精品解析：河南省九师联盟2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

河南省九师联盟2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题 考生注意: 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围:高考范围. 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知正项等比数列的前项和为，若，则的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部 选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 三棱锥的体积为 C. 圆柱的外接球的表面积为 D. 平面 10. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，为的右焦点，点在上，且关于轴对称，其中点在第一象限．分别为线段的中点，点，为坐标原点，则（ ） A. 的方程为 B. C. 的最小值为 D. 的面积的取值范围为 11. 已知函数 满足 ，，且，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量 ，，若 ，则实数 _____. 13. 已知为抛物线的焦点，过点的直线与在第四象限内交于两点，若，则直线的斜率为__________． 14. 某数学兴趣小组有4名男生与2名女生参加答题活动，规则如下：先从这6人中随机选1人回答问题，再从剩下的5人中随机选1人回答问题，依次进行，直到剩下的学生的性别一样或仅剩1人时答题结束．为答题结束时选取答题的人数，则__________． 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取6名学生，对其入学的数学成绩（分）和高一第一学期期末考试数学成绩（分）进行了统计，如下表： 中考数学成绩 50 60 70 80 90 100 高一第一学期期末数学成绩 65 80 95 105 120 130 （1）规定高一期末数学成绩不低于90分为及格，不低于120分为优秀，从所抽取的6人中随机选取1人，记为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求； （2）由散点图可知与之间具有线性相关关系，求关于的经验回归方程并估计某中考数学成绩为110分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩（成绩保留整数，采用四舍五入法）． 附：经验回归模型中，； 参考数据：． 16. 在数列中，． （1）求的通项公式； （2）设为的前项和，求数列的前项和． 17. 如图，在中，，，为线段上一点，，，过点作 ，交于点，将沿翻折至 的位置，使得． （1）证明： 平面 ； （2）在线段上是否存在点，使得平面与平面 的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，的渐近线方程为． （1）求的方程； （2）若是上不同于的两点，过作与直线平行的直线交直线于点，过作与直线平行的直线交直线于点． （i）若点在第一象限，记直线的斜率分别为，求的最小值； （ii）证明：直线 恒过定点． 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：； （3）设，若存在，使得，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省九师联盟2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题 考生注意: 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围:高考范围. 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求出复数，代入求解即可. 【详解】由题意知，所以． 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的概念求解即可. 【详解】由并集的概念可知，． 故选：D． 3. 已知正项等比数列的前项和为，若，则的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及前项和求解即可. 【详解】设的公比为. 由，得，化简得， 又，所以． 故选：C． 4. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图像的平移变换和伸缩变换得出结论. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象， 再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得的图象. 故选：A. 5. 若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，即可求解的图象在点处的切线方程，进而对求导，即可得解. 【详解】由题意得，则，所以的图象在点处的切线方程为，即． 设直线与的图象相切于点， 又，则，解得， 所以，即，则 ． 故选：C． 6. 若函数在上单调递增，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先取，计算和时函数的上确界，结合单调性定义排除，当时，根据分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处，左端的上确界小于等于右端函数值的最小值，得到不等式组，求出 的范围. 【详解】当 时，， 由，知在上不单调递增， 当 时，因为在上单调递增，， 解得，故实数 的取值范围为． 故选：D． 7. 若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先变形曲线，并画出曲线的图象，再根据直线恒过点，利用数形结合，结合临界值，求实数得到取值范围. 【详解】由题意得，所以，当时，曲线为； 当时，曲线为， 显然为半圆，如图所示，易得直线 经过定点，当直线与相切时， ，,所以，易得， 故当时，直线与曲线恰有三个公共点，即的取值范围为． 故选：D． 8. 记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理以及余弦的和差角公式可得，进而根据诱导公式以及辅助角公式得，根据三角函数的有界性得，即可求解角的大小，即可得解. 【详解】由题意及正弦定理，得， 又，所以，则， 因为， 所以， 所以， 又，所以， 所以，又， 所以当且仅当时，， 又，且，所以，， 所以，则， 故的面积． 故选:C 二、选择题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部 选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 如图，矩形 是圆柱的轴截面，， 为的中点，为的中点，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 三棱锥的体积为 C. 圆柱的外接球的表面积为 D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】代入圆柱侧面积的公式，判断A，将三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积，判断B，首先确定 是圆柱外接球的直径，根据勾股定理求半径，再代入球的表面积公式，判断C，构造平行四边形，得到线线平行，再结合线面平行的判断定理，即可判断D. 【详解】对于A，圆柱的侧面积，故A错误； 对于B，由题意得 ，且 所以，故B正确； 对于C，取的中点 ，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为，故C正确； 对于D，取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又 ，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面，故D正确． 故选：BCD． ， 10. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4， 为的右焦点，点在上，且关于轴对称，其中点在第一象限．分别为线段的中点，点，为坐标原点，则（ ） A. 的方程为 B. C. 的最小值为 D. 的面积的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由离心率和长轴长列出等式求解即可判断，对于B，设的左焦点为，连接，结合椭圆的对称性即可判断，对于C，设，由两点间距离公式，结合二次函数即可判断，对于D，由，结合的范围，即可判断. 【详解】设的焦距为，由题意知解得，所以，所以的方程为 ，故A正确； 如图，设的左焦点为，连接，由的对称性知， 因为分别为线段的中点， 所以， 由椭圆的定义知，故B正确； 设，则 ，所以， 所以， 当 时，，故C错误； ，而， 所以，即的面积的取值范围为，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数 满足 ，，且，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据赋值法即可判断出选项A，B；根据赋值法求出解析式，代入解不等式即可得到选项C；通过构造函数结合函数单调性得到与5的大小，进而得到与的大小，即可判断选项D. 【详解】令，，则，即， 因为，所以，则，故A正确； 令，，则，所以， 又，所以 0，故B错误； 令，得，即，所以， 由，得 ，即， 两边平方并整理得，解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 令，则，所以在上单调递减， 又，，所以，所以 ， 取，得，所以， 又在上单调递减，所以，故 正确. 故选：ACD. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量 ，，若 ，则实数 _____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量垂直求解即可. 【详解】由题意得 ，. 因为，所以 ，解得 . 故答案为：4. 13. 已知 为抛物线的焦点，过点的直线与在第四象限内交于两点，若，则直线的斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义将和转化为点到准线的距离，然后设出直线的方程，联立抛物线方程，结合已知条件求出直线的斜率. 【详解】设，由题意知直线的斜率存在，设为，则的方程为， 联立，整理得， 则， 所以，且， 由抛物线的定义知， 因为，即， 所以，解得， 所以，解得， 故． 故答案为： 14. 某数学兴趣小组有4名男生与2名女生参加答题活动，规则如下：先从这6人中随机选1人回答问题，再从剩下的5人中随机选1人回答问题，依次进行，直到剩下的学生的性别一样或仅剩1人时答题结束．为答题结束时选取答题的人数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】确定的所有可能取值，再结合排列、组合及古典概型概率计算公式求得对应概率即可求解. 【详解】由题意的可能取值为2，3，4，5， 则 ，， ，， 所以 ． 故答案为： 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取6名学生，对其入学的数学成绩（分）和高一第一学期期末考试数学成绩（分）进行了统计，如下表： 中考数学成绩 50 60 70 80 90 100 高一第一学期期末数学成绩 65 80 95 105 120 130 （1）规定高一期末数学成绩不低于90分为及格，不低于120分为优秀，从所抽取的6人中随机选取1人，记为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求； （2）由散点图可知与之间具有线性相关关系，求关于的经验回归方程并估计某中考数学成绩为110分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩（成绩保留整数，采用四舍五入法）． 附：经验回归模型中，； 参考数据：． 【答案】（1）； （2），估计该学生高一第一学期期末考试的数学成绩为145分. 【解析】 【分析】（1）利用古典概率公式及条件概率公式求解. （2）由给定数表求出，再利用最小二乘法求出回归直线方程，进而进行数据估计. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 依题意，，， 则， ，因此， 当 时，， 所以估计该学生高一第一学期期末考试的数学成绩为145分. 16. 在数列中，． （1）求的通项公式； （2）设为的前项和，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过变形递推关系式并构造常数列求解； （2）通过等差数列前项和公式、裂项相消求和法求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以数列是常数列， 又，所以，故 ． 【小问2详解】 由（1）可知，是等差数列，则， 所以， 故， ． 17. 如图，在中，，，为线段上一点，，，过点作 ，交于点 ，将 沿翻折至 的位置，使得． （1）证明： 平面 ； （2）在线段上是否存在点，使得平面与平面 的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：因为 ，所以 ， ， 因为 ，且 平面，所以平面． 又 平面，所以 . 由题意易知，又，， 所以，则 ． 又 ，且 平面 ， 所以 平面 ． （2）在线段上存在点使得平面和平面 的夹角的余弦值为，且此时 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到 ，由勾股定理逆定理得到 ，由线面垂直的判定定理判断即可. （2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出平面和平面 的法向量，结合向量法求面面角列方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，则 ， ， 由（1）易证平面 平面，平面 平面 ， 平面，所以 平面， 又 平面，所以 ，故 两两垂直． 以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，，． 设平面的一个法向量， 则，即，令，则，，所以． 易知 ，所以，又，，， 所以． 设，. 设平面 的一个法向量， 则，即，令，得 ，，所以． 设平面与平面 的夹角为， 则， 解得或（舍去），此时， 所以在线段上存在点使得平面和平面 的夹角的余弦值为，且此时． 18. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，的渐近线方程为． （1）求的方程； （2）若是上不同于的两点，过作与直线平行的直线交直线于点，过作与直线平行的直线交直线于点． （i）若点在第一象限，记直线的斜率分别为，求的最小值； （ii）证明：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：由题意设直线的方程为， 直线的方程为， 由得所以， 由得， 即，所以， ，所以． 由题意得直线 的方程为， 即． 由（i）知直线的斜率为，故其方程为，设， 由得，所以， 设点为直线上一点，则，又， ， 则， 所以， ， ， 故直线恒过定点． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的性质求出的值，进而得出双曲线的方程. （2）（i）先根据双曲线方程得出的值，再利用基本不等式求的最小值. （ii）设出坐标，根据平行的性质求出 的坐标，进而得出的方程，最后证明直线恒过定点. 【小问1详解】 由题意得 ，所以， 又的渐近线方程为，所以，则， 故的方程为． 【小问2详解】 （i）由（1）知，设， 由点在第一象限可知，且，所以，如下图： 所以． 又，所以， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为． （ii）略 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：； （3）设，若存在，使得，证明：． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为和 （2）证明：设， 则， 因为，则，所以， 所以 ， 所以在上单调递增，又，所以当时，， 所以当时，， 所以，即． （3）证明：由，得， 则， 即． 由（2）知，在上单调递增，所以， 即， 所以， 所以， 设，则， 所以在上单调递增，则，即， 又，所以，即． 又，所以，所以． 【解析】 【分析】（1）先对求导，再分析导数在内的正负区间，进而得到单调区间， （2）设，，再通过求导判断的单调性，结合端点值证明， （3）先对已知等式变形，结合（2）可得，再利用导数证明，由此可得，再证明结论. 【小问1详解】 由，得， 令，解得；令，解得，或， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和． 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 证明：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $