第11章 11.2 一元一次不等式-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

B型手机1部. (3)按方案①购买所需费用为1800×4十2200×2= 11600(元)： 按方案②购买所需费用为1800×5十2200=11200 (元). .11600>11200, ∴.按方案②购买费用更省，最少费用是11200元. 11.2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 1.D2.-2 3.2x<-2(答案不唯一) 4.B【解析】.4x十5≤15， ∴.4x≤10，.x≤2.5， ∴.该不等式的正整数解有1,2，共2个. 5.解：去分母，得3x-5>6.x, 移项，得3x-6x>5, 合并同类项，得一3x>5, 5 系数化为1，得x<一3 该不等式的解集在数轴上表示如图所示. 6420 3 6.解：(1)不等式的性质2 (2)⑤系数化为1时，不等式两边除以同一个负数， 忘记改变不等号的方向 (3)x≥1 54-3-2-1012345 2x-y=m+1,① 7.C【解析】 x十y=2.② 由①-②，得x-2y=m-1. x-2y>1, ∴.m-1>1, 解得m>2. 8.0(答案不唯一)【解析】不等式移项、合并同类项，得 2x≤1-m, 系数化为1，得x≤2-2m. :不等式m一<1-x有正数解， ∴.2-2m>0,解得m<1, .m的值可以是0. 9.解：去分母，得3(2x一3)<x十1， 去括号，得6x一9<x十1， 移项、合并同类项，得5x<10, 系数化为1，得x<2. 故原不等式的解集为x<2,在数轴上表示如图. -4-3-2-1012345 10.解：3★x<13, ∴.3(3+x)-1<13, .9+3x-113, .3x<5, .5 :x<3 1部：由题意，得2“≥专 3 6 去分母，得4(x十1)-3(2x-1)≥2(x-3), 去括号，得4x十4-6x十3≥2x-6, 移项、合并同类项，得-4x≥-13， 13 系数化为1，得x≤4： 故当：取正整数1或2或3时，式子生-2，台 4的 值不小于式子。的位。 12.解：(1)x>3 (2)解不等式3(x一1)>2x-m,得x>3-m. ,x>-6是3(x一1)>2x一m的“蕴含不等式”， .3一m≤一6，解得m≥9. 故m的取值范围是m≥9. (3)是.理由如下： 根据题意，得-2n十4≤2，解得n≥1， .一n十3≤2，x<-n十3是x<2的“蕴含不等式”. 第2课时一元一次不等式的应用 1.八八 2.解：设x个月后能赚回这台机器的成本. 依题意，得(8-5-8×10%)×2000x≥22000， 解得x≥5. 故至少5个月后能赚回这台机器的成本. 3.解：(1)设原计划每天改造地下管网xm,则实际施工 时每天改造地下管网(1十20%)xm. 由题意，得10(1+20%)x=3600×20%, 解得x=60. 60×(1+20%)=72(m). 故实际施工时，每天改造地下管网的长度是72m. (2)设之后每天改造地下管网mm. 由题意，得(40-20)m≥3600-72×20， 解得m≥108. 故之后每天至少需要改造地下管网108m. 4.C 5.B【解析】设甲队胜了x场，则平了5一1-x=(4一 x)场.由题意可得3.x+1×(4-一x)十0×1>7，解得x 下册参考答案 >1.5.x为整数，∴x的最小值是2，即甲队至少胜 了2场 6.C【解析】设需要消耗植物xkg.根据题意，得20%× 20%x≥5，解得x≥125，∴.至少需消耗植物125kg, 7,A【解析】由题意，得R≤0.1山，解得R≥200。 8.12【解析】设可以购买x件该商品. 3×5+(x-5)×3×0.832, 解得x≤1212 ·x是正整数， .最多可以购买12件该商品。 9.解：，小明买mkgA水果，∴.买了(m十1)kgB水果 (1)由题意，得14m+18(m+1)≤50，解得m≤1， ∴.结合实际可得，0<m≤1. (2)由题意，得14m·0.75十18+18m·0.75=48, 解得m=1.25. 10.解：1)根据题意，得0一6=3， 解得=12， (3b-2a=3, b=9. (2)设购买A型设备x台，则购买B型设备(10一 x)台. 0 根据题意，得12x十9(10-x)≤100，解得x≤3 x取非负整数，x的值可以为0,1,2,3， .有如下四种购买方案： ①购买A型设备0台，B型设备10台： ②购买A型设备1台，B型设备9台； ③购买A型设备2台，B型设备8台； ④购买A型设备3台，B型设备7台. (3)由题意，得220.x+180(10-x)≥1880，解得x ≥2. 10 由(2)可知x≤3x的值可以为2,3. 当x=2时，购买资金为12×2十9×8=96（万元）； 当x=3时，购买资金为12×3+9×7=99（万元）. 9699, ∴.最省钱的购买方案为购买A型设备2台，B型设 备8台. 11.3一元一次不等式组 1.B2.D3.m3 4.解：(1)解不等式3x-2<x十2，得x<2, 解不等式5.x+5>2x-7,得x>-4, .不等式组的解集为一4<x<2, (2)解不等式x十3<5，得x<2, 解不等式2(.x+1)>x-1,得x>-3, ∴.不等式组的解集为一3<x<2, 5.B【解析】设该商店购进A商品x件，则购进B商品 24 数学七年级RJ版 (50-x)件， 由题意得 1120x+200(50-x)≤8400， 20x+40(50-x)>1500, 解得20≤x<25. x为整数，∴x可以取20,21,22,23,24， ∴.该商店的进货方案有5种 6.解：设参加端午节包粽子活动的学生有x人. 由题意，得2≤(4x十6)一5(x-1)<4, 解得7<x≤9！ x为正整数， x可取8或9， 即参加端午节包粽子活动的学生的人数为8或9. 7.D 2(x+1)>x,① 8.解： 1-2≥2@ 解不等式①，得x>-2, 解不等式②，得x≤1， ∴.原不等式组的解集为一2<x≤1. 解集在数轴上表示如图. -4-32-10234 9.解：任务一：设A型号的新型垃圾桶的单价为x元，B 型号的新型垃圾桶的单价为y元. 3x+2y=380, 由题意得，们 5x+4y=700, x=60, 解得 y=100. 答：A型号的新型垃圾桶的单价为60元，B型号的新 型垃圾桶的单价为100元 任务二：设购买A型号的新型垃圾桶a个，则购买B 型号的新型垃圾桶(200一a)个， 60a+100(200-a)15300, 由题意，得 2 200-a≥3， 解得117.5≤a≤120. ,a为整数， .a=118或119或120， ∴.有三种购买方案：①购买A型号的新型垃圾桶118 个，B型号的新型垃圾桶82个； ②购买A型号的新型垃圾桶119个，B型号的新型垃 圾桶81个； ③购买A型号的新型垃圾桶120个，B型号的新型垃 圾桶80个 任务三：：A型号的新型垃圾桶价格更低， ,∴，购买A型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，11.2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 要点提示 1.一元一次不等式：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫作一元 一次不等式 2.解一元一次不等式：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x<a(x≤a)或x>a(x≥ a)的形式. 3.解一元一次不等式的步骤： (1)去分母：在不等式两边都乘各分母的最小公倍数；(2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号； (3)移项：把含有未知数的项都移到不等式的左边，其他项都移到不等式的右边（记住移项要变号）；(4)合并 同类项：把不等式化成ax>b(ax≥b)或ax<b(ax≤b)(a≠0)的形式；(5)系数化为1：在不等式两边都除以 未知数的系数a,得到不等式的解集>名（≥白）或<合(<合)】 注意：去分母和系数化为1时，当所乘（或除以）的数是负数时，需要改变不等号的方向 O1固基础心 》易错点 解一元一次不等式的过程中 知识点①一元一次不等式的定义 出错 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是 ( 6.先认真阅读小明解不等式1一x十1 A.y+3≥x B.3-4<0 3的过程，再解答问题。 x-1 C.2x2-4≥1 D.2-x≤4 2.已知2-3x2+2“>0是关于x的一元一次不 解：去分母，得6一3(x+1)≤2(x一1)， ① 等式，则a= 去括号，得6-3x-3≤2x-2,② 3.结论开放题写出一个解集为x<一1，且未 移项，得一3x一2x≤一2一6十3，③ 知数的系数为2的一元一次不等式： 合并同类项，得-5.x≤-5，④ 系数化为1，得x≤1.⑤ 知识点2一元一次不等式的解法 (1)以上求解过程中，去分母的依据是 4.不等式4x十5≤15的正整数解有( A.3个B.2个C.1个 D.0个 (2)第 (填序号)步出现错 5解不等式“25>3，并把解集在数轴上表 误，错误的原因是 示出来 (3)该不等式的正确解集为 ,请在数轴上表示该解集. 1 -5-4-3 -2 -1012345 64 数学七年级RJ版 。。。 之02提能力之 。…。 山.（教材变式）当x取何正整数时，式子工 7.(2025宜春期末)关于x,y的二元一次方程 2x-y=m+1, 2,的值不小于式子。3的值？ 组 的解满足x-2y>1,则 (x+y=2 m的取值范围是 ( A.m<-2 B.m>-2 C.m>2 D.m<2 8.关于工的不等式m一号<1-x有正数解，m 的值可以是 (写出一个即可). 9.(2025赣州章贡区期末)解不等式2x一3< x+1 3,并把解集在数轴上表示出来 ……之O3拓思维之… 4-3-2-1012345一 12.运算能力定义：如果一元一次不等式①的 解都是一元一次不等式②的解，那么称一 元一次不等式①是一元一次不等式②的 “蕴含不等式”.例如：不等式x<一3的解 都是不等式x<一1的解，则x<一3是x <一1的“蕴含不等式” (1)在不等式x>1,x>3,x<4中，是x> 2的“蕴含不等式”的是 (2)若x>-6是关于x的不等式3(x-1) >2x一m的“蕴含不等式”，求m的取值 10.定义新运算：对于任意实数a,b都有a★b 范围. =a(a十b)-1.例如2★5=2×(2十5)一1 (3)若x<一2n+4是x<2的“蕴含不等 =13.求不等式3★x<13的解集. 式”，试判断x<一n+3是不是x<2的 “蕴含不等式”，并说明理由. 下册第十一章 第2课时 一元一次不等式的应用 要点提示 列不等式解应用题的一般步骤：(1)弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示未知数；(2)找出能够表示应用 题全部含义的一个不等吴系；(3)根据这个不等关系列出需要的式子，从而列出不等式；(4)解这个不等式，求出 解集 注意：在实际问题情境中建立不等式，有时求出不等式的解集后，应根据实际意义，对其解进行取舍 之O1固基础之 保总工期不超过40天，那么之后每天至少 需要改造地下管网多少米？ 知识点1销售与购物问题 1.某商品进价4元，标价5元出售，商家准备 打折销售，但其利润率不能少于10%，则最 多可打 折. 2.(教材变式)某人花费22000元购进一台机 器来生产某种产品.已知每个产品的成本是 5元，售价是8元，销售1个产品应付的税款 和产生的其他费用是售价的10%.若每个月 能生产并销售2000个产品，则至少多少个 知识点3比赛积分问题 月后能赚回这台机器的成本？ 4.(2025宜宾，有改动)采采中学举办“科学与 艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每1 道题，答对得10分，答错或不答扣5分.若 小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80 分，则他至少要答对的题量是 () A.14道B.13道C.12道D.11道 5.某足协举办了一次足球比赛，计分规则是胜 1场积3分，平1场积1分，负1场积0分 知识点2工程问题 若甲队比赛了5场，其中负1场，且积分超 3.为了解决雨季时城市内涝的难题，某市决定 过7分，则甲队至少胜了 对部分老街道的地下管网进行改造.在改造 A.1场B.2场 C.3场 D.4场 一段长3600m的街道地下管网时，每天的 知识点4其他问题 施工效率比原计划提高了20%.按这样的进 6.跨生物学学科一般来说，在一条食物链中 度可以比原计划提前10天完成任务 上一营养级的能量只有10%20%能够流 (1)实际施工时，每天改造地下管网的长度 入下一营养级.在“植物→食草动物→食肉 是多少？ 动物”这条食物链中，要使食肉动物增长不 (2)施工进行20天后，为了减少对交通的影 少于5kg,至少需消耗植物 ) 响，施工单位决定再次加快施工进度，以确 A.25 kg B.50 kg C.125 kg D.500 kg 数学七年级RJ版 02提能力之 ……之O3拓思维心 7.跨物理学科已知电灯电路两端的电压U为 10.模型观念为了更好地改善河流水质，保护 220V,通过灯泡的电流强度I的最大限度 环境，某市治污公司决定购买10台污水处 U 不得超过0.11A(欧姆定律I=发.设选用 理设备.现有A,B两种型号的设备，其中 每台的价格、月处理污水量如下表： 灯泡的电阻为R(单位：Ω)，下列说法正确的 A型 B型 是 ( ) 价格/（万元/台） a 6 A.R至少为20002B.R至多为20002 处理污水量/(/月) 220 180 C.R至少为24.22D.R至多为24.22 经调查：购买1台A型设备比购买1台B 8.(2025赣州信丰月考)商店将定价为3元的 型设备多3万元，购买2台A型设备比购 商品以下列方式优惠销售：若一次性购买不 买3台B型设备少3万元. 超过5件，按原价付款；若一次性购买5件 (1)求a,b的值， 以上，超过部分打八折.现有32元钱，最多 (2)该治污公司计划购买污水处理设备的 可以购买 件该商品. 资金不超过100万元.你认为该公司有哪 9.(2025湖北改编)某商店销售A,B两种水 几种购买方案？ 果，A水果标价14元/kg,B水果标价18 (3)在(2)的条件下，若每月要求处理的污 元/kg.妈妈让小明到这家商店买A,B两种 水量不低于1880t,为了节约资金，请你为 水果，要求B水果比A水果多买1kg,合计 治污公司设计一种最省钱的购买方案。 付款不超过50元.设小明买mkgA水果. (1)若这两种水果按标价出售，求m的取值 范围. (2)小明到这家商店后，发现A,B两种水果 有优惠活动：A水果打七五折；一次性购买 B水果不超过1kg不优惠，超过1kg后，超 过1kg的部分打七五折.若小明合计付款 48元，求m的值（注：“打七五折”指按标价 的75%出售). 下册第十一章