1.3 等式性质与不等式性质-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.3等式性质与不等式性质 【课标要求】1.回顾等式的性质.2.理解不等式的概念，掌握不等式的性质.3.会比较两个数（式）的大小. 口必备知识·整合 夯实基础回归教材》》 【知识梳理】 ②a<h<0311 1.两个实数比较大小的方法 [a-b>0台a b ③a>b>0,0<c<d→a>b 作差法{a-b=0曰→a b,(a,b∈R). a-b<0→a b ④0<a<r<b或a<x<b<0=1<1<1 2.等式的性质 br a 性质1对称性：如果a=b,那么 (2)有关分数的性质 性质2传递性：如果a=b,b=c,那么 若a>b>0,m>0,则 性质3可加（减）性：如果a=b,那么a士c=b士c; ①真分数的性质 性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc; bb+mbbm(b-m0); aa+m a a-m 性质5可除性：如果a=b,c≠0，那么 3.不等式的基本性质 ②假分数的性质 (1)对称性：a>b台b<a; aa十m.4<0-m(b-m>0). bb+m'b b-m (2)传递性：a>b,b>c→a>c; 【课前自测】 同向不等式可 :1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√” 2 相加，不能相减 或“×”) (3)可加性：a>b台a+c>b十c:a>b,c>d→a+ (1)a>b→ac3>bc3. ) b+d; (2)a=b→ac=bc. (3)若号>1，则a>6. ( 不等式的两边同 乘以同一正数， 不等号方向不变； (4a<<<0→6士< () 同乘以同一负数， 不等号方向改变 2.(必修第一册P43T8改编)已知非零实数a,b满 足a<b,则下列不等式中一定成立的是() (4)可乘性：a>b,c>0→ac bc;a>b,c< 0→ac bc;a>b>0c>d0ac>bd; A.In a<In b B.1>1 (5)可乘方性：a>b>0→a">b"(n∈N,n≥2)； C.a2<62 D.a3<b3 (6)可开方性：a>b>0→a>b(n∈N,n≥2). :3.(必修一P42习题2.1T3(4)改编)设M=x2+ 【常用结论】 y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小关系 不等式的两类常用性质 为 (1)倒数性质 4.已知-1<a<2,-3<b<5,则a十2b的取值范 ①a>b,ab>0→ 1<1 围是 巴关键能力·突破 分类讲练以例求法》》 考点一数（式）的大小比较 [例1](1)（多选）下列不等式中正确的是 ( (2(2025·石家庄拥研)已知a=号c,6=6, A.x2-2x>-3(x∈R) B.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R c=e叶1，则 ( 2 C.a2+b2>2(a-b-1) A.a<b<c B.b<a<c D.若a>b>0,则a2-b2>1-1 a b C.b<c<a D.c<b<a 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 听课记录 即学即练2(1)设a,b,c,d为实数，且c<d,则 “a<b”是“a-c<b-d"”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 +/思维升华/+++++ 比较大小的常用方法 (2)(多选)已知a,b∈R,则下列选项中能使】< 0 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出 结论 方成立的是 (2)作商法：①作商：②变形：③判断商与1的 A.b>a0 B.a>b>0 大小关系；④得出结论」 C.b<0<a D.b<a<0 (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小 考点三不等式性质的综合应用 即学即练1(1)若a<0,b<0,则p= 与 [例3](1)已知0<x<5,-1<y<1,则x-2y的 b 取值范围是 a () q=a十b的大小关系为 ) A.2<x-2y<3 B.-2<x-2y<3 A.p<q B.p≤q C.2<x-2y<7 D.-2<x-2y<7 C.p>q D.p≥q 听课记录] (2)已知M=c323+ e2024+1 c2024+ ,N= e2025+1 则M,N的 大小关系为 考点二不等式的基本性质 [例2](1)若实数a,b满足a<b<0,则 A.a+b0 B.a-b<0 延伸探究若将条件改为“-1≤x十y≤2，一2≤ n x一y≤1”，求x一2y的范围. C.lal<bl (2)(多选)(2025·济南调研)已知实数a,b,c满 足a>b>c,且a十b十c=0,则下列说法正确的是 ( 1 B.a-c>2b C.a2>62 D.ab+bc>0 [听课记录 +/思维升华/+++…+ 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证. (2)利用特殊值法排除错误选项： (3)作差法， (2)已知实数a,b,c,满足a>b>c,且a+十b十c= (4)构造函数，利用函数的单调性. 0,那么C的取值范围是 十十+++十十十…++十十++十十十十一十十++…十 a 精品教辅·智慧人生 8 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 +/思维升华/++++++++++++++ 即学即练3(1)（多选）已知1≤a≤2,3≤b≤5， 利用不等式的性质求代数式的取值范围的 则 () 注意点 A.a十b的取值范围为[4,7] (1)必须严格运用不等式的性质. B.b一a的取值范围为[2,3] C.ab的取值范围为[3,10] (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩 大变量的取值范围，解决途径是先建立所 D号的取值范围为[行，】 求范围的整体与已知范围的整体的等量关 (2)已知-3<a<-2,2<b<4,则2的取值范围 系，然后通过“一次性”不等关系的运算求 是 解范围 温馨提示 请做课时分层检测（三） §1.4 基本不等式 【课标要求】1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 。必备知识·整合 夯实基础回归教材》> 【知识梳理】 【课前自测】 1.基本不等式：wab≤a十b 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/” 2 或“×”) (1)基本不等式成立的条件： (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等 ; (1)不等式ab≤ 与a<a十中等号成立 2 号成立. 的条件是相同的。 (3)其中 叫做正数a,b的算术平均数， 叫做正数a,b的几何平均数 (2)y=x十1的最小值是2. ( 2.利用基本不等式求最值 (3)若x>0,y>0且x十y=xy,则xy的最小值 (1)已知x,y都是正数，如果积xy等于定值P, 为4. () 那么当x=y时，和x十y有最小值 (2)已知x,y都是正数，如果和x十y等于定值 (④函数y=sinx十4x∈(0，)的最小值为4 sinz S,那么当x=y时，积xy有最大值 注意： 利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、：2.设a>0,则9a十二的最小值为 a 二定、三相等” A.4 B.5 【常用结论】 C.6 D.7 儿个重要的不等式 3.已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为() (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). (2)2+g≥2(a,b同号). A. R吉 a b (3ab≤（生）'a,6∈R. c D.1 (a,b∈R). 4.(必修一P48T1改编)已知x>1,则x十己的 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 最小值为 9 精品教辅·智慧人生(1一n≤1+m, 13.M>N[M-N=x2+y2+1-2.x-2y+i 对于C,.a-b>0,a十b=-c>0, 则{1-m≥-2，.0≤m≤3. 2=(x-1)2+(y-1)2+1>0.故M>N.] .a2-b2=(a+b)(a-b)>0, 1+m≤10， 4.(-7.12)「-3<b5,.-6<2b<10.1 即a2>2,C正确； 即所求m的取值范围是[0,3]， 又-1<a<2,∴.-7<a+2b<12.] 对于D,ab+bc=b(a+c)=-b2≤0， 【微拓展】解析由|x≤1，即一1≤x≤ 关键能力·突破 D错误. 1,由题意知p是9的充分不必要条件，所以 x2-2x+3=(x-1)2+ 答案：BC a>1. :[例1](1)解析 2≥2>0， :即学即练2(1)B[由a<b不能推出a 答案(1，+∞) .x2一2x>-3,故A正确： c<b-d,如a=2,b=3,c=0,d=1, 即学即练2[3，十∞)[由不等式x2一x 满足ab,但是a一c=b一d,故充分性不 120,解得一3x4, a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+2(b-a) 成立： 设p对应的集合为A,则A=[一3,4]. =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 当a-c<b-d时，又c<d,可得a一c十c< 由不等式(x+n)[x-(1+2m)]0(m>0), ,(a一b)2≥0，a十b的符号不确定， b-d十d,即a<b,故必要性成立 解得一n≤x2m十1(n>0), ,.a3十b3与a2b+ab的大小不确定，故B! 所以“ab”是“a一c<b一d”的必要不充分 设q对应的集合为B, 错误： 条件.] 则B=[-m,2+1](m>0). ,a2+2-2a+20+2=(a-1)2+(b+1)2≥0， 因为p是g的充分不必要条件， ∴.a2+b2≥2(a-b-1),故C错误： (2)BD[对于A,由b>a>0可得1> a 所以A是B的真子集， 则{2”（不同时取等子）.解得m≥3 a2-- 11 =(a-b)(a+b)_-4 1 ab >0，A错误；对于B,由a>b>0可得 所以实数m的取值范国是[3，十∞).门 [例3](1)解析Hx∈R,e≥x十1的否定： =(a-b)a+b+ >0,故选项D正确」 方>>0，B正璃：时于C,由6<0<a可 ab 得1>0>1 是]x∈R,ex<x十1，故选D. 答案AD ，C错误；对于D,由b<a<0 答案D 2)解析因为2c一 2b=e-2√e+1= (2)至少有一个实数是无理数 (√e-1)2>0. 可得0>>日，D正确.故选B.D.] [例4]解析，x2+1≥1，.1n(x2十1)≥ 所以2c≥2b,即c>b: 例3](1)解析因为一1<y<1,所以一2< 0,故A是假命题；当x=3时，2<32，故B 又因为(2b)4-(2a)4=16e2-e3=e2(16-e): -2y2, 是假命题；当a=3=0时，sin(a-3)=sina 又0<x<5,所以-2<x-2y<7. 一sinB,故C是真命题：当x= ∈0， 0, 答案D 所以(2b)4>(2a)4, 延伸探究解设x一2y=n(x十y)十n(x 又a,b均为正数， 时，sinx=是，cosr=9 -y), ,sinx<cosx,故 所以2b≥2a, ..x-2y=(m+n)x+(m-n)y, D是假命题，故选C. 即b>a,所以a<bc. 1 21 答案C 答案A .∫m十n=1, 解得 例5](1)解析由题意，3x∈(-1,3)， 即学即练1(1)B[-q= m-n=-2 a≥x2-2x,令h(x)=x2-2x,因为函数 a 6-a-6= 1 h(x)=x2一2x在(-1,1)上单调递减，在1 (1,3)上单调递增，所以h(x)mm=h(1) +。-w-…(台） .x-2y= a b 2(x+)+ 之(x-y), 1一2=一1，所以a≥一1.所以实数a可取 -ab=a_b-a)+e,:a<0, ,-1≤x十y≤2，-2≤x-y≤1， 的最小整数值是一1. ab ab ,-1一 答案A b0,∴.a十b<0,ab>0.若a=b,则p-q= 3 (2)解析若命题p:3x∈R,x2十2x+2 0,故p=q:若a≠b,则p一q<0,故p<q.综 m<0为真命题， 上，p≤q.故选B.] 3 则△=2-4(2-m)=4n-4>0,解得m>1, e2023+1 (2)MD>N[方法-.M-N -4≤-2(x+y+2(x-y)≤2， 所以当命题p:3x∈R,x2十2x十2-m0 e224+1 即一4x-2y2. 为假命题时，m1, e2024+1 (2)解析由于a>b>c,且a十b十c=0 符合条件的为A,B,C选项 e202+1 所以a>0,c<0,b=-a-c,一a-c<a, 答案ABC (e2023+1)(e2025+1)-(e2024+1)2 即学即练3(1)C[对于A,任意两个等腰 (e2024+1)(e2025+1) 2a>-ca >-2，-a-c>c 三角形不一定相似，故A错误；对于B,所有 e2023+e2025-2e2024 的梯形都是等腰梯形是假命题，故卫错误： (e224+1)(e225+1 -a>2…÷<- 1 对于C,因为Hx∈R,x|≥-x,即x+|x≥ e2023(e-1)2 1 0,故C正确：对于D,因为Hx∈R,x2一 (e22+1)(e2a+i>0. 所以-2<<- +1-(-) ≥是>0，故D ∴，M>N. 答案 4 （-2,-2 er+1 错误，门 方法二令f(x)= :即学即练3(1)AC[因为1≤a≤2,3≤b (2)(-∞，一4]U[6,十∞)[若原命题为 ex+1+1 5. 真命题，则3x∈{x-2<x<3},使得m= (e+1+1)+1-马 所以4a十b≤7，-2≤-a≤-1,1≤b-a 2x成立，则一4<n<6;故若原命题为假 e ≤4， 命题， ex+1+1 e er+1+' 所以a十b的取值范国为[4,7]，b-a的取值 则实数m的取值范国为（一∞，一4U[6,: 显然f(x)是R上的减函数， 范国为[1,4]，故A正确，B错误； +∞).] ,∴.f(2023)>f(2024),即MD>N.] 因为1a2,3b5, 例2](1)解析由ab<0,可得a十b<0,i §1.3等式性质与不等式性质 故A错误； 所以3≤ab≤10，方≤方≤3，方≤ 必备知识·整合 由a<b0,可得a-b<0,故B正确： 【知识梳理】 由a<0,可得-a>-b>0,所以a>lbl, 1. 故C错误： 所以b的取值范周为[3，l0],分的取值范 2.b=aa=c 由ab<0,可得a>b>0, 所以}<方 1 3.(3)>(4)> ·故D错误 国为[，号]故C正确，D错误.] 【课前自测】 答案B 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ (2)解析对于A,.a>b>c,·a-c>b (2-2,-3 [-3<a<-2, 2.D[对于A,当a<b<0时，不等式无意义， c0, 1 1 11 ,故 故A错误，对于B,当a<0b时，<1 cc,A错误， 2 a 3 3<-a 21 故B错误；对于C,当a<b<0时，a2>b2,1 对于B,,a>b>c,a+b+c=0, 2<号<<2， a 故C错误；对于D,当a<b时，a3<b3成立， .a>0,c0,a-b>0,.b+c=-a<0, 故D正确.门 ∴，a-b≥>b十c,即a一c≥2b,B正确： 则-2<<-】 374