22.2函数的表示 教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章 函数 人教版(2024) 22.2函数的表示(课时1) 一、教学目标 1.理解函数图象的概念； 2.能用描点法画出简单函数的图象. 二、教学重点及难点 重点：掌握描点法画函数图象的一般步骤. 难点：能用描点法画出简单函数的图象. 三、教学过程 【新知导入】 教师阐述：由上一节我们知道，用解析式可以表示函数与自变量之间的关系，例如路程与时间的关系；用图和表格也可以表示函数与自变量之间的关系，例如潮水高度与时间的关系、年利率与存款期限的关系.表示函数时，要根据具体情况选择合适的方法. 有些问题中的函数很难用函数解析式来表示，但是可以用图象来直观地反映它们的变化情况. 设计意图：不同的表示方法适用不同的场景，体会图象表示函数更直观、更形象的优势，自然引出函数图象的学习内容，为后续探究函数的图象做好过渡. 【探究新知】 教师提出：说出正方形的面积S与边长x的函数解析式. 学生思考并回答：S=x2. 教师追问：自变量x的取值范围是多少？ 教师选取学生代表进行回答：根据实际意义可知，x>0 教师提出思考性问题：为了使函数关系更直观，能否画图来表示S与x的关系？ 设计意图：从正方形面积公式入手，先确定函数解析式与自变量取值范围，再通过提问引导学生思考用图象直观表示函数关系的方法，自然过渡到函数图象的探究，激发学生作图与观察的兴趣. 教师提出：如何确定组成图象的点？ 学生积极回答，教师根据回答给出反馈. 点与坐标一一对应，先确定点的坐标就可以确定组成图象的点. 教师追问1：怎样确定满足函数关系的点的坐标？ 教师引导学生回答：根据题意，选择合适的自变量的值，再求出函数值. 教师追问2：自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否确定了一个点(x，S)呢？ 学生回答：确定.因为每个点都代表x的值与S的值的一种对应. 例如：点(2，4)表示当x=2时，S=4. 设计意图：引导学生明确函数与坐标点的对应关系，理解“自变量值+函数值”可确定平面内一个点，为后续通过描点法绘制函数图象做好认知铺垫，建立数与形的联系. 教师阐述：下面我们画图来表示S与x的关系，即画出函数S=x2的图象. ①计算并填写下表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … S … 0.25 1 … 学生独立进行计算，完成表格. ②描点——在直角坐标系中，画出上面表格中各对数值所对应的点. ③连线——用光滑的曲线依次连接这些点. 教师应用ppt展示描点、连线的具体作法. 设计意图：通过列表、描点、连线三步，让学生亲身经历画函数图象的完整过程，培养学生动手作图与数形结合的意识. 教师提出：你知道原点为什么用空心圈表示吗？ 学生积极回答，教师根据回答给出反馈. 因为该自变量x的取值范围是x>0，所以(0，0)不在曲线上.用空心圈表示不在曲线的点. 教师追问：函数S=x2表示的所有的点都要在曲线上描出来吗？ 学生积极回答，教师梳理学生的回答，给出正确答案. 表示x与S的对应关系的点有无数个.但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置. 设计意图：通过追问空心圈意义和点的个数，帮助学生理解自变量取值范围与函数图象的关系，明确图象由无数个点组成，掌握描点法画图的本质，培养数形结合思想. 通过上述探究，教师对函数的图象的概念进行说明、归纳，学生做笔记. 函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 描点法画函数图象的一般步骤： 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用光滑曲线连接起来. 设计意图：在学生亲身经历函数图象绘制过程后，归纳总结函数图象的概念，规范描点法画图步骤.将动手操作经验上升为理论认知，帮助学生理解概念的本质，完善函数图象的知识体系. 【例题练习】 在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数. 画出这些函数的图象：(1)y=x+0.5；(2)(x>0) 解：(1)从式子y=x+0.5可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数. 从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表. x … -2 -1 0 1 2 … y … -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 … 根据表中数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点. 从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y随之增大. 解：(2)(x>0)中x的取值范围是全体正实数， 从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表. x … 0.5 1 2 3 4 5 6 … y … 6 3 1.5 1 0.75 0.6 0.5 … 根据表中数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点. 从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y随之减小. 设计意图：通过具体函数例题，巩固描点法画函数图象的步骤，让学生在实践中区分不同函数图象的形状与变化趋势，加深对函数图象的理解，提升数形结合的应用能力. 四、随堂练习 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.函数图象的概念； 2.描点法画函数图象的一般步骤. 六、板书设计 函数的图象 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 函数 人教版(2024) 22.2函数的表示(课时2) 一、教学目标 1.能根据所给函数图象读出一些有用的信息； 2.经历探究图象与实际问题联系的过程，感受数形结合的数学思想. 二、教学重点及难点 重点：能从函数图象中获取信息解决相关问题. 难点：通过探究图象与实际问题的联系，感受数形结合的数学思想. 三、教学过程 【复习导入】 教师提出：回顾函数的图象的概念以及描点法画函数图象的一般步骤. 学生回答：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 描点法画函数图象的一般步骤：①列表；②描点；③连线. 教师提出：下面我们利用函数图象解决一些实际问题. 设计意图：复习函数图象概念与画图步骤，唤醒旧知，自然过渡到利用函数图象解决实际问题，让学生体会图象在表示函数关系中的直观作用，为新课学习做好铺垫. 【探究新知】 教师提出：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化. 教师阐述：由图可以看出，气温T随时间t的变化而变化，对于时间t的每一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与其对应.因此，气温T是时间t的函数，该图是这个函数的图象. 教师提出：根据图象，你能获得哪些信息？ 学生积极回答，教师对学生的回答进行反馈，并梳理归纳学生的回答. 凌晨4时气温最低，为3℃；14时气温最高，为8℃. 从图象中可以看出这一天中任一时刻的气温大约是多少. 从0时至4时，随时间的增加，气温呈下降状态；从4时至14时，随时间的增加，气温呈上升状态；从14时至24时，随时间的增加，气温呈下降状态，因此一天当中，气温先下降，后上升，然后又下降. 设计意图：结合实际气温图象，让学生直观感受函数图象的实际意义，学会从图象中提取信息、分析变化规律，体会数形结合思想，感受数学与生活的联系. 教师提出：李明家、食堂、图书馆在同一条直线上，李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家．下图反映了这个过程中，李明离他家的距离y与时间x之间的对应关系． 教师提出：根据图象，你知道食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多少时间吗？ 学生独立思考得出答案，教师选取学生代表进行回答. 由纵坐标看，食堂离李明家0.6km；由横坐标看，李明从家到食堂用了8min. 教师提出：根据图象，你知道李明在食堂吃早餐用了多少时间吗？ 学生回答：由横坐标看，25-8=17，李明吃早餐用了17min. 教师提出：根据图象，你知道食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多少时间吗？ 学生独立思考得出答案，教师选取学生代表进行回答. 由纵坐标看，0.8-0.6=0.2，食堂离图书馆0.2km. 由横坐标看，28-25=3，李明从食堂到图书馆用了3min. 教师提出：根据图象，你知道李明查资料用了多长时间吗？ 学生回答：由横坐标看，58-28=30，李明查资料用了30min. 教师提出：图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？ 学生同桌之间进行讨论，形成共识后，教师选取学生代表进行回答. 由纵坐标可得，图书馆离李明家0.8km. 由横坐标看，68-58=10；李明从图书馆回家用了10min， 0.8÷10=0.08，李明回家的平均速度为0.08km/min. 设计意图：通过实际行程问题的函数图象，引导学生逐层提取信息、计算分析，学会从横、纵坐标中解读距离与时间，体会函数图象在解决实际问题中的直观作用，强化数形结合思想，提升读图分析能力. 通过上述探究，教师进行归纳总结，学生做笔记. 解答图象信息题主要运用数形结合思想，化图象信息为数字信息. 步骤：(1)了解横、纵轴的意义； (2)从图象形状上判定函数与自变量的关系； (3)抓住图象中端点，拐点等特殊点的实际意义. 设计意图：梳理总结图象信息题的解题思路与步骤，帮助学生形成规范解题方法，强化数形结合思想，提升从函数图象中提取、分析信息的能力. 教师提出：构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图（1）和图（2）中的图象来表示. 学生小组之间进行分析讨论，形成共识后教师选取学生代表进行回答. 小慧匀速从家外出，20min后到达距离家900m的商店发现忘带钱了，立即以原来的速度返回家中. 小慧匀速从家外出，20min后到达距离家900m的商店，在商店花了10分钟买完东西后，加快了速度返回家中. 设计意图：通过让学生自主构建实际情境，逆向理解函数图象的意义，加深对图象变化与实际过程对应关系的认识，培养数形结合与数学表达能力. 四、随堂练习 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.从函数图象中获取信息解决相关问题； 2.数形结合思想. 六、板书设计 从函数图象中获取信息 1.解答图象信息题主要运用数形结合思想，化图象信息为数字信息. 2.步骤：(1)了解横、纵轴的意义； (2)从图象形状上判定函数与自变量的关系； (3)抓住图象中端点，拐点等特殊点的实际意义. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 函数 人教版(2024) 22.2函数的表示(课时3) 一、教学目标 1.全面理解函数的三种表示方法； 2.能用适当的方法表示简单实际问题中的变量之间的函数关系. 二、教学重点及难点 重点：理解并掌握函数的三种表示方法以及它们的优缺点. 难点：能选择适当的方法表示实际问题中变量之间的函数关系. 三、教学过程 【新知导入】 教师提出：通过前面的学习，我们知道要表示一个具体的函数，可以用哪些方法表示呢？ 学生回答：①写函数解析式；②列表格；③画函数图象. 教师阐述：这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法. 教师提出：这三种方法各有什么优缺点呢？解题时应该如何选用呢？ 设计意图：回顾函数的三种表示方法，以问题引发认知冲突，激发学生探究欲望，自然引入新课，为对比分析三种方法的优缺点及灵活选用做好铺垫. 【探究新知】 教师提出：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数关系的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.你能试着说出它的优缺点吗？ 学生积极回答，教师对学生的回答进行反馈，并给出标准答案. 表示法 优点 缺点 解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系. 很难直观地看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式法表示出来，如气温与时间的函数关系. 设计意图：引导学生结合解析式特点自主分析优缺点，通过对比归纳，加深对解析法的理解.为后续灵活选用函数三种表示方法解决问题奠定基础. 教师阐述：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法. 用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫作图象法. 教师提出：你能试着分别说出列表法、图象法的优缺点吗？ 学生积极回答，教师梳理归纳学生的回答，给出标准答案. 表示法 优点 缺点 解析法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接找到与它对应的函数值. 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律. 解析法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质. 从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值. 设计意图：引导学生对比分析列表法与图象法的优缺点，完整梳理三种函数表示法的特点，帮助学生系统掌握知识，培养归纳对比与理性分析的数学思维. 教师提出：从全面性、准确性、直观性及形象性四个方面来判断函数三种表示方法的优缺点，填写下表： 表示方法 全面性 准确性 直观性 形象性 列表法 解析法 图象法 学生积极回答，共同完成表格. 教师说明：在遇到实际问题时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用. 设计意图：通过多维度对比表格，引导学生系统梳理三种函数表示法的特点，深化对不同方法优势与局限的理解，培养科学选择解题方法的能力，树立灵活运用数学工具的意识. 一个水库的水位在最近5h内持续上涨，下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度. t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 教师提出：在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？ 学生在草稿纸上进行作图，通过图象进行判断、给出答案. 如图，描出表中数据对应的点.可以看出，这6个点在同一直线上. 教师追问：由图象你能发现水位变化有什么规律吗？ 学生积极回答，教师对学生的回答进行反馈，给出答案. 结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3m. 由此猜想如果画出这5h内其他时刻(如t=2.5h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的. 设计意图：通过描点作图观察点的位置规律，结合表格数据分析水位变化特征，让学生直观感知均匀变化的函数关系，培养数形结合、观察归纳与合理猜想的能力. 教师提出：水位高度y是否为时间t的函数？ 学生回答：由于水位在最近5h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数. 教师追问1：你能写出一个符合表中数据的函数解析式吗？ 学生同桌之间进行讨论，形成共识后教师选取学生代表进行回答. 开始时水位高度为3m，以后每小时水位上升0.3m.故函数解析式为y=0.3t+3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数. 它表示经过t h水位上升0.3tm，即水位y为(0.3t+3)m. 教师追问2：你能画出这个函数的图象吗？ 学生在草稿纸上进行作图，完成后，教师通过ppt展示正确图象，学生对比自己所作的图象，进行判断. 其函数的图象是图中点A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段AB. 教师追问3：这个函数能表示水位的变化规律吗？ 教师引导学生进行回答：①如果在这5h内，水位一直匀速上升，即升速0.3m/h，那么函数y=0.3t+3(0≤t ≤5)就精确地表示了这种变化规律. ②即使在这5h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3m是确定的，因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律. 设计意图：通过层层追问，引导学生判断函数关系、推导解析式、绘制图象，并分析解析式对实际规律的表示效果，让学生经历“数据—解析式—图象—实际意义”的完整过程，深化对函数三种表示方法内在联系的理解，培养建模与数形结合思想. 教师提出：如果这种上涨规律还会持续2h，那么2h后水位高度将为多少米？ 学生小组之间进行讨论，形成共识后教师选取学生代表进行回答. 如果水位的变化规律不变，则可利用函数y=0.3t+3进行预测.再过2h，即t=5+2=7(h)时， 水位高度为：y=0.3×7+3=5.1(m) 教师追问：还有其他的方法吗？ 学生积极回答，教师对学生的回答进行反馈，并给出正确答案. 把图中的函数图象(线段AB)向右延伸到t=7所对应的位置，从图象也能看出这时的水位高度约为5.1m. 设计意图：通过实际预测问题，引导学生分别运用解析式计算和图象延伸两种方法求解，体会函数不同表示方法的灵活应用，感受数形结合在解决实际问题中的便捷性与一致性，提升综合运用函数知识解决问题的能力. 四、随堂练习 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.三种函数表示方法的优缺点； 2.综合应用三种函数的表示方法解决实际问题. 六、板书设计 函数的三种表示方法 学科网（北京）股份有限公司 $