十3 /x+3 N3-I 所以两个函数的定 则t≥2，∴.f(t)=t2-2(t≥2)， 2.B[根据柯西不等式得 V3-x .f(x)=x2-2(x≥2). 义域相同，对应关系相同，所以是同一个 (.x2+y2+2)(1+4+9)≥(x+2y+3x)21 (3)(待定系数法)，f(x)是一次函数，可设 函数： f(x)=ax十b(a≠0)， =1, 对于B选项，两个函数的对应关系不相同， ∴.3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]= 即2++≥品 所以不是同一个函数： 2x+17, 对于C选项，y=√-|x,所以两函数的 即ax+(5a+b)=2x+17, 1 1 当且仅当x= 14'y= 7之 3 14 时等号 对应关系不同，所以不是同一个函数； ∴a。-17.解得8 1b=7. 成立.] 对于D选项，y=1的定义域是R,y=x0的 ∴.f(x)=2x+7(x∈R). 3.B[因为a,b,x,y≥>0， 定义域是{xx≠0}，两个函数的定义域不 (4)(解方程组法)，fx)-2f(-x)=9x+2, 同，所以不是同一个函数。] x+y 1 -,1≠0， .f(-x)-2f(x)=9(-x)+2, ② 当且仅当g-么时，等号成立， 4f)=千x0,-D[令= 由①+2×②得-3f(x)=-9x+6 1 1 -1.则有x= ,所以f(t)= ,∴.f(x)=3x-2(x∈R). 又0<x<2 :即学即练2(1)C[法一（换元法）令t= √E+1,t≥1，则t2=(x+1)2=x+2√E十 即1-2x>0, 十1≠0，-1，所以f(x) 22 32 (2+3)2 x十1x≠0， 1,由f(√F+1)=x+2V匠得，f(t)=-1, 于是得f(x) 22+2≥2x十12m -1.] t≥1，即f(x)=x2-1,.x≥1.故选C.] 关键能力·突破 5,当显仪声云牌一合时带：汇副1解折对于A,品数-马 2 3 法二（配凑法）f(√x+1)=x十2√x (WF)2+2√E+1-1=(E+1)2-1,故 号成立， f(x)=x2-1,x≥1.] 的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，函数 所以函数fx)= 9 (2)2x+3或-2x一9[因为f(x)为一次 x +1-2x 0<x<2 一D的定又线为风两高数的 函数， 的最小值为25.] 所以设f(x)=kx十b(k≠0)， 定义域不同，所以不是同一个函数，故A错 1 5 8 所以f(f(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b= 4.7 [f(x)= 1 2sin2x+3 5cos2r+6 误：对于B,由题意，在f(x)=√x十1 k2x+b(k+1), x 62 42 因为f(f(x))=4x十9， 5(2sin2x+3)2(5cos2x+6) 中，x十10，解得x≥-1且x≠0，故B! 所以k2x十b(k十1)=4x十9恒成立， (5+4)2 81 正确：对于C,函数f(x)=x2一2x十1与 所以k2-4, ≥10(inx+c0s2x)+2737' 1b(k+1)=9, g(t)=12一21十1的定义域与对应关系都相 当且仅当 同，所以两函数是同一个函数，故C正确：！ 解得伦”农： 5(2sin2x+3)2(5cos2x+6) 对于D,由f(x)=|x-1一x,可得 所以f(x)=2x+3或f(x)=-2x-9.] 即sinr=士 号c0s1=士号时取等号.J (号)-0所以f((合)月-f0)=1.汇例)解折画数了(2)= 5.36[1+4+9-12 32 故D错误， {r2,-2≤x≤1，的定义域是[-2，十∞)， ≥ (x+2,x≥1 答案BC 故A错误； 378 当-2≤x<1时，f(x)=x2,值域为[0,4]，1 因为f(x)=a 故函数的值域为（一∞，2）U(2,十∞). 当x≥1时，f(x)=-x十2，值域为(-∞，1]， 对于C,(换元法)设t=√x-1,则x=2+1, 故f(x)的值域为（一∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)=一x十2=2，无解，当 所以f-)-(+) 且0y-20+》-1=2()°+点. -2≤x<1时，令f(x)=x2=2,解得x= a(x2-x1） 由≥0，再结合函数的图象（如图②所示）， 一√2，故C正确； +）- 当-2≤x1时，令f(.x)=x2<1,解得x∈ 由于-1<1<x2<1, 可得函数的位城为[点十）】 (-1,1),当x≥1时，令f(x)=-x+21,: 所以x2一x1>0,x1一1<0，x2一1<0， 对于D,函数的定义域为[1，十∞)， 解得x∈(1，+∞)，故f(x)<1的解集为： 故当a>0时，f(x1）-f(x2)>0, (-1,1)U(1,+∞)，故D错误. :y=√x+I与y=√x-1在[1，+∞)上均单 即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上 答案BC 调递增，∴.y=√x+1+√/x-1在[1，十∞) 单调递减； (2)解析分段函数求值因为3>0，所以 上为增函数， 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0, f(3)=5. 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上 .当x=1时，ymn=√2，即函数的值域为 答案√ 单调递增。 [2,+o∞). 即学即练3(1)D[因为当x>0时，f(x)= 方法二导数法 答案ACD f(.x-1)-f(x-2), 所以f(x十1)=f(x)-f(x一1)，f(x+1)= f(x)=ax'(x-1)-ax(x-1)' :[例5]解析因为函数f(x)=lnx+2x在 (x-1)2 定义域(0，十∞)上为增函数，且f(1)= -f(x一2)， a(r-1)-ar_ 1n1+2=2,所以由f(a2-4)<2得，fa2-4) 即f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+ (x-1)2 (x-1)2 <f(1),所以0<a2-4<1,解得-5<a 3)=f(x), 故当a>0时，f(x)0,函数f(x)在（一1,1 -2或2<a<√5. 所以f(2024)=f(337×6+2)=f(2)= 1)上单调递减； -f(-1)=号-1=1，则a=4.故选D.] 当a<0时，f(x)>0,函数f(x)在(-1,1D[例6解析“分段画数的单调性十一元二 答案(-√5，-2)U(2,√5) 上单调递增. (2)BCD[对于A,因为f(5)=-(3)2+3:即学即练1(1)B[g(x)= 次函数的单调性（理性思维，数学探索） x·x-1|+1= 逻辑分析法十数形结合法因为函数f(x) =0,所以f(f(√3)=f(0)=2,所以A错： 在R上单调递增，且当x<0时，f(x)= 误；对于B,当x<1时，由f(x)=一1，得 (x2-x+1,x≥1， -x2-2ax-a,所以f(x)=-x2-2a.r-a x十2=一1，解得x=一3，当x≥1时，由 1-x2+x+1,x<1, 3-2-0 23本 在（一∞，0）上单调递增，所以一a≥0，即 f(x)=-1,得-x2十3=-1，x2=4,解得！ 画出函数图象，如图 所示， -2 a0:当x≥0时，f(x)=e2十ln(x十1)，所 x=2或x=-2(舍去)，综上，x=2或x= 以函数f(x)在[0，十∞)上单调递增.若函 一3，所以B正确；对于C,当x<1时，由 根据图象知，函数的单调递减区间为 数f(x)在R上单调递增，则一af(0)=1, f(x)2,得x十22，解得x<0,当x≥1 2, 即a≥一1.综上，实数a的取值范围是 时，由f(x)2,得-x2十3<2，解得x>1, 综上，f(x)<2的解集为（一∞，0）U(1, 1.] [-1,0].故选B. 答案B 十∞)，所以C正确；对于D,当x<1时，x十 (2)(一9,1)和(2，十∞) 即学即练2(1)C[由函数f(x)= 23,当x≥1时，一x2+32,所以f(x)的 [f(x)= Ix2-2x,x2, 值域为(-∞，3)，因为Hx∈R,a>f(x),所 x2十2x,x2. ln(x十1)，t≥0，的图象（图略）可得f(x) -2.x2,x<0 以a≥3，所以D正确.] 出f(x)的大致图象，如图所 在R上是增函数，则不等式f(x十2)< §2.2函数的单调性与最值 示，由图象知f(x)的单调递 f(x2+2x)等价于x十2<x2+2x,即x2+ 增区间是（一∞，1）和(2，十∞).] -2>0,解得x>1或x<一2，则原不等式 必备知识·整合 :[例3]解析因为对任意的工1，x2∈(-∞，0] 的解集为(-∞，一2)U(1,十∞).] 【知识梳理】 1.(1)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2) ≠)，有）-f2 <0. (2)(-∞，0][由题意知函数y=ax2一2 2.f(r)M f(r)=M f(r)M f(rn)=M 1a<0, 所以f(x)在（一∞，0]上单调递减， 在(1，十∞)上单调递减，故 【课前自测】 ≤1或a=0, 又f(x)为偶函数， a 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增， 解得a0.] 2,A[y=-2x十1在R上是减函数，故A1 则f(2)f(3)f(4), 正确 又f(-2)=f(2). §2.3函数的奇偶性、周期性 y=x2+1在(-，0)上单调递减，在(0， 所以f(-2)<f(3)<f(4) 必备知识·整合 十∞)上单调递增，故B错误； 答案A 【知识梳理】 y=√x在[0，十∞)上是增函数，故C错误； ,[例4]解析函数的定义域为[1，十∞)， 1.f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)》 y=2x在R上是增函数，故D错误.] y=√Wx+1与y=Wx-1在[1，十∞)上 原点 3.A[y=- x十1在（一1，十∞）上单调递增， 均为增函数， :2.(1)f(x十T)=f(x)(2)最小最小正数 代x)=+I+V-1在[1，十∞)上为【课前自测】 则y=一x十在区间[1,2]上单调递增， :1.(1)×(2)×(3)/(4)× 单调递增函数， !2.C[因为f(x)为奇函数，所以f(一1)= 所以ymax=一2十1 1 1 小当x=1时，f(x)min=反 -f(1)=5. 答案√2 :3.B[由f(x十2)=f(x)可知，函数f(x)的 1号2[由于)=马在[2.61上单润 2 【微拓展】解析对于A,(配方法)y= 周期为2 x2-2x+3=(x-1)2+2, 当x∈[-1,1]时，f(x)=x2+1, 递减， 由x∈[0,3)，再结合函数的图象（如图①所 故f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为 示)，可得函数的值域为[2,6)， f2021.5)=f(2024+)-f(2) f6)=.] 1 5 4 +1=] 关键能力·突破 4.(-2,0)U(2,5][由图象可知，当0<x [例1]解析y=x2在（一∞，0]上单调递 4 1=12-2x43 y=2(+1)-1 2时，f(x)>0:当2<x≤5时，f(x)<0,又 减，在(0，十∞)上单调递增，故A错误； 3 f(x)是奇函数，.当一2<x<0时，f(x)< y=x在R上为增函数，故B正确； 2 2 0,当-5x<-2时，fx)>0.综上，f(x)<0 y=一√x在[0，十∞)上单调递减，故C 的解集为(-2,0)U(2,5].] 错误； 01234x o士234广：关键能力·突破 在(-0,0)上单调递减，在(0，十∞) ① ② :[例1](1)解析对于A,函数的定义域为 yx 对于B,(分离常数法)y= 2r+1 上单调递减，故D错误. x-3 {≠受十红，∈乙}，关于原点对称，且 答案B 7 7 f(-x)=tan(-x)=一tanx=-f(.x),故 [例2]解方法一定义法 2(x-3)+7=2+ x-3 一3，显然 3≠0， 函数为奇函数； 设-1<x1<x2<1, y≠2. 对于B,函数的定义域为R,关于原，点对称， 379