8.2用配方法求解一元二次方程（题型专练）数学鲁教版五四制八年级下册

8.2 用配方法求解一元二次方程 题型一 用直接开平方法求字母的值 1．（2024春•西湖区期中）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 2．（2024春•淮北月考）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则的值为（　　） A．16 B． C．25 D．或25 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则 ． 4．若方程的两个根分别是与，则 ． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型二 用直接开平方法解方程 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东清远·二模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 用直接开平方法解复合型方程 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）方程的根是（　　） A． B．4 C．或4 D．无解 2．（20-21九年级上·全国·课后作业）方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）一元二次方程的根是 ． 4．（22-23九年级上·全国·课后作业）若，则 ． 5．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解方程：． 题型四 直接开平方法解方程的使用条件 1．（2024秋•临高县期中）若方程（x-4）2 =a有实数解，则a的取值范围是（　　） A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．无法确定 2．（2024春•永嘉县月考）若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　） A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4 3．（24-25八年级下·山东淄博·期中）关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个解 B．有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ． 5．（2024•宁波模拟）对于实数a，b，定义一种运算“⊕”为：a⊕b＝a2﹣2b，若关于x的方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根，则实数m的取值范围为 　 　． 题型五 配方的过程及正确的结果 1．（2024秋•江阳区校级月考）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，配方后的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣4）2＝12 D．（x+2）2＝1 2．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（    ） A． B． C． D． 题型六 配方法解方程的具体步骤出错问题 1．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容． 解方程： 解：∵，     ① ∴，      ② ∴．     ③ 上述过程中有没有错误？若有，错在步骤 （填序号）；原因是 ，正确的解是 ． 2．李老师在课上布置了一个如下的练习题： 若，求的值． 看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程： 解：，① ，② ．③ 晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤． 3．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 所以， 第六步 任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第________步开始出现错误； 任务二：请你直接写出该方程的正确解． 4．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，对于的情况，她是这样做的： 由于a≠0，方程变形为： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ，……第四步 ……第五步 (1)嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当时，方程的求根公式是______； (2)用配方法解方程：． 题型七 利用配方法解方程 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型一 直接开平方法与新定义 1．对于实数a、b，定义新运算“&”如下：．例如：，若，则x的值为（　　） A．， B． C．， D．， 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”． 如与是“同类方程”． （1）若与是“同类方程”，则 ． （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 5．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）某同学在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程： 解：原方程可变形， 得 直接开平方并整理，得，， 我们称该同学的这种解法为“平均数法”． (1)下面是该同学用“平均数法”解方程时写的解题方程： 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得， 上述过程中“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是________，________，________，________； (2)请用“平均数法”解方程：． 题型二 由配方的过程求参数的值 1．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知一元二次方程配方后可变形为，则k的值为（   ） A．38 B．37 C．36 D．35 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于x的一元二次方程可通过配方法转化为的形式，则m的值为（ 　） A． B．9 C． D．3 3．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）用配方法解方程，方程变形为的形式时，的值是（   ） A．7 B． C．3 D． 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）把一元二次方程，配成的形式，则、的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25九年级上·山东德州·期末）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ． 题型三 由配方的过程求代数式的值 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）把方程化成的形式，则式子的值是 ． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如果方程 可以配方成 ，那么 ． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）若一元二次方程配方后为，则 ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程，得到，从而解得方程的一个根为1，则 ． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）若一元二次方程的两根为，则等于 ． 题型一 利用配方法比较代数式的大小 1．（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 3．（2025九年级上·全国·专题练习）若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）若，，为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．的大小关系与的取值有关 5．对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． 请根据以上材料完成下面的题目： （1）已知，A＝x2y+4y，B＝4xy，且A＞B，试判断y的符号； （2）已知a、b、c为三角形的三边，比较a2+c2和2ac+b2的大小． 题型二 利用配方法与解决最值问题 1．（2025·山东德州·二模）对于代数式，以下结论正确的是（   ） A．该代数式有最小值为2 B．该代数式的值可以是任意的数 C．化简的结果是 D．使该代数式的值为3的的值是4 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 3．（24-25九年级下·全国·假期作业）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 4．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 5．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 题型三 利用配方法解决与三角形有关的问题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则三角形的周长为 . 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则的周长为 ． （2）若方程的两个根恰好是Rt的两边长，则Rt的面积为 ． 4．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 5．（2024春•江都区期中）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式x2+2x+3的最小值． 解：原式＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2． ∵（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥2． ∴当x＝﹣1时，x2+2x+3的最小值是2． （1）在横线上添加一个常数项，使代数式x2+10x+　 　成为完全平方式； （2）请仿照上面的方法求代数式x2+6x﹣1的最小值； （3）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8．求△ABC的周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2 用配方法求解一元二次方程 题型一 用直接开平方法求字母的值 1．（2024春•西湖区期中）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【答案】C． 【分析】方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，据此可得m+1+2m﹣4＝0，求得m的值，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 2．（2024春•淮北月考）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则的值为（　　） A．16 B． C．25 D．或25 【答案】B． 【分析】直接开平方得到：，得到方程的两个根互为相反数，所以m﹣1+2m+3＝0，解得，则方程的两个根分别是，，则有，然后两边平方即可得出答案． 【解答】解：∵一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣13， 且， ∴m﹣1+2m+3＝0， 解得：， 即方程的根是：，， ∴， 故选：B． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则 ． 【答案】/0.25 【分析】根据直接开平方法解方程的两个根互为相反数，得到，求得方程的根，利用根的定义，确定a，b的关系，计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴， ∴， ∴方程的两个根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是与， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直接法解方程，方程根互为相反数，相反数的性质，根的定义，熟练掌握方程根互为相反数，相反数的性质是解题的关键． 4．若方程的两个根分别是与，则 ． 【答案】 【分析】利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有，然后两边平方得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程的两个根互为相反数， ∵方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴，， ∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是与， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：A． 题型二 用直接开平方法解方程 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程．将方程化为标准形式后，利用平方根的定义求解． 【详解】解：∵， 两边同时除以2，：， ∴直接开方得：， 解得：，， 故选：B． 2．（2025·广东清远·二模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．直接应用开平方法计算即可． 【详解】解：， ， ， ，， 故选：C． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法，是解题的关键： （1）移项，系数化1，再开方即可； （2）移项，合并，系数化1，再开方即可． 【详解】（1）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 直接开平方，得． （2）移项，得． 二次项系数化为1，得． 直接开平方，得． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)， 【详解】解：（1）移项，得． 两边直接开平方，得， 解得，． （2）两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得：或， 解得：，； （2）解：， 方程变形得：， 开方得：，； （3）解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； （4）解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 题型三 用直接开平方法解复合型方程 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）方程的根是（　　） A． B．4 C．或4 D．无解 【答案】C 【分析】利用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 开方得：， 即或， 解得：，. 故选C． 【点睛】本题考查直接开方法，掌握直接开方法是解题的关键． 2．（20-21九年级上·全国·课后作业）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项后利用直接开平方法解答即可． 【详解】解：移项，得， 两边直接开平方，得， 即或， 解得：，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 3．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题可以利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或 解得：，， 故答案为：，． 4．（22-23九年级上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】4 【分析】直接开平方求出的值，即可得到的值，舍去负数解即可． 【详解】解：， ∴或者， ∴，或者， ∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，解题的关键是注意，舍去负数解． 5．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程．用直接开平方法求解可． 【详解】解：， 开方得， ∴或， ∴，． 题型四 直接开平方法解方程的使用条件 1．（2024秋•临高县期中）若方程（x-4）2 =a有实数解，则a的取值范围是（　　） A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负数列出关于a的不等式方程，然 后求得a的取值范围． 【解答】解：∵方程（x-4）2 =a有实数解， ∴x-4 =±， ∴a ≥0； 故选：B． 2．（2024春•永嘉县月考）若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　） A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4 【答案】D． 【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b， ∴（x﹣a）2＝b+4， ∵方程（x﹣a）2＝b+4有实数根， ∴b+4≥0， ∴b≥﹣4， 故选：D． 3．（24-25八年级下·山东淄博·期中）关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个解 B．有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，当时，才有意义，那么把原方程两边同时开平方可得，即，当时，无意义，即此时方程无解，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴ ∴当时，有两个解， 当时，无意义，即此时方程无解， 故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直接开平方法解一元二次方程，涉及平方根的性质，利用平方根的含义解方程，根据非负数才有平方根可得答案． 【详解】解： ∵方程可以用直接开平方法求解， ∴． 故答案为． 5．（2024•宁波模拟）对于实数a，b，定义一种运算“⊕”为：a⊕b＝a2﹣2b，若关于x的方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根，则实数m的取值范围为 　 　． 【答案】m＜0． 【分析】根据定义的新运算可得：（x+1）2﹣6m＝0，从而可得（x+1）2＝6m，然后利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答． 【详解】解：∵（x+1）⊕（3m）＝0， ∴（x+1）2﹣6m＝0， ∴（x+1）2＝6m， ∵方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根， ∴6m＜0， ∴m＜0， 故答案为：m＜0． 题型五 配方的过程及正确的结果 1．（2024秋•江阳区校级月考）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，配方后的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣4）2＝12 D．（x+2）2＝1 【答案】A． 【分析】根据解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：x2﹣4x+3＝0， 移项得x2﹣4x＝﹣3， 配方得，x2﹣4x+4＝﹣3+4， 即（x﹣2）2＝1． 故选：A． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方法将方程转化为完全平方形式，进而确定正确选项． 【详解】解：， 配方得：， 整理方程：， 故选：D． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，正确配方是关键；通过配方法将方程转化为完全平方形式，进而求解． 【详解】解：原方程变形为， 配方得：， 即； 故选：D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案. 【详解】方程， 移项，得． 配方，得， 即． 根据题意，得，， ，， 代入，得． 配方，得． 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程. 5．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 先把常数移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式即可判断． 【详解】解：可变形为：， 再变形可得：， 所以方程的左边一定是，选项中符合题意得只有D选项， 故选：D． 题型六 配方法解方程的具体步骤出错问题 1．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容． 解方程： 解：∵，     ① ∴，      ② ∴．     ③ 上述过程中有没有错误？若有，错在步骤 （填序号）；原因是 ，正确的解是 ． 【答案】 ② 正数的平方根有两个，它们互为相反数 ， 【分析】根据平方根的性质可判断第②步有错误，由此即可求解． 【详解】解：上述过程中有错误，错在步骤②， 原因是正数的平方根有两个，它们互为相反数， 正确的解答过程为：， ， ，． 故答案为：②；正数的平方根有两个，它们互为相反数；，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握平方根的性质是解此题的关键． 2．李老师在课上布置了一个如下的练习题： 若，求的值． 看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程： 解：，① ，② ．③ 晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤． 【答案】晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析． 【分析】根据的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和的非负性解答即可． 【详解】解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下： ， ， ． 不论为何值都不等于， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题． 3．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 所以， 第六步 任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第________步开始出现错误； 任务二：请你直接写出该方程的正确解． 【答案】任务一：配方法；完全平方公式，二；任务二，， 【分析】任务一：根据题意∶ 小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式，在第二步配方时，方程右边忘记加上； 任务二：根据配方法解一元二次方程的步骤进行判断和计算即可． 【详解】解：任务一：由题意可知，上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式， 在第二步配方时，根据等式的基本性质，方程两边都应加上， ∴第二步开始出现错误， 故答案是：配方法，完全平方公式，二； 任务二：解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握运算法则和步骤是解题的关键． 4．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，对于的情况，她是这样做的： 由于a≠0，方程变形为： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ，……第四步 ……第五步 (1)嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当时，方程的求根公式是______； (2)用配方法解方程：． 【答案】(1)四，； (2)． 【分析】（1）观察嘉淇同学解方程的步骤，找出出错的地方，写出正确的求根公式即可； （2）方程利用配方法求出解即可． 【详解】（1）由于a≠0，方程变形为： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ，……第四步 ……第五步 ∴嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当时，方程的求根公式是． 故答案为：四， （2）， 移项得：x2﹣2x＝24， 配方得：，即， 开方得：， 解得：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握配方法是解本题的关键． 题型七 利用配方法解方程 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程． （1）先将系数化为1，后配方即可得到本题答案； （2）先将常数项移动到等号右侧，再两边同时乘以2系数化为1，再进行配方直接开方即可求解． 【详解】（1）解：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 整理得：， ∴， ； （2）解：， 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 整理得：， ∴， ． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行求解即可； （2）先根据乘法法则展开，移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行求解即可． 【详解】（1）解：移项，得． 配方，得， 即， ， 解得． （2）整理，得． 配方，得， 即， ， 解得． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练运用解一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程两边都加上4，再运用配方法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ∴； （2）解：， ， ， ， ， ∴． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． （1）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程； （2）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解： 整理可得 ，即， ， ． （2）解：， 整理可得 ， ， ， ， ． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． （1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （3）将方程化为一般式，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，； （2）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：； ，； （3）解：整理得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，． 题型一 直接开平方法与新定义 1．对于实数a、b，定义新运算“&”如下：．例如：，若，则x的值为（　　） A．， B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：， 由题意得：， 整理得：， 解得：，． 故选：A． 【点睛】本题是一道基于一元二次方程的新定义题，主要考查一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义得出，利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：由题意可知，即， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、新定义的理解，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 【答案】或19/19或 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定义运算等知识，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据新定义运算法则，分别两种情况，列出方程求解即可． 【详解】解：当时， ， ∴， 当时， ， 解得（舍去）或． 综上所述，x的值为或19． 故答案为：或19． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”． 如与是“同类方程”． （1）若与是“同类方程”，则 ． （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 【答案】 2026 【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． ∴当时，取得最大值为2026． 故答案为：2026． 5．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）某同学在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程： 解：原方程可变形， 得 直接开平方并整理，得，， 我们称该同学的这种解法为“平均数法”． (1)下面是该同学用“平均数法”解方程时写的解题方程： 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得， 上述过程中“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是________，________，________，________； (2)请用“平均数法”解方程：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的“”，“○”，“☆”，“”表示的数即可； （2）根据题干中的“平均数法”解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ ∴， 两边直接开平方得：， 解得：， ∴“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是， 故答案为：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 直接开平方法得：， 解得：． 题型二 由配方的过程求参数的值 1．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知一元二次方程配方后可变形为，则k的值为（   ） A．38 B．37 C．36 D．35 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项再配方得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于x的一元二次方程可通过配方法转化为的形式，则m的值为（ 　） A． B．9 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解． 【详解】解： ， 方程可通过配方法转化为的形式， ， 解得：． 故选：C． 3．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）用配方法解方程，方程变形为的形式时，的值是（   ） A．7 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键． 先将常数项移至等号右边，等号两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解： ， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）把一元二次方程，配成的形式，则、的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，将方程转化为完全平方式． 通过配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边转化为完全平方式，从而得出和的值． 【详解】解：∵ ∴， ， 即， 则 故选：D． 5．（24-25九年级上·山东德州·期末）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：将一个关于x的一元二次方程配方为， ∴， ∴， 故答案为：3． 题型三 由配方的过程求代数式的值 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）把方程化成的形式，则式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数绝对值的一半的平方进行配方求出m、n的值，然后代值计算即可． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如果方程 可以配方成 ，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，把方程配方成，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵方程 可以配方成 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）若一元二次方程配方后为，则 ． 【答案】2 【分析】题目主要考查一元二次方程的配方法及求代数式的值，将配方后的方程展开是解题关键． 将配方后的方程化为一般形式，即可得出，，代入代数式求解即可． 【详解】解：由可得， ∴，， ∴， 故答案为：2． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程，得到，从而解得方程的一个根为1，则 ． 【答案】3 【详解】由，得，即．∵方程的一个根为1，且，，∴原方程为．整理，得 ， ． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）若一元二次方程的两根为，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，直接开方法求出方程的根，进而确定的值，再求和即可． 【详解】解：由题意，有根， ∴， ∴， ∵方程的根为， ∴， ∴； 故答案为：． 题型一 利用配方法比较代数式的大小 1．（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键．根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】， ， ， 即， 故选：A 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】利用作差法，用完全平方公式，得 ，结合非负性解答即可． 本题考查了大小比较，完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 故 ． ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查比较两个代数式的大小．根据题意通常作差后判断符号．计算，利用配方法，再根据完全平方的非负性即可确定符号． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即：， 故选：A． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）若，，为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．的大小关系与的取值有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，配方法的应用．直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． 请根据以上材料完成下面的题目： （1）已知，A＝x2y+4y，B＝4xy，且A＞B，试判断y的符号； （2）已知a、b、c为三角形的三边，比较a2+c2和2ac+b2的大小． 【分析】（1）根据题意得到x2y+4y﹣4xy＞0，因式分解得到y（x﹣2）2＞0，进而得到y的符号即可； （2）将a2+c2和2ac+b2作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求． 【详解】解：（1）∵A＞B， ∴A﹣B＞0， 即x2y+4y﹣4xy＞0， ∴y（x2+4﹣4x）＝y（x﹣2）2＞0， ∴（x﹣2）2＞0，y＞0； （2）∵a、b、c为三角形的三边， ∴a+b＞c，a＜b+c， ∵a2﹣b2+c2﹣2ac＝a2+c2﹣2ac﹣b2＝（a﹣c）2﹣b2＝（a﹣c﹣b）（a﹣c+b）， ∴（a﹣c﹣b）（a﹣c+b）＜0， 所以a2﹣b2+c2﹣2ac的符号为负． ∴a2+c2＜2ac+b2． 题型二 利用配方法与解决最值问题 1．（2025·山东德州·二模）对于代数式，以下结论正确的是（   ） A．该代数式有最小值为2 B．该代数式的值可以是任意的数 C．化简的结果是 D．使该代数式的值为3的的值是4 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，解一元二次方程等，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据，可得，即可判断选项A正确，选项B错误；根据完全平方公式可判断选项C错误；，解方程即可判断选项D． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确，即代数式有最小值2，选项B错误； 由于， 则代数式化简结果不是， 故选项C错误； 当， 解得：和， 故选项D错误； 故选：A． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法的应用，仿照题意求出，再根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解： ∵ ∴ ∴， ∴对于代数式的最值，最大值为13， 故选：A． 3．（24-25九年级下·全国·假期作业）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到，可以写成，将展开，求出的值，利用配方法求出的最小值即可．熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：第二个方程可以写成的形式，展开得： ∴，，， 解得：， ∴， ∴能取的最小值是2020； 故选B． 4．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 【答案】(1)4，2． (2)1 (3)最大值为． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用非负数的性质解答是解题的关键． （1）根据完全平方公式的常数项为一次项系数绝对值一半的平方即可得出结论， （2）将多项式加再减，利用配方法后可得结论； （3）将多项式改写为，再配方可得结论． 【详解】（1）， 故答案为：4，2． （2） ， ． 当时，存在最小值1． （3） ， ， ， 当时，代数式有最大值． 5．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 题型三 利用配方法解决与三角形有关的问题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则三角形的周长为 . 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，先解出，结合三边关系得第三边的长，则第三边为，再根据周长列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 解得； ∵三角形的两边长分别为4和6， ∴第三边的长， 即第三边的长， ∵第三边的长是一元二次方程的一个根， ∴第三边为， 则， 此时三角形的周长为， 故答案为： 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则的周长为 ． （2）若方程的两个根恰好是Rt的两边长，则Rt的面积为 ． 【答案】 10 4或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义和三角形的三边关系等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）先利用直接开平方法求解方程求出，再分两种情况解答即可． （2）分两种情况并结合勾股定理计算解答即可 【详解】解：（1）， 解得． ①当底边长和腰长分别为4和2时，，此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，符合题意， 的周长为． 故答案为：10； （2）由（1）知，方程的两个根为． ①若2，4是Rt的两条直角边的长，则， ②若2，4分别Rt的一条直角边长和斜边长， 则另一条直角边长为， ． 综上，Rt的面积为4或． 故答案为：4或． 4．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，代数式求值，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式是解题的关键． （1）应用配方法将方程变形为，解方程得到，，代入计算即可； （2）为等腰三角形，理由：先将方程变形为，解方程得到，，进而得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，， . （2）解：为等腰三角形. 理由：， ， ， ，， ，， . 为等腰三角形. 5．（2024春•江都区期中）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式x2+2x+3的最小值． 解：原式＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2． ∵（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥2． ∴当x＝﹣1时，x2+2x+3的最小值是2． （1）在横线上添加一个常数项，使代数式x2+10x+　 　成为完全平方式； （2）请仿照上面的方法求代数式x2+6x﹣1的最小值； （3）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8．求△ABC的周长． 【答案】(1)25；（2）﹣10；（3）9． 【分析】（1）根据完全平方式的特点可知当二次项系数为1时，常数项是一次项系数一半的平方，由此即可得到答案； （2）根据题干解题过程进行求解即可； （3）由a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8可得，a2﹣6b+b2﹣8c+c2﹣4a＝﹣14﹣23+8，再化简即可得a，b，c，进而得周长． 【详解】解：（1）由题意得，常数项为， 故答案为：25； （2）原式＝x2+6x+9﹣9﹣1＝（x+3）2﹣10． ∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣10≥﹣10． ∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣1的最小值是﹣10； （3）∵a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8， ∴a2﹣6b+b2﹣8c+c2﹣4a＝﹣14﹣23+8， ∴a2﹣4a+4+b2﹣6b+9+c2﹣8c+16﹣16﹣4﹣9＝﹣29， ∴（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣4）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0， ∴a＝2，b＝3，c＝4， ∴△ABC的周长为：a+b+c＝2+3+4＝9． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $