1.2.1平行四边形的性质 第2课时课件2025-2026学年湘教版数学八年级下册

湘教版 八年级 数学（下） 第1章 四边形 1.2　平行四边形 1.2.1　平行四边形的性质 第2课时　平行四边形对角线的性质 1 情景导入 平行四边形的对边相等， 平行四边形的对角相等. 平行四边形的两条对角线有什么性质呢？ 知识模块一　平行四边形对角线的性质 自学互研 如图，点 O 是 ABCD 两条对角线的交点，分别比较 OA 与 OC ，OB 与 OD 的长度，它们分别相等吗？为什么？ 猜想：OA=OC，OB=OD 如何证明？ 证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形， 平行四边形的性质定理2： 平行四边形的对角线互相平分. A B D C O 1 4 3 2 所以 AD // BC，AD = BC， 从而∠1 =∠2，∠3 =∠4， 因此△OAD ≌ △OCB(角边角)， 从而 OA = OC，OD = OB． 1.平行四边形具有但一般四边形不具有的性质是 ( ) A．内角和等于360° B．外角和等于360° C．不稳定性 D．对角线互相平分 练 练 一 D 2．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O.AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6，则BD的长是 ( ) A．8 B．9 C．10 D．11 C 3．如图，在▱ABCD中，O为AC与BD的交点，则图中相等的线段有 ( ) A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 B 知识模块二　利用平行四边形对角线的性质进行计算 例3 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC = 6，BD = 10，CD = 4.8 . 试求 △COD 的周长. 所以 因为 AC，BD为□ ABCD的对角线， 解 又因为 CD = 4.8， 于是，△COD的周长为 3 + 5 + 4.8 = 12.8. AC ，OD BD 练 练 一 1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若▱ABCD的面积为28 cm2，则△AOB的面积等于______． 7 cm2 2.在▱ABCD中，O是AC与BD的交点，AB＝10 cm，BD＝8 cm，AC＝14 cm，△DOC的周长是多少？△ABD与△ABC的周长哪个长？长多少？ 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝10 cm，AD＝BC. ∵O是对角线AC与BD的交点， A B D C O ∴OA＝OC＝ AC＝7 cm，OB＝OD＝ BD＝4 cm， ∴△DOC的周长为OD＋OC＋DC＝4＋7＋10＝21(cm)， C△ABC－C△ABD＝(AB＋AC＋BC)－(AB＋BD＋AD) ＝AC－BD ＝14－8＝6(cm). ∴△DOC的周长是21 cm，△ABC的周长比△ABD的长，长6 cm. A B D C O 知识模块三　利用平行四边形对角线的性质进行证明 例4 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作一条直线 MN，分别交 AD，BC 于点 M，N. 求证：点 O 是线段 MN 的中点. A B D C O M N 证明 因为 AC，BD为□ ABCD 的对角线，且相交于点 O， A B D C O M N 因为 AC，BD为□ ABCD 的对角线，且相交于点 O， 所以 OA = OC . 因为AD // BC，所以∠MAO =∠NCO. 又∠AOM =∠CON， 所以△AOM≌△CON(角边角). 于是 OM = ON. 所以点 O 是线段 MN 的中点. 练 练 一 已知，点O是▱ABCD的两条对角线的交点． (1)如图①，过点O的直线EF分别与AB，CD相交于点 E，F.OE与OF相等吗？为什么？▱ABCD被直线EF分成的两部分的面积有什么关系？ 分析：(1)▱ABCD中，EF过对角线的交点O，易证△DOF≌△BOE，可得OF＝OE； 解：(1)OE＝OF.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OD＝OB， ∴∠CDO＝∠ABO. 又∵∠DOF＝∠BOE， ∴△DOF≌△BOE(ASA)， ∴OF＝OE. ▱ABCD被直线EF分成的两部分的面积相等． 15 (2)如图②，直线EF绕点O旋转到分别与AD，BC相交于点E，F时，上述(1)的结论还成立吗？ (3)如图③，直线EF绕点O旋转到分别与AB，CD的延长线相交于点E，F时，上述(1)的结论还成立吗？ 成立 成立 分析：(2)由△DOF≌△BOE，同理△AOD≌△BOC，△AOE≌△COF，进而可得▱ABCD被EF分成的两个四边形面积相等． 归 总 纳 结 我们证明了平行四边形具有以下性质：（1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分. 如图所示，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作一条直线 MN，分别交BA，DC的延长线于点M，N. 点 O 是线段 MN 的中点吗？为什么？ ∵ AC，BD为□ ABCD 的对角线，且相交于点 O， 解：点 O 是线段 MN 的中点. 证明如下： ∴ OA = OC . ∵ AB // CD， ∴ ∠AMO =∠CNO，∠MAO =∠NCO. ∴ △AOM≌△CON(角角边). ∴ OM = ON. ∴ 点 O 是线段 MN 的中点. 19 1.在 □ ABCD 中，对角线AC与BD相交于点O，BC=10 cm，AC=8cm，BD=14cm . （1）求△AOD的周长. （2）△ABC与△BCD的周长哪个长？长多少？ 【选自教材P12 练习 第1题】 解:（1）如图所示， ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=BC. 又∵BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm， ∴ OA=4cm，OD=7cm，AD=10cm. ∴ OA+OD+AD=4+7+10=21(cm). ∴ △AOD的周长为21cm. （2）∵ △ABC的周长=AB+BC+AC，△BCD的周长=BD+CD+BC， ∴ △BCD的周长－△ABC的周长=BD－AC=14－8=6(cm). ∴ △BCD的周长长，△BCD的周长比△ABC的周长长6cm. ∵AB=CD， 2. 平行四边形一条对角线的两个端点到另一条 对角线的距离相等吗？为什么？ 相等. 证明：如右图所示，在□ ABCD 中， M N 【选自教材P12 练习 第2题】 DM⊥AC 于点 M，BN⊥AC 于点 N . ∵ AC，BD 为 □ ABCD 的对角线， 且相交于点 O， ∴ OB = OD . 又 ∠AOD=∠COB，∠DMO=∠BNO=90°， ∴ △DOM ≌ △BON(角角边). ∴ DM = BN. 3.如果平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形的两条邻边有什么关系？为什么？ 相等. 证明：如右图所示，在□ ABCD 中， AC⊥BD 于点 O. 【选自教材P12 练习 第3题】 A B C D O ∵ AC，BD 为 □ ABCD 的对角线， 且相交于点 O， ∴ AO = CO . 又 ∠AOB=∠COB=90°，BO = BO， ∴ △AOB ≌ △COB(边角边). ∴ AB = CB. 课堂小结 平行 四边形 定义 两组对边分别平行的四边形 性质 两组对边分别平行，相等 夹在两条平行线间的平行线段相等； 两条平行线间的距离相等. 两组对角分别相等，邻角互补 随堂练习 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是(　　) A．AC⊥BD B．AC＝BD C．OB＝OD D．∠ABC＝∠BAC C 2.已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10， BD＝8，则△OCD的周长可能为________．(写出一个即可) 16 (答案不唯一) 3.已知▱ABCD的周长为26 cm，对角线AC，BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长多3 cm，则BC的长度为________. 8 cm 27 $