6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1、2课时同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1、2课时 同步练习 解答 细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（    ） A． B． C．20 D．9 2．如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（   ） A．18 B．15 C．16 D．21 3．用，，，四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有3条，则从A村经B村再去C村，不同路线的条数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 二、多选题 5．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（  ）. A．从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法 6．中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（    ） A．3人选择的地点均不同的方法总数为60 B．恰有2人选一个地方的方法总数为15 C．恰有1人选泰山的概率是 D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为 7．下列说法正确的是（    ） A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法 B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有24种报名方法 C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有64种可能的结果 D．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为12个 三、填空题 8．在平面直角坐标系中，以1、2、3、4、5这五个数中的两个分别作为一个点的横坐标和纵坐标，则可以组成 个位于直线上方的点． 9．乘积 (其中)的展开式中共有 项． 10．2021年12月，南昌最美地铁4号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、新洪城大市场三个地方游览，每人只能去一个地方，人民公园一定要有人去，则不同游览方案的种数为 . 四、解答题 11．从4名女生3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛． (1)选出3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种？ (2)选出3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种？ (3)选出3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1、2课时 同步练习 解答 细目表》 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A D B ABC AC ABC 1．A 【分析】将此事分为5步，每一步均为1名同学选择讲座，后由分步计数原理可得答案. 【详解】将完成此事分为5步.第1步为第一名同学完成选择，有4种方法；第2步为第二名同学完成选择，有4种方法；；第5步为第五名同学完成选择，有4种方法. 则由分步计数原理可知，不同选法的种数为：. 故选：A 2．A 【分析】分两类，中间为3或中间为4两种情况. 【详解】当中间数为3时，有（个）； 当中间数为4时，有（个）． 故共有（个）． 故选：A 3．D 【分析】根据特殊位置优先安排的原则，结合乘法计数原理即可求解. 【详解】先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，由种选择， 根据分步乘法计数原理可得共有个不重复的三位偶数， 故选：D 4．B 【分析】由分步乘法计数原理即可得解. 【详解】由题意从A村经B村再去C村，不同路线的条数是条. 故选：B. 5．ABC 【分析】根据题意，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A，根据分类加法计数原理可知，共有种不同的选法，故A正确. 对于B，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的选法，故B正确. 对于C，可分为三类：第一类是1幅选自国画，1幅选自油画，有种不同的选法； 第二类是1幅选自国画，1幅选自水彩画，有种不同的选法； 第三类是1幅选自油画，1幅选自水彩画，有种不同的选法， 故共有种不同的选法，故C正确. 对于D，可以分两个步骤完成：第一步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法； 第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法， 根据分步乘法计数原理知，不同挂法的种数是，故D错误. 故选：ABC. 6．AC 【分析】由排列及排列数的计算即可判断A；由分步计数乘法原理及组合即可判断B；由古典概型概率公式即可判断C；由对立事件的概率即可判断D． 【详解】对于A，3人选择的地点均不同的方法总数为，故A正确； 对于B，恰有2人选一个地方的方法总数为，故B错误； 对于C，恰有1人选泰山的方法总数为，所有的方法数为，所以恰有1人选泰山的概率是，故C正确； 对于D，父母都不选择去泰山的概率为， 所以小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率，故D错误. 故选：AC. 7．ABC 【分析】根据分步乘法计数原理可知A、C项正确；先选人，后排列，根据分步乘法计数原理即可得出B项；分为选0以及选2两种情况，分别求出结果，根据分类加法计数原理可得出D项错误. 【详解】对于A项，每位同学均有3种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种报名方法，故A项正确； 对于B项，第一步从4位同学中选出3人，有种方法； 第二步，选出的3名同学，选择不同的项目，有种方法. 根据分步乘法计数原理可知，共有种报名方法，故B项正确； 对于C项，每项运动的冠军都有4种可能，根据分步乘法计数原理可知，共有种可能的结果，故C项正确； 对于D项，若选择0，则0只能在第二位，其他两位从3个奇数中选择2个排好，所以有种可能； 若选择2，则2可以排在前两位，有2种可能，其他两位从3个奇数中选择2个排好，所以有种可能. 根据分类加法计数原理可得，共有种可能，故D项错误. 故选：ABC. 8．10 【分析】由分类加法计数原理可得答案. 【详解】要使点在直线上方，则， 所以当时，， 当时，或2， 当时，或2或3， 当时，或2或3或4． 所以则可以组成10个位于直线上方的点． 故答案为：10. 9．12 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】从中取一项共有3种不同取法，从中取一项有4种不同取法， 由分步乘法计数原理知，该展开式共 (项). 故答案为：12. 10．65 【分析】利用间接法，利用分步计数原理求出没有限制的方案数，排除没人去人民公园的方案数，即得. 【详解】由题可知没有限制时，每人有3种选择，则4人共有种， 若没人去人民公园，则每人有2种选择，则4人共有种， 故人民公园一定要有人去的不同游览方案有种. 故答案为：65. 11．(1)18 (2)30 (3)25 【分析】（1）根据分步乘法计数原理计算可得结果； （2）分两类计数再相加可得结果； （3）分三类计数再相加可得结果. 【详解】（1）从3名男生中选出1名的选法有种， 从4名女生选出2名的选法有种， 所以选出的3名学生中，恰有1名男生的选法为． （2）选出的3名学生中，有1名女生2名男生的选法有种， 有2名女生1名男生的选法有种， 所以选出的3名学生中，既有女生又有男生的选法为种． （3）选出的3名学生中，女生中的甲在内且男生中的乙不在内的选法有种； 女生中的甲不在内且男生中的乙在内的选法有种； 女生中的甲在内且男生中的乙也在内的选法有种， 所以选出的3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法为种． 考查范围：6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 题号 难度 知识点 一、单选题 1 全部 判断事件计数的原理 2 全部 分类加法计数原理 3 全部 分步乘法计数原理 4 全部 分步乘法计数原理及简单应用 二、多选题 5 全部 分类加法计数原理 6 全部 分步乘法计数原理及简单应用 7 全部 实际问题中的计数问题 三、填空题 8 全部 分类加法计数原理 9 全部 分步乘法计数原理及简单应用 10 全部 实际问题中的计数问题 四、解答题 11 全部 实际问题中的计数问题 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $