2.1 函数的概念及其表示（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第二章 函数 01 2．1　函数的概念及其表示 [课标要求] 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．　 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数，理解函数图象的应用．　 3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(七) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(七) 函数的概念及其表示 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 感谢观看 【必备知识】 1．函数的概念 给定实数集R中的两个非空 A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 数集 唯一确定 对应关系 解析法 列表法 对应关系 2．函数的三要素 (1)函数的三要素： 、 、 ． (2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有 、图象法和 ． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 定义域 定义域 对应关系 值域 【必记结论】 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f(x)＝是一个函数．(　　 ) (2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(　　 ) (3)y＝x0与y＝1是同一个函数．(　　 ) (4)函数f(x)＝的定义域为R.(　　 ) × × × √ 2．下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　 ) A．y＝ B．u＝ C．y＝ D．m＝ 解析：选B.函数y＝与函数m＝和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数． 3．已知函数f(x)＝则函数等于(　　 ) A．3 B．－3 C． D．－ 解析：选C.由题意可知，＝ln ＝－ln 3，所以＝f(－ln 3)＝e－ln 3＝. 4．函数f(x)＝的定义域为________． 解析：由得－3≤x＜－2或－2＜x≤1. 答案：[－3，－2)∪(－2，1] 5．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R).若f(g(1))＝1，则a＝________． 解析：由已知条件可知f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1， ∴|a－1|＝0，得a＝1. 答案：1 题型一　函数的概念 【例1】　(1)(多选)下列说法中正确的有(　　 ) A．f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数 B．函数f(x)＝的定义域是[－1，0)∪(0，＋∞) C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数 D．若f(x)＝|x－1|－x，则＝0 解析：选BC.对于A，函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B，由题意，在f(x)＝中，解得x≥－1且x≠0，故B正确；对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确；对于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得＝0，所以＝f(0)＝1，故D错误． (2)已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为(　　 ) A．(－1，0) B．(－2，0) C．(0，1) D．(－，0) 解析：选C.由题意，设t＝x＋1，∵x∈(－2，0)， ∴t∈(－1，1)，∴f(x)的定义域为(－1，1)， 对于f(2x－1)有2x－1∈(－1，1)，故其定义域为(0，1). 思维升华　求抽象函数的定义域的策略 策略一：若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； 策略二：若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 【对点练习】　1.(1)下列各组函数表示同一个函数的是(　　 ) A．f(x)＝，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝ C．f(x)＝g(t)＝|t| D．f(x)＝x＋1，g(x)＝ 解析：选C.对于A，f(x)＝的定义域为R，g(x)＝的定义域为[0，＋∞)，不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数；对于D，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数． (2)(2024·江苏三校联考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则 y＝的定义域是(　　 ) A．[－2，5] B．(－2，3] C．[－1，3] D．(－2，5] 解析：选D.因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]， 则－2≤x≤3，所以－5≤2x－1≤5， 所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5]. 要使y＝有意义，则需要 解得－2<x≤5， 所以y＝的定义域是(－2，5]. 题型二　函数的解析式 【例2】　(1)已知f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________． 解析：法一(换元法)　令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R). 法二(配凑法)　因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R). 法三(待定系数法)　因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝ 4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c. 因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以解得所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R). 答案：x2－5x＋9(x∈R) (2)已知＝x2＋，求f(x)的解析式． 解：(配凑法)∵，x≠0， 当x>0时，x＋≥2＝2， 当x<0时，x＋＝－≤－2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式． 解：(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 解：(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x　①， ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x　②， 由①②解得f(x)＝3x. 方法指导　求函数解析式的常用方法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得到f(x)的表达式，注意自变量的取值范围． (2)换元法：对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，注意新元的取值范围． (3)待定系数法：先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过方程(组)求出相应的待定系数． (4)解方程组法：已知关于f(x)或f()或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【对点练习】　2.(1)若＝，则f(x)＝________． 解析：f(x)＝＝(x≠0且x≠1). 答案：(x≠0且x≠1) (2)(人教B版必修一P141)已知二次函数f(x)满足f(－2＋k)＝f(－2－k)(k∈R)，且该函数的图象与y轴交于点(0，1)，在x轴上截得的线段长为，则该二次函数的解析式为________． 解析：设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). ∵二次函数f(x)满足f(－2－k)＝f(－2＋k)(k∈R)， ∴该二次函数关于直线x＝－2对称，∴＝－2，即b＝4a. ∵该函数图象与y轴交于点(0，1)， ∴f(0)＝1，即c＝1. 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点(x1，0)，(x2，0). 令f(x)＝ax2＋bx＋c＝0， ∴由韦达定理得：x1＋x2＝，x1x2＝， ∵此二次函数的图象在x轴上截得的线段长为. ∴|x1－x2|＝，即＝. ∴，即b2－4ac＝8a2. 答案：f(x)＝x2＋2x＋1 联立解得 ∴f(x)＝x2＋2x＋1. (3)已知f(x)满足f(x)－2＝2x，则f(x)＝________． 解析：∵f(x)－2＝2x　①， 以代替①中的x，得－2f(x)＝　②， ①＋②×2得－3f(x)＝2x＋， ∴f(x)＝(x≠0). 答案：(x≠0) 题型三　分段函数 【例3】　(1)(多选)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　 ) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4] C．若f(x)＝2，则x的值是 D．f(x)<1的解集为(－1，1) 解析：选BC.函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确； 当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误． (2)(2024·唐山一模)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是______；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是______． 解析：若f(a)＝4， 则或 解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2， 则或 解得－3≤a<－1或a≥4. 答案：－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) 【对点练习】　3.(1)(2024·吉林模拟)已知f(x)＝若f(a)＝1，则实数a的值为(　　 ) A．1 B．4 C．1或4 D．2 解析：选B.当a<1时，f(a)＝2a－1＝1，则a－1＝0，解得a＝1(舍去)；当a≥1时，f(a)＝＝1，则＝2，解得a＝4. (2)(2024·北京东城二模)设函数f(x)＝则f＝_____，不等式f(x)<f(2x)的解集是________． 解析：由题意可知：f＝f(1)＝1；因为f(x)<f(2x)， 当|2x|<1，即－<x<时，则|x|<<1，可得1<1，不合题意； 当即x∈(－1，－]∪[，1)时，可得1<(2x)2， 解得x>或x<－，所以x∈(－1，－)∪(，1)； 当|x|≥1，即x≥1或x≤－1时，则|2x|＝2|x|≥2>1， 可得x2<(2x)2＝4x2，符合题意； 综上所述：不等式f(x)<f(2x)的解集是(－∞，－)∪(，＋∞). 答案：1　(－∞，－)∪(，＋∞) 【基础巩固题】 1．函数f(x)＝＋ln (1－x)的定义域是(　　 ) A．(－2，1) B．(－3，1) C．(1，2) D．(1，3) 解析：选A.由题意可得解得－2<x<1.故函数f(x)的定义域是(－2，1). 2．(2024·重庆调研)已知函数f(x＋2)＝x2－3x＋4，则f(1)＝(　　 ) A．4 B．6 C．7 D．8 解析：选D.法一　 ∵f(x＋2)＝(x2＋4x＋4)－7(x＋2)＋14＝(x＋2)2－7(x＋2)＋14， ∴f(x)＝x2－7x＋14，故f(1)＝1－7＋14＝8. 法二　由x＋2＝1，得x＝－1， 代入f(x＋2)＝x2－3x＋4， 得f(1)＝(－1)2－3×(－1)＋4＝8. 3．已知函数f(x)＝则f(2 024)＝(　　 ) A．－1 B．0 C． D．1 解析：选D.由题意知f(2 024)＝f(2)＝＝f(3)＝f(1)＝＝sin ＝1. 4．已知函数f(x)＝且f(m)＝－12，则f(6－m)＝(　　 ) A．－1 B．－3 C．－5 D．－7 解析：选D.由题意知，当m≤1时，f(m)＝2m＋1－8＝－12， 得2m＋1＝－4，又2m＋1>0，所以方程无解； 当m>1时，f(m)＝4＝－12， 得＝－3，即m＋1＝8，解得m＝7， 所以f(6－m)＝f(－1)＝2－1＋1－8＝－7. 5．(2024·广东佛山二模)如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则函数y＝f(t)的大致图象是(　　 ) 解析：选A.依题意，当0<t≤1时， 可得直角三角形的两条直角边分别为t，t， 从而可以求得f(t)＝， 当1<t≤2时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形， 可求得f(t)＝， 所以f(t)＝ 从而可知选项A的图象满足题意． 6．已知f(x)＝则不等式f(x)<2的解集是(　　 ) A．(－∞，2) B．(－∞，3) C．[0，3) D．(3，＋∞) 解析：选B.当x<0时，不等式f(x)<2可化为－x2－2x<2， 所以x2＋2x＋2>0，可得x<0； 当x≥0时，不等式f(x)<2可化为log2(x＋1)<2， 所以x＋1<4，且x＋1>0，所以0≤x<3， 所以不等式f(x)<2的解集是(－∞，3). 7．(多选)下列函数中，满足f(18x)＝18f(x)的是(　　 ) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x 解析：选ABD.若f(x)＝|x|，则f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(18x)＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2，故f(x)＝x＋2不满足f(18x)＝18f(x)；若f(x)＝－2x，则f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝18f(x). 8．(多选)(2024·长沙调考)下列说法中正确的是(　　 ) A．式子y＝可表示自变量为x、因变量为y的函数 B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个 C．若f(x)＝|x－1|－|x|，则＝1 D．f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数 解析：选BCD.对于A，y＝，有解集为∅，不能表示自变量为x，因变量为y的函数，故A错误； 对于B，当函数y＝f(x)在x＝1处无定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1无交点，当函数y＝f(x)在x＝1处有定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1只有1个交点，所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，故B正确； 对于C，因为f(x)＝|x－1|－|x|，则＝0，故＝f(0)＝1，故C正确； 对于D，函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t的定义域均为R，且对应关系相同，故f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数，故D正确． 9．已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为________． 解析：由条件可知，函数的定义域需满足 解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1，0]. 答案：[－1，0] 10．已知函数f(x)＝则f(x)<f(x＋1)的解集为________． 解析：当x≤0时，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)⇔x2－1<(x＋1)2－1， 解得－<x≤0； 当0<x≤1时，x＋1>1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0， 所以0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)； 当x>1时，f(x)<f(x＋1)⇔log2x<log2(x＋1)恒成立， 综上可知，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为. 答案： 【综合应用题】 11．(2024·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于(　　 ) A．－1 B．1 C．－ D． 解析：选B.∵定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1， ∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1　①， 当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2　②， ②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1. 12．(2024·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)等于(　　 ) A．2 B． C．1 D．0 解析：选B.作出函数f(x)的图象，如图所示． 因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2， 所以即－2<a≤3， 此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝， 所以a＝，即a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，则f(a)＝. 13．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1，1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是(　　 ) A．(－2，2) B．(－2，0)∪(0，2) C．[－2，2] D．(－，) 解析：选B.当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1， 当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1， 所以M(x)＝ 若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0， 即－1<n<0或0<n<1， 当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2， 综上，－2<n<0或0<n<2. 14．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝ (1)求，，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f(x)的最大值． 解：(1)∵＞1，∴＝－2×＋8＝5. ∵0＜＜1，∴＝＋5＝. ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2. (2)此分段函数的图象如图所示． 在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分． 图中实线组成的图形就是函数y＝f(x)的图象． (3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. 15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图． (1)求出y关于x的函数解析式； (2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象， 得 解得m＝，n＝0， ∴y＝(x≥0). (2)令≤25.2，得－72≤x≤70. ∵x≥0，∴0≤x≤70. 故行驶的最大速度是70 km/h. 【创新拓展题】 16．已知函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________，若函数f(x)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________． 解析：若函数f(x)的定义域为R， 则有m>0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0，解得m≥， 所以m的取值范围是[，＋∞). 当m＝0时，f(x)＝＝， 值域是[0，＋∞)，满足条件； 令g(x)＝mx2－(m－2)x＋m－1，g(x)≥0， 当m＜0时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，＋∞)， 不满足条件； 当m＞0时，g(x)的图象开口向上， 只需mx2－(m－2)x＋m－1＝0中的Δ≥0， 即(m－2)2－4m(m－1)≥0，解得－≤m≤， 又m>0，所以0<m≤， 综上，0≤m≤， 所以实数m的取值范围是. 答案：　 17．已知函数f(x)＝. (1)求f＋f(3)，f＋f(2)的值； (2)探索f(x)＋f； (3)利用(2)的结论求表达式：f＋…＋f(1)＋f(2)＋… ＋f(2 024)＋f(2 025)的值． 解：(1)已知函数f(x)＝， ∴f＋f(3)＝ ＋f(2)＝＝1. (2)由f(x)＝，得f，∴f(x)＋f＝1. (3)由(2)知f(x)＋f＝1，f(1)＝， ∴f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＋f(2 025) ＝2 024＋f(1)＝2 024×1＋. $