7.2.3 平行线的性质（讲练）-2025-2026学年七年级下册数学同步讲练+课时分层检测（人教版2024）

7.2.3 平行线的性质 内容导航 知识点一 平行线的性质 1 题型1 利用平行线的性质求角度 3 题型2 平行线与直角三角板问题 6 题型3 利用平行线的性质解决折叠问题 8 题型4 补全推理过程 10 题型5 平行线之间的拐点问题 13 题型6 根据平行线的性质探究角的关系 18 题型7 平行线判定和性质的综合运用 21 综合练习 26 知识点一 平行线的性质 平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 图形 性质1 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等 ∵∥ ∴∠1＝∠2 性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等 ∵∥ ∴∠2＝∠3 性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补 ∵∥ ∴∠2+∠4=180° 注意：只有在两条直线平行的前提下，才有同位角相等、内错角相等和同旁内角互补. 易错警示：忽视两直线平行这一条件是否存在 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提是两直线平行,不能一看到同位角、内错角就认为它们相等，一看到同旁内角就认为它们互补。 平行线的判定和性质的区别与联系 平行线的性质描述的是“数量关系”,它的前提是两直线平行,然后得出相应的角相等或互补的关系,是由“位置关系”到“数量关系”;而平行线的判定,是以相应的角相等或互补为条件,然后推导出两直线平行是由“数量关系”到“位置关系”。 判定 性质 两直线平行 （位置关系） 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 (数量关系) 【基础练习1】如图，，射线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了邻补角和平行线的性质， 根据邻补角互补求出，再根据两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【基础练习2】如图，，直线与射线相交于点，若，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了平行线性质，根据平行线性质求得，再结合邻补角性质求解，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 【基础练习3】如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 直接根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【基础练习4】如图，直线，．判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 根据直线，可得同位角相等，再由内错角相等，两直线平行即可判断位置关系． 【详解】解：．理由如下： ， ． 又∵， . ． 题型1 利用平行线的性质求角度 【典例】如图，直线c与直线a，b都相交．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，关键是识别与的位置关系，利用“两直线平行，内错角相等”求解． 【详解】解：∵，直线为截线， ∴与是内错角， ∴得； 故选：B． 【变式练习1】如图，是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线经过点O，是经过剪刀手柄D的直线．若，，则的度数是 ． 【答案】/127度 【分析】本题考查了邻补角、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据邻补角可得，再根据两直线平行，同位角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式练习2】如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可求出的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式练习3】如图，直线分别与直线，交于点，，，射线，分别与直线交于点，，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 由得，则，由得，结合求出，即可得的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 方法技巧：（1）在求角度的问题中，如果有平行线，，那么先考虑平行线的性质； （2）所求角与已知角不符合“三线入角”的位置关系时，可先通过对项角、邻补角等关系进行适当转化，转化为符合“三线八角”位置关系的角，再运用平行线的性质。 题型2 平行线与直角三角板问题 【典例】将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的等量关系，再结合三角形外角定理进行计算． 先根据平行线的性质得到内错角相等，再利用三角形外角等于不相邻两内角之和，计算出的度数． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 【变式练习1】把一块含有角的直角三角尺按如图方式放置于两条平行线间，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等．由题意，直接利用两直线平行内错角相等求解即可． 【详解】解：由题意两条直线平行， ∴， 又， ∴． 故答案为． 【变式练习2】实践探究 (1)如图1，把一副三角板按照图1紧贴放置，图1中的度数为__________； (2)如图2，把其中等腰直角三角板的直角顶点放置在另一三角板的直角边上，若，求与的度数； (3)如图2，在（2）放置中，把其中等腰直角三角板的直角顶点放置在另一三角板的直角边上，若两三角板的斜边，求与的度数． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）结合三角板各个角的度数，运用角的和差求解即可； （2）由得到，结合即可求解； （3）过点F作，则，得到，，根据角的和差即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， 即． 故答案为：． （2）解：根据题意，得， ∴， ∵， ∴，． （3）解：根据题意，得，，． 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴． 题型3 利用平行线的性质解决折叠问题 【典例】将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质； 先利用平行线的性质得出，再根据折叠的性质和平角的定义计算即可． 【详解】解：如图， 由长方形纸片可得，， ， 由折叠得， ∴ 故答案为：． 【变式练习1】如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别落在的位置上，与交于点，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式练习2】如图，这是一个四边形纸片ABCD，，．把纸片按图所示的方式折叠，使点B落在边AD上的点处，AE是折痕，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠性质平分角度，再在直角三角形中计算角度是解题的关键． 由折叠性质得到，再由得到，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据折叠性质即可求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得： ， ∴， ， 又， 由折叠可知，， 故答案为：． 解题关键：在折叠问题中隐含着相等的角和相等的边及长方形的两组对边平行。 题型4 补全推理过程 【典例】如图，已知，．说明的理由．补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由 解：∵（已知）， （______）， ∴______（等量代换）， ∴（______） ∴______（______） ∵（已知） ∴______（等量代换） ∴（______） 【答案】对顶角相等，，同旁内角互补、两直线平行， ，两直线平行、同位角相等，，内错角相等、两直线平行． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、对顶角相等等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的判定与性质逐步分析即可解答． 【详解】解：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补、两直线平行） ∴（两直线平行、同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等、两直线平行）. 故答案为：对顶角相等，，同旁内角互补、两直线平行， ，两直线平行、同位角相等，，内错角相等、两直线平行． 【变式练习1】如图：已知，，求证：（把证明过程补充完整并在括号内填上理由）； 解：（已知）， （_______________）， _______________（两直线平行，内错角相等）． ， （_______________）， ∴（_______________）． 【答案】同位角相等，两直线平行；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．利用平行线的判定和性质即可求证． 【详解】解：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【变式练习2】如图，，，平分，则与平行吗？阅读下面的过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵平分（________）， ∴________________（角平分线的定义）． ∵（已知）， ∴（________）， ∴________（________）， ∴（________）． ∵（已知）， ∴（________）， ∴（________）． 【答案】已知；；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 根据角平分线的定义推出，根据等量代换得到，根据平行线的判定得到，则有，进而得到，最后利用平行线的判定即可得出答案． 【详解】解：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行． 题型5 平行线之间的拐点问题 【典例】在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 过点作，得到，推出， 即可求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式练习1】机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，求出，得到，求出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式练习2】为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式练习3】如图，已知，，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：过B作，过C作，易得；由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：过B作，过C作，即,, ∵， ∴． ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式练习4】已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线， ， ①________． ， ②________． ， ③________（④________________________）． ． (2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并请用平行线的知识说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为________． 【答案】(1)；；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再由两直线平行，内错角相等得到，，据此由角的和差关系可证明结论； （2）过点G作直线，先证明，再由两直线平行，内错角相等得到，，据此由角的和差关系可证明结论； （3）先由平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，由（2）的结论可知，，据此可得答案． 【详解】（1）证明：过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （2）解：，理由如下： 过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）的结论可知，， ∵， ∴． 拐点模型提炼 “猪蹄”型 “铅笔头”型 “鹰嘴”型 “锯齿”型 已知AB//CD，则 ∠+∠=∠ 已知AB//CD，则 ∠+∠+∠=360° 已知AB//CD，则∠+∠=∠ 已知AB//CD，则∠+∠=∠ 已知AB//CD， ∠+∠=∠+∠ 题型6 根据平行线的性质探究角的关系 【典例】如图，和互补，．设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理推论，掌握以上知识点是解题的关键． 先根据同旁内角互补，两直线平行得到，同位角相等两直线平行得到，再根据平行公理推论得到，最后根据平行线的性质即可得到、、之间的关系； 一题多解：延长至，由解法一可知，然后根据平行线的性质，结合邻补角的性质即可得到、、之间的关系． 【详解】解：和互补，即， ． ， ， ， ，， ． 一题多解如图，延长至点． 由解法一可知， ， ． 【变式练习1】如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式练习2】如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出；根据角平分线定义得出，，求出，即可得出，从而得出；根据平行线的性质得出，根据，得出；根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上分析，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 方法技巧：在确定两角之间数量关系问题中，如果有平行线，，那么先考虑平行线的性质； 题型7 平行线判定和性质的综合运用 【典例】如图，是上一点，是上一点，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据已知得出，根据平行线的性质可得，结合对顶角相等得出，根据内错角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】证明：已知， 对顶角相等， 等量代换， 同位角相等，两直线平行， 两直线平行，同位角相等． 又已知， 等量代换， 内错角相等，两直线平行． 【变式练习1】如图，点D、B分别在AE、FC上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）与性质定理（两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等）是解题的关键． （1）通过已知角相等的条件，利用等量代换得到内错角相等，从而证明两直线平行． （2）先由（1）的平行结论推出同旁内角互补，再结合角相等的条件证明另一组直线平行，最后利用平行线的性质得到角相等，进而求出角的度数． 【详解】（1）证明：如图， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式练习2】如图，于点于点． (1)求证； (2)判断与的位置关系并且证明； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得，进而可判定； （2）由，得到，继而得到，再由内错角相等，两直线平行即可判定； （3）由，可得，则，再由直接计算即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式练习3】已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G． (1)如图1，若，则的度数是 ． (2)作平分，交于点M． 如图2，过点G作，交直线于点N，求证：． 如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线的定义，结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，进行计算即可； （2）根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线的定义，即可证明；由已知条件得出，再根据直角三角形两锐角互余，平角的定义，结合等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 平分， ， ． 故答案为：． （2）解：①∵平分， ． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ② ，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ， ． 规律总结：在利用平行线的性质或判定解题时，一定要看清楚直线与角的位置关系，看同位角、内错角、同旁内角是由哪两条直线被哪条直线所截而成的.平行线的判定与性质的区别：由已知角的关系得平行时用判定，由已知平行的关系得角的关系时用性质， 综合练习 一、单选题 1．如图，直线c与直线a、b都相交．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质结合对顶角的性质，推出即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 2．如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角等知识，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，则． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据平行线的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 4．四边形如图所示，是延长线上的一点，下列推理正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是判断相等或互补的两个角是哪两条直线被第三条直线所截形成的角． 【详解】解：A选项：和是直线和直线被直线所截形成的同位角，不能说明，故A选项错误； B选项：和是直线和直线被直线所截形成的内错角，不能说明，故B选项错误； C选项：和是直线和直线被直线所截形成的同旁内角，不能说明，故C选项错误； D选项：和是和直线被直线所截形成的同旁内角，可得，故D选项正确． 故选：D． 5．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据三角板的角度特点得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．由折叠可得，，由长方形得到，，因此，再由平行线的性质得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：由折叠可得，， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8．如图所示，已知，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查两直线平行的判定与性质，直线平行的传递性，作合适的辅助线是解题的关键． 过作，由平行的性质可得，进而得到，即，再由平行的传递性可得． 【详解】解：过作， （两直线平行，内错角相等）， ，， ， （内错角相等，两直线平行）， ， ． 故选：C． 9．如图，凸透镜的主光轴与平静水面重合，F为焦点，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，，则，即可解答． 【详解】解：如图 由题意，得 ，， ∴． 故选D． 10．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 二、填空题 11．用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质；关键是利用数形结合的思想解题；根据对顶角的性质和平行线的性质，可以求得的度数，从而可以得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，把一副三角板与一个直尺摆放成如图所示的图形，则 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，根据三角板中角度的特点可得的度数，则由平角的定义可得的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， ∵直尺的对边平行，即， ∴， 故答案为：75． 13．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否 ．（填“准确”或“不准确”） 【答案】准确 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． 过点P作，利用两直线平行，同旁内角互补求出，即有，问题得解． 【详解】解：如图，过点P作，    则． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴此时瞄准最准确． 故答案为：准确． 14．有下列说法：①相等的角是对顶角；②经过一点可作一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交；④经过一点可作一条直线与已知直线垂直；⑤内错角相等．其中正确的有 ． 【答案】③ 【分析】本题考查了对顶角的定义、平行公理、平行线的性质、垂直的性质，根据以上性质定理进行判断即可． 【详解】解： 相等的角不一定是对顶角，①说法错误； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②说法错误； 在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交，③说法正确； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，④说法错误； ⑤两直线平行，内错角相等，⑤说法错误； 故答案为：③． 15．如图，直线，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 作出如图的辅助线，先根据直线，得出，然后根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数． 【详解】解：如图所示，点A在直线l1上，点B、D在直线l2上，点C在之间，为， ∵直线， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴， 故答案为：． 16．如图，，将一副直角三角板按如图的方式摆放，其中．下列结论：①；②，③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，补角的性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，平行公理，补角的性质，三角板的性质，进行解答，即可． 【详解】解：①由题意，， ，故①正确； ②， ，故②正确； ③如图，过点作， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ，故③不正确； ④， ， ， ， ， ，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题 17．如图，已知，平分，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：平分（已知）， （角平分线的定义）． （已知）， （___________）， ___________（等量代换）． （已知）， ___________（同旁内角互补，两直线平行）， ___________（___________）， （等量代换）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，内错角相等． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，由，可得，根据平行线的性质，可得，等量代换即可证得结论． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为： 两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，内错角相等． 18．如图，梯形 中，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据两直线平行，同旁内角互补，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 19．已知：如图，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟知相关性质是正确解答此题的关键． 先证明，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 20．如图，若，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 根据得到，从而得到，推出，再由题意即可得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 21．如图，在射线上任取一点E，在射线上任取一点F，连接．已知平分，，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，平行线的性质，以及，推出，即可得出结论； （2）根据平行线的性质，角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴； ∵， ∴． 22．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）延长交于E，利用平行线的性质即可求证； （2）分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解； （3）分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：； 理由：如图，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.3 平行线的性质 内容导航 知识点一 平行线的性质 1 题型1 利用平行线的性质求角度 2 题型2 平行线与直角三角板问题 3 题型3 利用平行线的性质解决折叠问题 4 题型4 补全推理过程 5 题型5 平行线之间的拐点问题 6 题型6 根据平行线的性质探究角的关系 8 题型7 平行线判定和性质的综合运用 9 综合练习 10 知识点一 平行线的性质 平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 图形 性质1 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等 ∵∥ ∴∠1＝∠2 性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等 ∵∥ ∴∠2＝∠3 性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补 ∵∥ ∴∠2+∠4=180° 注意：只有在两条直线平行的前提下，才有同位角相等、内错角相等和同旁内角互补. 易错警示：忽视两直线平行这一条件是否存在 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提是两直线平行,不能一看到同位角、内错角就认为它们相等，一看到同旁内角就认为它们互补。 平行线的判定和性质的区别与联系 平行线的性质描述的是“数量关系”,它的前提是两直线平行,然后得出相应的角相等或互补的关系,是由“位置关系”到“数量关系”;而平行线的判定,是以相应的角相等或互补为条件,然后推导出两直线平行是由“数量关系”到“位置关系”。 判定 性质 两直线平行 （位置关系） 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 (数量关系) 【基础练习1】如图，，射线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【基础练习2】如图，，直线与射线相交于点，若，则 ． 【基础练习3】如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是 ． 【基础练习4】如图，直线，．判断直线与的位置关系，并说明理由． 题型1 利用平行线的性质求角度 【典例】如图，直线c与直线a，b都相交．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】如图，是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线经过点O，是经过剪刀手柄D的直线．若，，则的度数是 ． 【变式练习2】如图，，，，求的度数． 【变式练习3】如图，直线分别与直线，交于点，，，射线，分别与直线交于点，，且，，求的度数． 方法技巧：（1）在求角度的问题中，如果有平行线，，那么先考虑平行线的性质； （2）所求角与已知角不符合“三线入角”的位置关系时，可先通过对项角、邻补角等关系进行适当转化，转化为符合“三线八角”位置关系的角，再运用平行线的性质。 题型2 平行线与直角三角板问题 【典例】将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】把一块含有角的直角三角尺按如图方式放置于两条平行线间，若，则 ． 【变式练习2】实践探究 (1)如图1，把一副三角板按照图1紧贴放置，图1中的度数为__________； (2)如图2，把其中等腰直角三角板的直角顶点放置在另一三角板的直角边上，若，求与的度数； (3)如图2，在（2）放置中，把其中等腰直角三角板的直角顶点放置在另一三角板的直角边上，若两三角板的斜边，求与的度数． 题型3 利用平行线的性质解决折叠问题 【典例】将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为 °． 【变式练习1】如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别落在的位置上，与交于点，若，则 ． 【变式练习2】如图，这是一个四边形纸片ABCD，，．把纸片按图所示的方式折叠，使点B落在边AD上的点处，AE是折痕，则的度数是 ． 解题关键：在折叠问题中隐含着相等的角和相等的边及长方形的两组对边平行。 题型4 补全推理过程 【典例】如图，已知，．说明的理由．补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由 解：∵（已知）， （______）， ∴______（等量代换）， ∴（______） ∴______（______） ∵（已知） ∴______（等量代换） ∴（______） 【变式练习1】如图：已知，，求证：（把证明过程补充完整并在括号内填上理由）； 解：（已知）， （_______________）， _______________（两直线平行，内错角相等）． ， （_______________）， ∴（_______________）． 【变式练习2】如图，，，平分，则与平行吗？阅读下面的过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵平分（________）， ∴________________（角平分线的定义）． ∵（已知）， ∴（________）， ∴________（________）， ∴（________）． ∵（已知）， ∴（________）， ∴（________）． 题型5 平行线之间的拐点问题 【典例】在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式练习2】为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则 ． 【变式练习3】如图，已知，，则 ． 【变式练习4】已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线， ， ①________． ， ②________． ， ③________（④________________________）． ． (2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并请用平行线的知识说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为________． 拐点模型提炼 “猪蹄”型 “铅笔头”型 “鹰嘴”型 “锯齿”型 已知AB//CD，则 ∠+∠=∠ 已知AB//CD，则 ∠+∠+∠=360° 已知AB//CD，则∠+∠=∠ 已知AB//CD，则∠+∠=∠ 已知AB//CD， ∠+∠=∠+∠ 题型6 根据平行线的性质探究角的关系 【典例】如图，和互补，．设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式练习2】如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有 ． 方法技巧：在确定两角之间数量关系问题中，如果有平行线，，那么先考虑平行线的性质； 题型7 平行线判定和性质的综合运用 【典例】如图，是上一点，是上一点，求证： 【变式练习1】如图，点D、B分别在AE、FC上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式练习2】如图，于点于点． (1)求证； (2)判断与的位置关系并且证明； (3)若，求的度数． 【变式练习3】已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G． (1)如图1，若，则的度数是 ． (2)作平分，交于点M． 如图2，过点G作，交直线于点N，求证：． 如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系，并说明理由． 规律总结：在利用平行线的性质或判定解题时，一定要看清楚直线与角的位置关系，看同位角、内错角、同旁内角是由哪两条直线被哪条直线所截而成的.平行线的判定与性质的区别：由已知角的关系得平行时用判定，由已知平行的关系得角的关系时用性质， 综合练习 一、单选题 1．如图，直线c与直线a、b都相交．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，则（    ） A． B． C． D． 4．四边形如图所示，是延长线上的一点，下列推理正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，已知，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．无法确定 9．如图，凸透镜的主光轴与平静水面重合，F为焦点，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则 度． 12．如图，把一副三角板与一个直尺摆放成如图所示的图形，则 ． 13．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否 ．（填“准确”或“不准确”） 14．有下列说法：①相等的角是对顶角；②经过一点可作一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交；④经过一点可作一条直线与已知直线垂直；⑤内错角相等．其中正确的有 ． 15．如图，直线，，，则的度数是 ． 16．如图，，将一副直角三角板按如图的方式摆放，其中．下列结论：①；②，③；④．其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 17．如图，已知，平分，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：平分（已知）， （角平分线的定义）． （已知）， （___________）， ___________（等量代换）． （已知）， ___________（同旁内角互补，两直线平行）， ___________（___________）， （等量代换）． 18．如图，梯形 中，，，求的度数． 19．已知：如图，，．求证：． 20．如图，若，，，试说明：． 21．如图，在射线上任取一点E，在射线上任取一点F，连接．已知平分，，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 22．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 学科网（北京）股份有限公司 $