精品解析：广东省湛江市第三十中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

湛江市第三十中学2025-2026学年度第一学期 八年级期末数学科课堂练习卷 一、单项选择题．（每小题3分，共30分） 1. 中国瓷器积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分瓷器上的图案设计精美，极富变化、下面瓷器上的图案中，是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.00 000 076克，用科学记数法表示是（ ） A. 7.6×107克 B. 7.6×10-6克 C. 7.6×10-7克 D. 7.6×10-8克 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果是一个完全平方式，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 7. 如图，已知，，，以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接与相交于点D，连接，则的周长为（　　） A. 8 B. C. D. 8. 数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，平分，交于点D．，，则点D到的距离是（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 6 10. 如图，等腰的面积为，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交边于点，点D为边的中点，点M为直线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 6 D. 3 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围为_____． 12. 计算：______． 13. 已知，则的值为______． 14. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的度数为______． 15. 如图，以长方形 的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为，面积之和为，则长方形 的面积为_______． 三、解答题．（共75分） 16. 先化简，再代入求值：，其中． 17. 如图，点、在上，，，．求证：． 18. 如图，已知． （1）作出关于x轴对称的； （2）写出点的坐标（_____），（_____），（_____）； （3）计算的面积． 19. 中国无人机在沙特的夜色中徐徐升空，在空中绘制出一幅幅让人叹为观止的画面，不但震撼了沙特王室和当地观众，也惊艳了世界．某公司计划为仓库购买甲、乙两种型号的无人机搬运材料．已知每台甲型无人机比每台乙型无人机每小时多搬运材料，且每台甲型无人机搬运材料所用的时间与每台乙型无人机搬运材料所用的时间相同．求每台甲、乙两种型号无人机每小时分别搬运多少材料？ 20. 小区绿化是一个集生命、健康、社交、经济和美学价值于一体的综合性系统工程，是衡量一个社区品质和宜居程度的重要标尺．如图，在小区内有一块长为米、宽为米的长方形地块，现将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形区域． （1）求绿化的面积S；（用含a，b的式子表示，并化简） （2）若，，绿化的费用是每平方米60元，求完成绿化共需要多少元？ 21. 【问题背景】角平分线判定的发展是一个漫长的过程，古希腊时朋，欧几里得的《几何原本》对角平分线判定就已经有了一些早期的思考．随着时间的推移，数学家们不断深入研究几何图形的性质．在近代和现代数学中，角平分线的判定得到了更加精确的表述和证明，并广泛应用于各个领域，如平面几何、解析几何、三角学等． 【问题解决】如图，在中，D是的中点，于E，于F，． （1）求证：平分； （2）连接，求证：垂直平分． 22. 探索发现：；；…根据你发现的规律，回答下列问题： （1）______，______； （2）利用你发现的规律计算：______； （3）灵活利用规律解方程：． 23. 在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，且，，点、，且、满足． （1）如图1，则________，________，点的坐标为________； （2）如图2，若点在轴的正半轴上，且满足，于点，交于点，求证：； （3）在（2）条件下，请同学们探究线段、、之间的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第三十中学2025-2026学年度第一学期 八年级期末数学科课堂练习卷 一、单项选择题．（每小题3分，共30分） 1. 中国瓷器积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分瓷器上的图案设计精美，极富变化、下面瓷器上的图案中，是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.00 000 076克，用科学记数法表示是（ ） A. 7.6×107克 B. 7.6×10-6克 C. 7.6×10-7克 D. 7.6×10-8克 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00 000 076用科学记数法表示为，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A错误； B、，不能构成三角形，故B错误； C、，能构成三角形，故C正确； D、，不能构成三角形，故D错误． 故选：C． 4. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，可得： ，即分式的值不变． 故选：A． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘法则计算判断A，根据幂的乘方法则计算判断B，然后根据积的乘方法则计算判断B，最后根据合并同类项的法则计算判断D． 【详解】因为， 所以A正确； 因为， 所以B不正确； 因为， 所以C不正确； 因为， 所以D不正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了幂的运算，掌握运算法则是解题的关键． 6. 如果是一个完全平方式，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握一个多项式能化成某个多项式的平方形式，即称这个多项式是完全平方式是解本题的关键． 利用完全平方式的概念即可求出m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 7. 如图，已知，，，以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接与相交于点D，连接，则的周长为（　　） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图得到垂直平分线，从而得到，即可得到答案； 【详解】解：根据作图过程可知：是的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质及三角形周长，解题的关键是根据作图得到垂直平分线． 8. 数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等． 【详解】解：由题意知，， 在和中， ， ． 故选：C 9. 如图，在中，，平分，交于点D．，，则点D到的距离是（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，含30度角的直角三角形，角平分线，点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 过点D作于点E，先求出，推导出，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ，， ∴， ∵平分，交 于点D， ∴， ∴， ∴点D到的距离是4． 故选：A． 10. 如图，等腰的面积为，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交边于点，点D为边的中点，点M为直线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】x≠﹣2 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，解这个不等式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：x+2≠0， ∴x≠﹣2， 故答案为x≠﹣2． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件：分母不为0． 12. 计算：______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂与零指数幂的运算，掌握知识点是解题的关键． 依据负整数指数幂、零指数幂的运算法则分别计算各项，再进行加法运算即可． 【详解】解：． 故答案为：10． 13. 已知，则的值为______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．根据平方差公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：21． 14. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的度数为______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】利用三角形的外角的性质可求出，再利用邻补角的定义即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 15. 如图，以长方形 的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为，面积之和为，则长方形 的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解题的关键．设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为，根据完全平方公式得出，求解即可． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为可得， ，， 即①，②， 由①得，③， ③②得， 所以， 即长方形的面积为， 故答案为：． 三、解答题．（共75分） 16. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图，点、在上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键．先利用线段的和差得出，再利用“边角边”判定定理证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴． 18. 如图，已知． （1）作出关于x轴对称的； （2）写出点的坐标（_____），（_____），（_____）； （3）计算的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查轴对称的作图、坐标与图形等知识，准确作图是解题的关键． （1）分别作出关于x轴对称点，顺次连接即可； （2）根据点的位置写出点的坐标即可； （3）利用长方形面积减去周围三个小直角三角形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 点的坐标分别是， 故答案为： 【小问3详解】 的面积为． 19. 中国无人机在沙特的夜色中徐徐升空，在空中绘制出一幅幅让人叹为观止的画面，不但震撼了沙特王室和当地观众，也惊艳了世界．某公司计划为仓库购买甲、乙两种型号的无人机搬运材料．已知每台甲型无人机比每台乙型无人机每小时多搬运材料，且每台甲型无人机搬运材料所用的时间与每台乙型无人机搬运材料所用的时间相同．求每台甲、乙两种型号无人机每小时分别搬运多少材料？ 【答案】每台乙型无人机每小时搬运材料，每台甲型无人机每小时搬运材料 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是根据题中的等量关系列出分式方程． 先设每台乙型无人机每小时搬运材料，再用表示出每台甲型无人机每小时搬运材料的重量，再根据“每台甲型无人机搬运材料所用的时间与每台乙型无人机搬运材料所用的时间相同”列出方程求解，并验根，再求出每台甲型无人机每小时搬运材料的重量． 【详解】解：设每台乙型无人机每小时搬运材料，则每台甲型无人机每小时搬运材料， 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ， 答：每台乙型无人机每小时搬运材料，每台甲型无人机每小时搬运材料． 20. 小区绿化是一个集生命、健康、社交、经济和美学价值于一体的综合性系统工程，是衡量一个社区品质和宜居程度的重要标尺．如图，在小区内有一块长为米、宽为米的长方形地块，现将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形区域． （1）求绿化的面积S；（用含a，b的式子表示，并化简） （2）若，，绿化的费用是每平方米60元，求完成绿化共需要多少元？ 【答案】（1） （2）6600元 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，代数式求值． （1）根据正方形面积公式，长方形面积公式，结合整式的乘法运算法则计算即可； （2）将，代入（2）中结果求出绿化的面积，再乘以费用即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：当，时， ， （元）， 答：完成绿化共需要6600元． 21. 【问题背景】角平分线判定的发展是一个漫长的过程，古希腊时朋，欧几里得的《几何原本》对角平分线判定就已经有了一些早期的思考．随着时间的推移，数学家们不断深入研究几何图形的性质．在近代和现代数学中，角平分线的判定得到了更加精确的表述和证明，并广泛应用于各个领域，如平面几何、解析几何、三角学等． 【问题解决】如图，在中，D是的中点，于E，于F，． （1）求证：平分； （2）连接，求证：垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定，证明，可得，再根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质证明，可得，进一步可推得，再根据等腰三角形的三线合一性质，可证，平分，即得答案． 【小问1详解】 D是的中点， ， ，， ， 又， ， ， 平分； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， 平分， ， ，平分， 即垂直平分． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的判定定理，等腰三角形的判定，等腰三角形的三线合一性质，灵活运用相关定理是解题的关键． 22. 探索发现：；；…根据你发现的规律，回答下列问题： （1）______，______； （2）利用你发现的规律计算：______； （3）灵活利用规律解方程：． 【答案】（1）， （2） （3）方程的解为 【解析】 【分析】本题考查找规律：数字的变化类、裂项相消法计算、解分式方程，熟练掌握有理数的混合运算法则，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）观察已知等式，写出所求即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）根据得出的规律化简方程，求出解即可． 【小问1详解】 解：根据上述规律， 可得，， 故答案为：，． 【小问2详解】 解： ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：化简： 故可得 解上述分式方程，化简得， 解得，经检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解， 故方程的解为． 23. 在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，且，，点、，且、满足． （1）如图1，则________，________，点的坐标为________； （2）如图2，若点在轴的正半轴上，且满足，于点，交于点，求证：； （3）在（2）条件下，请同学们探究线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1），2， （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性可得的值；过点作轴于点，根据定理证出，再根据全等三角形的性质可得，，由此即可得出点的坐标； （2）连接，先根据角的和差可得，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （3）先根据可得，，从而可得，再根据可得，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ，， ，， ，， ，， 如图，过点作轴于点， ，， ，， ． 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：，2；． 【小问2详解】 证明：如图，连接， ，， ， 又， ， ， ， 在和中，， ， ，， 又轴， ， ， ， 又， ， ， ， 在和中，， ， ， ． 【小问3详解】 解：线段、、之间的数量关系为． 证明如下：由（2）已证：， ，， ， 由（2）已证：， ， 又， ． 【点睛】本题考查了点坐标与图形、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，较难的是题（2），正确找出两组全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $