6.3.5平面向量数量积的坐标表示（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量数量积的坐标表示，涵盖公式推导、模与垂直条件、夹角公式及两角差余弦公式证明。通过回顾数量积定义与向量坐标表示，以问题链引导探究，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于注重逻辑推理（数学思维），如分步推导数量积坐标公式，用向量法证明两角差余弦公式体现数学语言表达，典例与即时训练结合培养数学眼光。采用探究式教学，知识小结系统，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

6.3.5 平面向量数量积 的坐标表示 第六章 平面向量及其应用 学 习 目 标 1 2 3 掌握、时的推导过程. 能熟练运用坐标求向量模、两向量数量积，能根据坐标判定，会用计算器求非零向量夹角. 能独立用向量法证明两角差的余弦公式，理解向量的工具性. 新课引入 在前面的学习中，我们已经知道了向量的坐标表示和数量积的定义，那么平面向量数量积的定义是什么？向量的坐标表示又是什么？若一个向量的坐标为，它可以用单位向量、如何表示？ 平面向量数量积的定义：（为与的夹角，）. 向量坐标表示：若，则； 若，则. 如果已知两个向量的坐标、，能不能直接用坐标求出它们的数量积呢？ 这就是我们今天要学习的核心内容——平面向量数量积的坐标表示. 新知探究 探究一：向量的数量积的坐标表示 当、 时，能否借助已学知识推导的坐标表达式？ 已知：, 求： 推导过程： , , 新知探究 探究一：向量的数量积的坐标表示 经过推导，最终可以得到的坐标表示为： 即，两个平面向量的数量积，等于它们对应坐标的乘积的和. 由上可知数量积可以用坐标表示，如何用坐标表示向量的模？ 因此 若,则 故 若向量的起点为,终点为 则 向量的模 这就是两点间距离公式，实现了向量与解析几何的衔接 新知探究 探究一：向量的数量积的坐标表示 根据数量积定义，非零向量的充要条件是什么？如何用坐标表示的充要条件？ 推导过程：已知 若,,且、为非零向量 则 注：这是判断向量垂直的核心依据，几何垂直转化为代数乘积和为 0 典例分析 例1 若点 ，，，则 是什么形状？ 所以 于是 因此，是直角三角形 【分析】要判断三角形形状，首先看是否有直角，即判断三角形的两边对应的向量是否垂直 解： 在平面直角坐标系中画出点 ，，，我们发现 是直角三角形。证明如下： 因为 即时训练 1.已知向量，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】根据向量平行、垂直的坐标关系列方程即可求解. 【详解】对于A，若，则，解得，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C错误； 对于D，若，则，所以，故D正确. BD 知识小结 向量的数量积的坐标表示 的坐标表示： 即：两个平面向量的数量积，等于它们对应坐标的乘积的和 ②向量的模的坐标表示：Ⅰ Ⅱ ③非零向量的充要条件： 探究二：向量夹角的坐标公式 新知探究 当、 时，能否推导？ 已知： 求： 推导过程：由数量积定义,变形得 代入数量积坐标公式公式和模的公式，得： 若、为非零向量，为其夹角，则 注意的范围是 典例分析 例2 设 ，，求 及 ， 的夹角 （精确到 ） 【分析】求夹角的步骤：求求、求用计算器求 因为 所以用计算器计算可得 利用计算器中的 键，得 。 解： 典例分析 例3 用向量方法证明两角差的余弦公式： 【分析】将角、与单位圆上的向量坐标结合，利用数量积的两种表示方法(坐标表示 + 定分析义表示) 建立等式，再证明角与向量夹角的余弦值相等. 证明： 如图 （1），在平面直角坐标系 内作单位圆 以 轴的非负半轴为始边作角 ， 它们的终边与单位圆 的交点分别为 ，。则 由向量数量积的坐标表示，有 设 与 的夹角为 ，则 典例分析 所以 另一方面，由图（1）可知，； 由图（2）可知，。于是 。 所以 于是 即时训练 2.已知： 和 ，要求它们的夹角 【分析】根据向量夹角的坐标公式，我们需要先计算出、和,然后代入公式求出 的值。 解：已知，。 使用计算器，对0.0322求反余弦函数 知识小结 向量夹角的坐标公式 向量夹角的坐标公式 注意的范围是 题型1 数量积的坐标表示 1.已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出，进而根据向量的模的公式求出结果. 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以 所以，解得. 所以，所以. C 题型2 数量积的运算律、数量积的坐标表示 2.已知平面向量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【分析】通过反例可说明ABC错误；根据向量数量积的运算律可知D正确. 【详解】A，若，，，则，此时，A错误； B，若，，则，B错误； C，若，，，则， 此时，与不平行，C错误； D，，，D正确. ABC 题型3 向量模的坐标表示 3.已知向量，，，则可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】设，由向量模长的坐标运算可构造方程求得，由此即可求解. 【详解】∵，∴设，∴. ∵ ∴或. ∴，即 解得. CD 题型4 垂直关系的向量表示、向量模的坐标表示 4.已知，，，，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D． 【分析】根据向量模长公式，数量积与夹角公式及向量共线定理直接判断. 【详解】由已知，，，， 则，，，， ，A选项正确； ，即，B选项正确； ，即向量与的夹角为 ，即，D选项正确； ABD 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 平面向量数量积的 坐标表示 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 知识点回顾 点击下方蓝色色块查看核心概念 1. 平面向量数量积的坐标表示 设向量 a = (x1, y1), b = (x2, y2)，则 a · b = x1x2 + y1y2 即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。 2. 向量的模与夹角 模长公式： |a| = √x1² + y1² 夹角公式： cosθ = a · b |a| |b| = x1x2 + y1y2 √x1² + y1² · √x2² + y2² 3. 垂直与平行的坐标表示 向量垂直 (a ⊥ b) a · b = 0 ⇔ x1x2 + y1y2 = 0 向量平行 (a // b) x1y2 - x2y1 = 0 (注：b ≠ 0) 易错点警示 避开这些常见的逻辑陷阱 🚫 陷阱一：混淆数量积与数乘 错误认知：认为 a · b 是一个向量。 正确理解： 数量积 a · b 的结果是一个实数（标量），而数乘 λa 的结果是一个向量。在坐标运算中，x1x2 + y1y2 显然是一个数值。 ⚠️ 陷阱二：忽视零向量 问题场景：在使用夹角公式 cosθ = (a·b) / (|a||b|) 时，忘记分母不能为0。 正确理解： 零向量与任意向量平行，也与任意向量垂直（数量积为0）。但在求夹角时，必须要求 a, b 均为非零向量。 ⚡ 陷阱三：垂直与平行的坐标公式混淆 垂直条件 x1x2 + y1y2 = 0 （加号） 平行条件 x1y2 - x2y1 = 0 （减号，交叉相乘） 解题技巧 掌握通法，提升效率 📐 坐标化思想 当题目中给出几何图形（如正方形、矩形、三角形）且涉及长度、角度或垂直关系时，优先考虑建立平面直角坐标系。 例如：求矩形中两向量的数量积，以矩形两边为轴建系，写出点坐标，即可直接代入公式计算。 🔄 模长转化的技巧 求向量模长 |a + b| 的最常用方法是平方策略。 |a + b|² = (a + b)² = |a|² + 2a·b + |b|² 算出平方值后再开根号。 🎯 三点共线与平行 证明三点 A, B, C 共线，等价于证明向量 AB 与 AC 平行。 几何语言 A, B, C 共线 → 向量语言 AB // AC → 坐标语言 x1y2 - x2y1 = 0 $