6.2.1§6.2.2 排列与排列数（2）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学选择性必修第三册导学案 第六章 计数原理 第六章 计数原理 §6.2.1- 6.2.2 排列与排列数（2）【导学】【解析】 【导学目标】 1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列. 2.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算. 3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题. 【导学难点】能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题. 【导学重点】熟练掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算. 【知识要点】 【典型例题】 题型一 排列的意义与理解 【例1-1】下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从8个人中选2人分别去种树和扫地； B．从班上24名男生中选出5人组成一个篮球队； C．从班上24名学生中选出6人，分别担任6科课代表； D．从1，2，3，4，5 ，6这六个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数. 【答案】B 【分析】根据排列的定义判断即可. 【解析】对于A，从8个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意； 对于B，从班上24名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意； 对于C，从班上24名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意； 对于D，从1，2，3，4，5，6这六个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意. 故选：B 【例1-2】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法; B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法; C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线; D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种. 【答案】B 【分析】根据排列的定义逐项判断即可. 【解析】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 【例1-3】（多选）下列问题是排列问题的是（ ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法; B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法; C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量; D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种. 【答案】BC 【分析】根据排列的定义逐项判断即可. 【解析】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定向量涉及顺序问题，是排列问题，C正确； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：BC 题型二 有关排列数的计算、化简、证明 【例2-1】可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【解析】由排列数公式2）， 可知. 故选：B. 【例2-2】（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的计算即可求解. 【解析】. 故选：B 【例2-3】证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【解析】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 【例2-4】（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算即可得解， 【解析】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. 题型三 排列运用之排队 【例3-1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选5人排成一排； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体排成一排，女生必须站在一起； （4）全体排成一排，男生互不相邻； （5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； （6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边. 【解析】(1) 选 5 人排成一排 从 7 人中选 5 人，再进行全排列：=7×6×5×4×3=2520. (2) 排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人 相当于 7 人全排列，因为前后排只是位置划分，不影响排列总数：=7!=5040. (3) 全体排成一排，女生必须站在一起 捆绑法：把 4名女生看成一个整体，与 3名男生一起排列，同时女生内部再排列： ×=24×24=576. (4) 全体排成一排，男生互不相邻 插空法：先排 4 名女生，形成 5 个空位，再将 3 名男生插入空位： ×=24×60=1440. (5) 全体排成一排，甲不站最左边，也不站最右边 方法 1：先排甲，甲有 5 个位置可选，再排其余 6 人：5×=5×720=3600. 方法 2：总排列数减去甲在最左或最右的情况：−2×=5040−1440=3600. (6) 全体排成一排，甲不站最左边，乙不站最右边 间接法：总排列数减去甲在最左、乙在最右的情况，再加上甲在最左且乙在最右的重复部分：−−+=5040−720−720+120=3720. 【例3-2】如图，在两行三列的网格中放入标有数字、、、、、的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为”的不同的放法有（    ） A． 种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】先考虑左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列，利用间接法可得出放法种数，同理可得出左边一列两个数字为和的放法种数，即可得解. 【解析】在、、、、、六个数字中，， 若左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列， 此时，不同的填数字的方法种数为， 所以，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种. 同理，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种. 因此，满足条件的放法种数为种. 故选：C. 题型四 数字排列问题 【例4-1】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的数共有（    ）个 A．48 B．36 C．32 D．24 【答案】B 【分析】根据题意，分为两类：个位数字是0和个位数字是5，结合分类计数原理，即可求解. 【解析】根据题意，能被5整除的没有重复的三位数分成两类： ①个位数字是0，有； ②个位数字是5，先填百位再填十位，有种， 由分步计数原理，可得共有种. 故选：B． 【例4-2】用，，，，，，组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？ （1）偶数不相邻； （2）偶数一定在奇数位上； （3）和之间恰有一个奇数，没有偶数； （4）三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列. 【解析】(1) 偶数不相邻 先排4个奇数（1,3,5,7），有种排法，形成 5个空位。 再将3个偶数（2,4,6）插入这 5个空位，有种排法。 总数：×=24×60=1440. (2) 偶数一定在奇数位上 七位数的奇数位有第 1、3、5、7 位，共 4 个位置。 从 4个奇数位中选 3个放偶数（2,4,6），有种排法。 剩下 4个位置放 4个奇数（1,3,5,7），有 种排法。 总数：×=24×24=576. (3) 1 和 2 之间恰有一个奇数，没有偶数 先选 1 个奇数放在 1 和 2 之间，有 3 种选择（3,5,7）。 将 “1 - 奇数 - 2” 或 “2 - 奇数 - 1” 看成一个整体，共 2×3=6 种组合。 这个整体与剩下的 4 个数字（3 个奇数 + 2 个偶数）全排列，有种排法。 总数：6×=6×120=720. (4) 三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列 7 个数字全排列有种，其中 3 个偶数的排列有种，只有 1 种是从小到大的顺序。 总数：×=5040×6=30240. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学选择性必修第三册导学案 第六章 计数原理 第六章 计数原理 §6.2.1- 6.2.2 排列与排列数（2）【导学】 【导学目标】 1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列. 2.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算. 3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题. 【导学难点】能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题. 【导学重点】熟练掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算. 【知识要点】 【典型例题】 题型一 排列的意义与理解 【例1-1】下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从8个人中选2人分别去种树和扫地； B．从班上24名男生中选出5人组成一个篮球队； C．从班上24名学生中选出6人，分别担任6科课代表； D．从1，2，3，4，5 ，6这六个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数. 【例1-2】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法; B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法; C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线; D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种. 【例1-3】（多选）下列问题是排列问题的是（ ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法； B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法； C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量； D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种. 题型二 有关排列数的计算、化简、证明 【例2-1】可以表示为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（    ） A． B．3 C． D． 【例2-3】证明下列等式． (1)； (2)． 【例2-4】（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 题型三 排列运用之排队 【例3-1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选5人排成一排； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体排成一排，女生必须站在一起； （4）全体排成一排，男生互不相邻； （5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； （6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边. 【例3-2】如图，在两行三列的网格中放入标有数字、、、、、的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为”的不同的放法有（    ） A． 种 B．种 C．种 D．种 题型四 数字排列问题 【例4-1】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的数共有（    ）个 A．48 B．36 C．32 D．24 【例4-2】用，，，，，，组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？ （1）偶数不相邻； （2）偶数一定在奇数位上； （3）和之间恰有一个奇数，没有偶数； （4）三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $