22.2函数的表示（第1课时）（教学设计）数学新教材人教版八年级下册

22.2函数的表示（第1课时） 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课是在学习函数概念的基础上，进一步讨论函数的图象，学习用描点法画函数的图象，初步讨论函数的变化规律和变化趋势。 2. 内容分析 本节课是函数表示方法的核心课时，在学生掌握函数概念、解析式表示法的基础上，重点学习函数的图象表示法和描点法画函数图象，是“数”与“形”结合的关键教学内容。函数图象能直观、形象地反映变量间的对应关系和变化规律，描点法是绘制函数图象的基本方法，其操作步骤蕴含着“具体→抽象”“数→形”的数学思想。本节课的学习承接了解析式法表示函数的知识，又为后续学习一次函数、反比例函数的图象与性质奠定操作和认知基础，同时让学生初步体会数形结合思想，实现从用数学式子刻画函数到用图形刻画函数的转化。从知识逻辑来看，解析式、列表、图象是函数的三种表示方法，图象法是对前两种方法的直观拓展，符合学生“由数到形”的认知规律。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：会用描点法画出函数图象。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）会用描点法画出函数图象，能说出画函数图象的步骤。 （2）会判断一个点是否在函数的图象上。 （3）能初步通过分析图象中变量的对应关系、变化规律和变化趋势，体会数形结合思想，发展几何直观。 2. 目标解析 （1）学生能理解函数图象的定义，明确函数图象上的点与自变量、函数值的一一对应关系，能准确说出描点法画函数图象的列表、描点、连线三步核心步骤，能独立用描点法画出一次函数、简单反比例函数和二次函数的图象，掌握画图的基本规范和注意事项。 （2）学生能掌握判断一个点是否在函数图象上的方法，即把点的横坐标代入函数解析式，验证计算出的函数值是否等于纵坐标，能快速准确判断点与函数图象的位置关系。 （3）学生能通过观察函数图象，初步分析变量间的变化规律，体会数形结合思想，发展几何直观和图象分析能力，能结合图象解决简单的函数问题。 三、教学问题诊断分析 存在问题： 1. 学生在使用描点法画函数图象时，存在列表取值不合理、描点位置不准确、连线不规范等问题，导致画出的图象不能准确反映函数特征。 2. 学生在分析函数图象的变化规律时，容易忽略自变量的取值范围，对图象的趋势判断不准确，尤其是在非一次函数的图象分析中，难以把握整体变化特征。 应对策略： 1. 针对描点法的操作问题，通过示范教学规范画图步骤，强调列表时自变量要均匀取值、兼顾正负（若有），描点时要找准坐标，连线时要按横坐标由小到大用平滑曲线连接；同时设计画图纠错练习，让学生发现并改正画图中的常见错误。 2. 在分析图象变化规律时，引导学生结合自变量取值范围，沿着横坐标从左到右的方向观察图象的升降趋势，通过标注关键点，帮助学生准确判断函数的变化规律。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：会用描点法画出函数图象。 四、教学过程设计 （一）复习引入 由上一节我们知道，用解析式可以表示函数与自变量之间的关系，例如路程与时间的关系；用图和表格也可以表示函数与自变量之间的关系，例如潮水高度与时间的关系、年利率与存款期限的关系．表示函数时，要根据具体情况选择合适的方法. 设计意图：通过回顾函数的三种表示方法（解析式、图象、表格），唤醒学生的知识储备，让学生明确本节课的研究重点是函数的图象表示法，实现知识的自然衔接。 （二）合作探究 问题 正方形的面积S与边长x的函数解析式为S=x2.根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是x>0.对于能用解析式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观. 追问1 如何画出函数S=x2的图象呢？ 追问2 自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否确定了一个点(x，S)呢? ①列表 追问 为什么此处要写省略号？ ②描点； ③连线. 注意 1.用空心圆圈表示不在曲线上的点. 2.用平滑曲线连接画出的点. 3.表示x与S的对应关系的点有无数个.但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置. 归纳 函数的图象的概念 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线，这种画函数图象的方法称为描点法． 设计意图：以学生熟悉的正方形面积与边长的函数关系为载体，通过层层追问引导学生自主探究画函数图象的方法，符合学生的认知起点。从确定解析式和自变量取值范围，到列表、描点、连线，逐步拆解画图步骤，让学生经历“数→形”的转化过程。结合画图过程给出函数图象和描点法的定义，让学生在具体操作中理解概念，而非机械记忆；同时强调画图的注意事项，规范学生的操作行为，突破描点法画图的操作难点。 （三）典例分析 例1 在下列式子中，y是x的函数.画出这些函数的图象，通过图象观察函数与自变量的关系. (1)y=x+0.5； (2)y= (x>0) 解：（1）从式子y=x+0.5可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义，x的取值范围是全体实数.从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表. 根据表中的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点. 从函数y=x+0.5的图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y随之增大. 解：（2）y= (x>0)中x的取值范围是全体正实数，从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表. 根据表中的数值在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点. 从函数y= (x>0)的图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y随之减小. 归纳 用描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 设计意图：选取两个典型例题，涵盖直线和曲线两种不同类型的函数图象，让学生掌握不同函数的描点法画图技巧。通过规范的解题示范，再次强化描点法“列表、描点、连线”的三步法，同时引导学生观察图象的变化规律，体会“从左到右看图象，升降判断变化趋势”的分析方法，培养学生的图象分析能力，进一步规范画图步骤，突出教学重点，同时初步渗透数形结合思想。 （四）巩固练习 1.(1)画出函数y=2x−1的图象； (2)判断点A（−2.5，−4），B（1，3），C（2.5，4）是否在函数y=2x−1的图象上. 解：(1)列表： 描点，连线： (2)当x=−2.5时，y=2×(−2.5)−1=−6≠−4，当x=1时，y=2×1−1=1≠3，当x=2.5时，y=2×2.5−1=4， ∴点A，B不在函数y=2x−1的图象上，点C在函数y=2x−1的图象上. 2.(1)画出函数y=x2+1的图象； (2)观察函数y=x2+1的图象，当x<0时，y随x的增大而增大还是y随x的增大而减小？当x>0时呢？ 解：(1)列表： 描点，连线： (2)当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 3．以下四点中，在函数图象上的点是（  B  ） A． B． C． D． 4．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（  A  ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 分析： 设计意图：设计分层、多类型的练习，涵盖描点法画图、点与函数图象的位置判断、图象变化规律分析、画图纠错等题型，兼顾基础巩固和能力提升。 （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2023年浙江绍兴）已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（  B  ） A．  B． C．  D．   2．（2022年浙江舟山）6月13日，某港口的潮水高度y（）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下： x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 … y（） … 189 137 103 80 101 133 202 260 … （数据来自某海洋研究所） (1)数学活动： ①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象． ②观察函数图象，当时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？ (2)数学思考： 请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论． (3)数学应用： 根据研究，当潮水高度超过260时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？ 解：（1）① ②当时，；当y的值最大时，． （2）答案不唯一． ①当时，y随x的增大而增大； ②当时，y有最小值80． （3）根据图象可得：当或时，潮水高度超过260，适合货轮进出港口. 设计意图：选取近年中考真题，涵盖函数图象的判断、图象的补全与分析、结合图象解决实际问题等中考常见考查形式，让学生感受本节课知识在中考中的考查角度、难度和题型特点，增强中考意识，既巩固了描点法画图和图象分析的知识，又提升了学生运用数形结合思想解决实际问题的能力，实现课堂知识与中考考点的有效衔接。 （七）小结梳理 （八）布置作业 1.必做题：习题22.2 第1，2题. 2.探究性作业：习题22.2 第3题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $