专题06平行四边形同步专项训练讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题06平行四边形同步专项训练讲义 【题型01 利用平行四边形的性质求解】..............................4 【题型02 利用平行四边形的性质证明】..............................5 【题型03 平行四边形性质的其他应用】.............................6 【题型04 求平行线间的距离】.....................................7 【题型05 利用平行线间距离解决问题】.............................8 【题型06 判断能否构成平行四边形】...............................9 【题型07 添一个条件成为平行四边形】.............................9 【题型08 证明四边形使平行四边形】...............................11 【题型09 利用平行四边形的判断与性质求解】.......................11 【题型10 利用平行四边形性质与判定证明】.........................12 【题型11 平行四边形性质与判定的应用】...........................13 【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】.........................13 【题型13 与三角形中位线有关的证明】.............................14 【题型14 三角形中位线的实际应用】...............................15 【解答题5题】...................................................16 ★知识梳理★ 知识点01:平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 几何符号表示：若四边形ABCD中，AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形，记作，读作 “平行四边形ABCD”。 定义的双重性：①判定：两组对边分别平行→平行四边形；②性质：平行四边形→两组对边分别平行。 知识点02:平行四边形的性质（核心：边、角、对角线、对称性） 平行四边形的对边、对角、对角线具有固定特征，且为中心对称图形（对称中心是对角线的交点），无对称轴（非轴对称图形）。 1. 边的性质 平行四边形的两组对边分别平行且相等。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘，∠B+∠C=180∘（邻角和为180∘）。 3. 对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分（对角线的交点为每条对角线的中点）。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴OA=OC，OB=OD。 知识点03:平行四边形的判定（5 种核心方法，从边、角、对角线切入） 判定的核心：满足任一条件，即可判定为平行四边形，需熟记几何语言，能结合条件选择最优判定方法。 1. 定义判定（边：两组对边平行） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。 2. 边的判定 1（两组对边相等） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。 3. 边的判定 2（一组对边平行且相等） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（最常用，注意 “平行且相等” 需针对同一组对边）。 几何语言：∵AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC），∴四边形ABCD是平行四边形。⚠️ 易错点：“一组对边平行，另一组对边相等” 不能判定平行四边形（可能是等腰梯形）。 4. 角的判定（两组对角相等） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是。 5. 对角线的判定（互相平分） 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言：∵对角线AC、BD交于点O，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形。 知识点04:平行四边形的面积公式 基本公式：面积底高（S=ah），其中底为平行四边形的任意一条边，高为这条底对应的垂直高度（注意：高与底需一一对应，不能混淆）。. 知识点05:三角形中位线（核心知识点，平行四边形推导延伸） 1. 三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 注：一个三角形有3 条中位线，中位线是线段，区别于三角形的中线（中线连接顶点和对边中点）。 几何表述：若D、E分别为△ABC的AB、AC边中点，则DE是△ABC的一条中位线。 2. 三角形中位线定理（核心，一个定理两个结论） 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：∵D、E分别是△ABC的AB、AC中点，∴DE∥BC，DE=BC。 定理本质：将三角形的边、角关系转化为平行四边形的边、角关系（推导依托平行四边形判定与性质）。 . 【题型1.利用平行四边形的性质求解】 【典例】如图，在平行四边形中，与相交于点，，则的周长为 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，对角线，相交于点，为上一点，连接．若，的周长比四边形的周长大3，则的长为 ． 【跟踪专练3】如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F，若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为（   ） A．9 B．9.5 C．10 D．12 【题型2.利用平行四边形的性质证明】 【典例】两组对边分别 的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别 ；平行四边形的两组对角分别 ；平行四边形的对角线 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C．8 D． 【跟踪专练2】如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④．其中正确的结论有 ． 【跟踪专练3】如图，是平行四边形内的一点，沿着，，和，将平行四边形裁成四部分，面积分别为，，，，则下列两位同学的说法中，正确的是（    ） 嘉嘉：一定存在，与点的位置无关； 淇淇：当时，点一定在对角线上．    A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都正确 D．两人都不正确 【题型3.平行四边形性质的其他应用】 【典例】在平行四边形ABCD中，下列结论一定正确的是（　　） A．∠A＝∠B B．AB＝AD C．AC＞BD D．∠B+∠C＝180° 【跟踪专练1】下列图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形 【跟踪专练2】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 【题型4.求平行线间的距离】 【典例】如图所示，，则平行线l与n间的距离是（    ）．    A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【跟踪专练1】已知直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，则直线与之间的距离是 cm． 【跟踪专练2】已知，点E，F分别为，上的点，连接，，若，则两直线与间的距离是（　　） A．5 B．6 C． D． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，，，则与之间的距离为 ． 【题型5.利用平行线间距离解决问题.】 【典例】如图，已知直线，点P在直线 a上，且到直线b的距离为3，则将a平移到b的位置，平移的距离不可以是(    ) A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，若，，则点到的距离是 ． 【题型6.判定能否构成平行四边形】 【典例】现有长为5，5，7的三根木棍，嘉嘉要想钉一个平行四边形的木框，则选用的第四根木棍的长度应该为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练1】一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且满足，则这个四边形一定是 ． 【跟踪专练2】四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．∥，∥ C．， D．∥， 【跟踪专练3】将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【题型7.添一个条件成为平行四边形】 【典例.】如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形． 【跟踪专练2】如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为（   ） A．a B．b C．c D．d 【跟踪专练3】如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件： ． 【题型8.证明四边形是平行四边形】 【典例】已知，，则四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，要使四边形是矩形，可添加的条件为 ．（写出一个即可） 【跟踪专练2】下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点，连接．    求证：四边形是平行四边形． 证明：为的中点， ， （①）， ． 同理可得，， 四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练3】图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 ． 【题型9.利用平行四边形的判定与性质求解.】 【典例】在四边形中，如果且，，那么 ． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，相交于点O．若，则线段的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【跟踪专练2】如图，某同学在研究“抖空竹”时发现，当空竹在点E处时，，，已知，，且，，则的长为 ． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，，，连接，已知点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型10.利用平行四边形的判定与性质证明】 【典例】下列说法不正确的是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是 ． 【跟踪专练2】如图，在中，点是边的中点，点是边上一点，则下列条件中，不能说明四边形为平行四边形的是（    ） A．为的中点 B． C． D． 【跟踪专练3】如图，是平行四边形的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （只要填写一种情况）． 【题型11.平行四边形性质与判定的应用】 【典例】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD．则四边形ABCD是平行四边形，其依据是 ． 【跟踪专练1】下列说法错误的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【跟踪专练2】图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    【跟踪专练3】如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【题型12.与三角形中位线有关的求解问题】 【典例】在周长为米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠总长为 米． 【跟踪专练1】如图所示，是的中位线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形中，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点B重合），点分别为的中点，则长度的最大值为 ． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，则的度数为（   ） A．60° B．50° C．40° D．25° 【题型13.与三角形中位线有关的证明】 【典例】如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为 形． 【跟踪专练1】如图，在中，为其中位线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 【跟踪专练2】如图，点D、E、F分别是直角各边的中点，，、分别为，，则DF的长为 ． 【跟踪专练3】如图，四边形是直角梯形，，，，分别是，，，的中点，连接，，，，，，则图中的平行四边形共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型14.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，为了测量位于一水源旁的两点A、B的距离，在外选了一点C，分别取的中点M、N，量得，则A、B间的距离为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某地需要开辟一条隧道，隧道的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，测量找到和的中点D、E，测得的长为1100m，则隧道的长度为 m． 【跟踪专练2】如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为 ； 【解答题】 1．如下图，在中，，交于点．过点作交于点，连接．若．求的度数． 2．如图，直线，与的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与面积相等的三角形吗？ 3．如图，四边形为平行四边形，点M从点D运动到点A与点N从点B运动到点C的速度相同，点E从点A运动到点B与点F从点C运动到点D的速度相同，连接，． (1)出发前，与是否互相平分？请说明理由； (2)若同时出发，（1）中的结论还成立吗？为什么？ 4．如图，已知： 是 内任意一点，、、、 分别是 、、、 的中点． 求证： 四边形 是一个平行四边形． 5．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：与互相平分． (2)若，，则的长为__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平行四边形同步专项训练讲义 【题型01 利用平行四边形的性质求解】..............................4 【题型02 利用平行四边形的性质证明】..............................7 【题型03 平行四边形性质的其他应用】.............................10 【题型04 求平行线间的距离】.....................................13 【题型05 利用平行线间距离解决问题】.............................15 【题型06 判断能否构成平行四边形】...............................19 【题型07 添一个条件成为平行四边形】.............................20 【题型08 证明四边形使平行四边形】...............................22 【题型09 利用平行四边形的判断与性质求解】.......................25 【题型10 利用平行四边形性质与判定证明】.........................28 【题型11 平行四边形性质与判定的应用】...........................31 【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】.........................34 【题型13 与三角形中位线有关的证明】.............................37 【题型14 三角形中位线的实际应用】...............................39 【解答题5题】...................................................42 ★知识梳理★ 知识点01:平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 几何符号表示：若四边形ABCD中，AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形，记作，读作 “平行四边形ABCD”。 定义的双重性：①判定：两组对边分别平行→平行四边形；②性质：平行四边形→两组对边分别平行。 知识点02:平行四边形的性质（核心：边、角、对角线、对称性） 平行四边形的对边、对角、对角线具有固定特征，且为中心对称图形（对称中心是对角线的交点），无对称轴（非轴对称图形）。 1. 边的性质 平行四边形的两组对边分别平行且相等。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘，∠B+∠C=180∘（邻角和为180∘）。 3. 对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分（对角线的交点为每条对角线的中点）。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴OA=OC，OB=OD。 知识点03:平行四边形的判定（5 种核心方法，从边、角、对角线切入） 判定的核心：满足任一条件，即可判定为平行四边形，需熟记几何语言，能结合条件选择最优判定方法。 1. 定义判定（边：两组对边平行） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。 2. 边的判定 1（两组对边相等） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。 3. 边的判定 2（一组对边平行且相等） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（最常用，注意 “平行且相等” 需针对同一组对边）。 几何语言：∵AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC），∴四边形ABCD是平行四边形。⚠️ 易错点：“一组对边平行，另一组对边相等” 不能判定平行四边形（可能是等腰梯形）。 4. 角的判定（两组对角相等） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是。 5. 对角线的判定（互相平分） 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言：∵对角线AC、BD交于点O，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形。 知识点04:平行四边形的面积公式 基本公式：面积底高（S=ah），其中底为平行四边形的任意一条边，高为这条底对应的垂直高度（注意：高与底需一一对应，不能混淆）。. 知识点05:三角形中位线（核心知识点，平行四边形推导延伸） 1. 三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 注：一个三角形有3 条中位线，中位线是线段，区别于三角形的中线（中线连接顶点和对边中点）。 几何表述：若D、E分别为△ABC的AB、AC边中点，则DE是△ABC的一条中位线。 2. 三角形中位线定理（核心，一个定理两个结论） 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：∵D、E分别是△ABC的AB、AC中点，∴DE∥BC，DE=BC。 定理本质：将三角形的边、角关系转化为平行四边形的边、角关系（推导依托平行四边形判定与性质）。 . 【题型1.利用平行四边形的性质求解】 【典例】如图，在平行四边形中，与相交于点，，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，结合三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：因为平行四边形对角线互相平分， 所以，， 则的周长为． 故答案为：12． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，，对角线，相交于点，为上一点，连接．若，的周长比四边形的周长大3，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形周长的计算，熟练掌握平行四边形周长公式是解题的关键； 根据已知角度和边长得出AD的长，再根据周长的差列式子求得ED的长． 【详解】解：，， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 的周长比四边形的周长大3， ， ， ， ； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F，若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为（   ） A．9 B．9.5 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先利用平行四边形的性质求出，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为18， ， ， 在和中， ， ， ， 则的周长， 故选：D． 【题型2.利用平行四边形的性质证明】 【典例】两组对边分别 的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别 ；平行四边形的两组对角分别 ；平行四边形的对角线 ． 【答案】 平行 相等 相等 互相平分 【解析】略 【跟踪专练1】如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识． 由平行四边形的性质得，由勾股定理求出，得出，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设与交于点F， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定定理是解题关键． 根据平行四边形的性质可得到，可判断①正确；根据三角形三边关系可得到，进而求得的取值范围，可判断②正确；根据平行四边形的性质可知为中点，则，进而求得与的数量关系，可判断③正确；根据，利用，可判断④正确． 【详解】①∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴，． 在和中， ， ∴． ∴． 故①正确． ②∵四边形为平行四边形， ∴，． 又， ∴． ∴． 故②正确． ③∵为的中点， ∴． ∴． 故③错误． ④∵， ∴． ∴． 故④正确． 故答案为：①②④． 【跟踪专练3】如图，是平行四边形内的一点，沿着，，和，将平行四边形裁成四部分，面积分别为，，，，则下列两位同学的说法中，正确的是（    ） 嘉嘉：一定存在，与点的位置无关； 淇淇：当时，点一定在对角线上．    A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 由于平行四边形两组对边分别相等，的边上的高的和是两平行线之间的距离，所以，同理可得：，可判断嘉嘉的说法；根据已知进行变形，求出，可判断淇淇的说法． 【详解】过点O作的垂线，分别交，于，   四边形是平行四边形 同理 ，故嘉嘉说法正确； ∵， ∴， 此时， 即P点一定在对角线上．故淇淇正确． 故选C． 【题型3.平行四边形性质的其他应用】 【典例】在平行四边形ABCD中，下列结论一定正确的是（　　） A．∠A＝∠B B．AB＝AD C．AC＞BD D．∠B+∠C＝180° 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质即可完成． 【详解】A、平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，故错误； B、平行四边形的对边相等，但邻边不一定相等，故错误； C、平行四边形的对角线AC不一定大于对角线BD，故错误； D、平行四边形的邻角互补，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟悉平行四边形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】下列图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，平行四边形的性质，轴对称图形是指沿一条直线对折后两边能完全重合的图形，据此判断各选项是否一定满足条件即可求解． 【详解】解：A.直角三角形不一定是轴对称图形（如含30°的直角三角形），故A不符合； B.平行四边形不一定是轴对称图形（如一般平行四边形），故B不符合； C.等腰梯形一定是轴对称图形（有一条对称轴），故C符合； D.梯形不一定是轴对称图形（如直角梯形），故D不符合． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出； 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD 由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°， ∴△AEC为等腰直角三角形 ∴AE=CE ∴Rt△AE B′≌Rt△CDE ∴EB′=DE ∵在等腰Rt△AEC中， ∴ ∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60° ∴∠DCE=30° ∴DE=1 在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1 ∴= 故选：B 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【题型4.求平行线间的距离】 【典例】如图所示，，则平行线l与n间的距离是（    ）．    A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】根据平行线之间距离的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵于点， ∴平行线与间的距离是线段的长度，故选项正确； ∵线段、线段、线段都不是与之间的垂线段，故选项B、C、D都错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离，熟知从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离是解答此题的关键． 【跟踪专练1】已知直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，则直线与之间的距离是 cm． 【答案】8或2 【分析】本题考查了平行线间的距离，掌握平行线间的距离是垂线段的长度，需分情况讨论位置关系是解题的关键． 由于三条直线互相平行，直线与的距离取决于它们相对于直线的位置，有两种情况：直线在与之间或与在的同一侧． 【详解】解：当直线在直线与之间时，直线与的距离为； 当直线与在直线的同一侧时，直线与的距离为． 故答案为：或． 【跟踪专练2】已知，点E，F分别为，上的点，连接，，若，则两直线与间的距离是（　　） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】作于H，证是等腰直角三角形，计算即是直线与间的距离． 【详解】解：如下图，作于H，   ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了求平行线间的距离，结合等腰直角三角形知识点，作垂直构造等腰直角三角形是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，，，则与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】作，在中根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作，则， 又∵， ， ， ， ， ， ， ∴与之间的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离和勾股定理，如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离，掌握平行线之间距离的定义并能用勾股定理计算时解题的关键． 【题型5.利用平行线间距离解决问题.】 【典例】如图，已知直线，点P在直线 a上，且到直线b的距离为3，则将a平移到b的位置，平移的距离不可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线间的距离，根据平行线间的距离是两平行线上两点之间连线长度的最小值即可得到答案 【详解】解：∵直线，点P在直线 a上，且到直线b的距离为3， ∴将a平移到b的位置，平移的距离不可以小于3， 故选：A 【跟踪专练1】如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴； 同理： ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，利用垂线段最短解决问题是本题的关键． 在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当时，有最小值， 此时：， 故选：A． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，若，，则点到的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．作交延长线于，交于，可证，则可求，根据平行线间距离处处相等，则． 【详解】解：作交延长线于，交于， ∵， ∴， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 根据平行线间间距相等， 则， 故答案为：4． 【题型6.判定能否构成平行四边形】 【典例】现有长为5，5，7的三根木棍，嘉嘉要想钉一个平行四边形的木框，则选用的第四根木棍的长度应该为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 选用的第四根木棍的长度应该为； 故选：D． 【跟踪专练1】一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且满足，则这个四边形一定是 ． 【答案】平行四边形 【解析】略 【跟踪专练2】四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．∥，∥ C．， D．∥， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】解：、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； B、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； C、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； D、，， 四边形是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 【跟踪专练3】将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 【题型7.添一个条件成为平行四边形】 【典例.】如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； B、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； C、因为，，所以四边形为平行四边形，符合题意； D、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】12 【分析】由OA=12cm求出OC，得出OA=OC，再由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：当OA=12cm时，OC=24-12=12（cm）， ∴OC=OA， ∵OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是： 即这条线段为a． 故选：A 【跟踪专练3】如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件： ． 【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】添加的条件：E，F分别是，的中点 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 【题型8.证明四边形是平行四边形】 【典例】已知，，则四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，即可判定． 【详解】解：如图： ，， 四边形是平行四边形， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握和运用平行四边形的判定定理是解决本题的关键． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，要使四边形是矩形，可添加的条件为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定、平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握矩形的判定． 由题意可证四边形是平行四边形，再添加其中一个角是即可证四边形是矩形． 【详解】解：可添加的条件为：， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点，连接．    求证：四边形是平行四边形． 证明：为的中点， ， （①）， ． 同理可得，， 四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．利用为的中点，得出，利用可证，得出．同理可得，即可证明． 【详解】证明：为的中点， ， ， ． 同理可得，， 四边形是平行四边形． 故答案为：，． 【跟踪专练3】图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键利用勾股逆定理证明三角形为直角三角形． 根据平行四边形对角线互相平分可知，，，又，根据勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，面积为，又平行四边形中对角线把它分成面积相等的部分，由此可求出平行四边形的面积． 【详解】解：与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ． ，，， ， 为直角三角形，， ， ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 【题型9.利用平行四边形的判定与性质求解.】 【典例】在四边形中，如果且，，那么 ． 【答案】28 【分析】先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质可求解． 【详解】解：∵且，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质．掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，相交于点O．若，则线段的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质． 先证明四边形是平行四边形，得到，即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，某同学在研究“抖空竹”时发现，当空竹在点E处时，，，已知，，且，，则的长为 ． 【答案】/130厘米 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 根据平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，延长交于点F，利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 延长交于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，，，连接，已知点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及平面直角坐标系中点的坐标，解题的关键是利用平行四边形的性质确定点的坐标． 先根据两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及点、的坐标确定点的坐标． 【详解】解：因为，， 所以四边形是平行四边形， 在平行四边形中，，， 已知点，所以， 又因为轴，点， 所以点的纵坐标与点的纵坐标相同，为3， 因为，点的横坐标为2， 所以点的横坐标为， 所以点的坐标为． 故选：B． 【题型10.利用平行四边形的判定与性质证明】 【典例】下列说法不正确的是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：、两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 选项不符合题意； 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， 选项符合题意； 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 选项不符合题意； 、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形， 选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是 ． 【答案】①④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； ②∵，不能判定， ∴不能判定四边形是平行四边形； ③添加不能判定四边形是平行四边形； ④∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①④． 【跟踪专练2】如图，在中，点是边的中点，点是边上一点，则下列条件中，不能说明四边形为平行四边形的是（    ） A．为的中点 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质，得出，，根据中点得出，根据平行四边形的判定逐项判断即可，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：∵在中，点是边的中点， ∴，，， ∴， A、为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、，不能说明四边形为平行四边形，符合题意； C、， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练3】如图，是平行四边形的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （只要填写一种情况）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解答． 【详解】解：还需要增加的一个条件是，理由为： 连接，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 【题型11.平行四边形性质与判定的应用】 【典例】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD．则四边形ABCD是平行四边形，其依据是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【分析】(1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2∶两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4）定理3∶对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4∶一组对边平行且相等的四边形是． 【详解】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查的是平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【跟踪专练1】下列说法错误的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理即可判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确； C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确； D、一组对边相等，对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型． 【跟踪专练2】图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    【答案】 12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 【跟踪专练3】如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 【题型12.与三角形中位线有关的求解问题】 【典例】在周长为米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠总长为 米． 【答案】400 【分析】本题考查三角形中位线的性质． 三角形中位线等于第三边的一半，所以三条中位线的和等于周长的一半． 【详解】解：如图，周长为米，分别为的中点， 则均为的中位线， （米）， 故答案为：400． 【跟踪专练1】如图所示，是的中位线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质．根据三角形的中位线定理，可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴ 故选：D． 【跟踪专练2】如图，四边形中，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点B重合），点分别为的中点，则长度的最大值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理；找出取得最值的条件是解题的关键；连接，，由三角形中位线定理得，当取得最大值时，取得最大值，当与重合时，取得最大值，由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，， 点分别为的中点， ， 当取得最大值时，取得最大值， 当与重合时，取得最大值， 此时 ， 取得最大值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，则的度数为（   ） A．60° B．50° C．40° D．25° 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边，平行四边形对边平行是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合为中点，判定为中位线，通过平行线的性质得到与相等，进而求出角度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点 ∴是的中点 ∵是边的中点 ∴是的中位线 ∵是的中位线 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ 且 ∴ ， ， ∵ ∴ 故选：B． 【题型13.与三角形中位线有关的证明】 【典例】如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为 形． 【答案】平行四边 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理推出且，则可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：、分别是、的中点，、分别是、的中点， ，且， 且， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边． 【跟踪专练1】如图，在中，为其中位线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 【答案】C 【分析】本题考查求角度，涉及三角形中位线的性质、平行线的性质等知识，先由中位线的性质得到，再由两直线平行同位角相等即可得到答案，熟记三角形中位线的性质、平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在中，为其中位线， , , , 故选：C． 【跟踪专练2】如图，点D、E、F分别是直角各边的中点，，、分别为，，则DF的长为 ． 【答案】4 【分析】由三角形中位线定理得到，由平行线的性质推出，由勾股定理求出即可． 【详解】解：点D、E、F分别是直角各边的中点， ，是的中位线， ， ， ， ，， ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，证明是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，四边形是直角梯形，，，，分别是，，，的中点，连接，，，，，，则图中的平行四边形共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，中点四边形，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定定理．利用三角形中位线定理得到，，最后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，识别出图中的所有平行四边形． 【详解】解：如图，设与、的交点为、，与、的交点为、， ，，，分别是，，，的中点， ，， 图中的平行四边形有：四边形，四边形、四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，共个． 故选：D． 【题型14.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，为了测量位于一水源旁的两点A、B的距离，在外选了一点C，分别取的中点M、N，量得，则A、B间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】MN为的中位线，利用中位线的性质求解． 【详解】解：∵M、N分别是的中点， ∴MN为的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形中位线的实际应用，掌握三角线中位线的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】某地需要开辟一条隧道，隧道的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，测量找到和的中点D、E，测得的长为1100m，则隧道的长度为 m． 【答案】2200 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点D、E分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴（米）， 答：隧道的长度为2200米， 故答案为：2200． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，即可得到答案． 【详解】解：的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形， ，，， 的周长为， 的周长为， … 以此类推，第个三角形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了找规律-图形的变化类，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为 ； 【答案】6 【分析】延长AF交BC于G，证明△ABF≌△GBF，根据全等三角形的性质得到BG＝AB＝20，AF＝FG，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长AF交BC于G， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠GBF， 在△ABF和△GBF中， ∵， ∴△ABF≌△GBF（SAS）， ∴BG＝AB＝20，AF＝FG， ∴GC＝BC−BG＝12， ∵D为AB的中点， ∴DF是的中位线， ∴DE∥BC， ∴EF是的中位线， ∴EF＝CG＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【解答题】 1．如下图，在中，，交于点．过点作交于点，连接．若．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质得到边的相等关系以及平行关系，利用垂直平分线的性质得到，再根据角度和平行关系推导出的度数进而求得的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 2．如图，直线，与的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与面积相等的三角形吗？ 【答案】相等，见解析 【分析】根据平行线间距离处处相等，证明即可． 【详解】解：面积相等，理由如下： 如图所示，作于M点，于N点， ∵， ∴AM=DN， ∵，， ∴， 经过证明，只要以BC为底边，顶点落在上的三角形，面积均与的面积相等，如下图：，等，均满足面积等于的面积． 【点睛】本题考查平行线的基本性质，掌握平行线间的距离处处相等，是解题关键． 3．如图，四边形为平行四边形，点M从点D运动到点A与点N从点B运动到点C的速度相同，点E从点A运动到点B与点F从点C运动到点D的速度相同，连接，． (1)出发前，与是否互相平分？请说明理由； (2)若同时出发，（1）中的结论还成立吗？为什么？ 【答案】(1)出发前，与互相平分．理由见解析 (2)成立．理由见解析 【分析】本题主要通过平行四边形的判定与性质求解，重点掌握平行四边形的对角线互相平分以及两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （1）根据平行四边形的对角线互相平分，即可判定； （2）首先连接，，，，然后通过证明三角形全等，得到四边形的两组对边分别相等，证得四边形为平行四边形，则与相互平分． 【详解】（1）解：出发前，与互相平分．理由如下： 如图①，设对角线与相交于点． 四边形是平行四边形， ，，即与互相平分． （2）解：（1）中的结论还成立．理由如下： 如图②，连接，，，． 四边形是平行四边形， ，，，． 由题意，得，， ，． 在和中， ， ． 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 4．如图，已知： 是 内任意一点，、、、 分别是 、、、 的中点． 求证： 四边形 是一个平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理证，，再根据平行四边形的定义判定即可． 【详解】证明：分别是的中点， ，且（三角形中位线定理）， 同理，可得，且， 且， 四边形是一个平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 5．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：与互相平分． (2)若，，则的长为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质；掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． （1）证明是的中位线，得且，再证明，，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）先通过勾股定理求出，根据平行四边形的对角线互相平分，求出，根据求出，最后根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：证明：，分别是，的中点， 是的中位线， 且． ， ， 且， 四边形是平行四边形， 与互相平分． （2）   在中，，，， ． 是的中点， ． 由（1）知， ． 在中，，，， ．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $