第11章 11.1.2 不等式的性质-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

11.1.2 不等式的性质 第1课时不等式的性质 要点提示 1.不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.丛果a>b,那么a士c>b士c 2.不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.处果a>b,c>0,那么ac> c(>) 3.不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，必果a>b,c<0,那么ac< k(< O1固基础 .已知a>1,试说明a>a的正确性 知识点1不等式的性质1 1.若a>b一1，则下列结论一定正确的是 ( A.a+1<6 B.a-1<b C.a>b D.a+1>b 知识点③不等式的性质3 2.若m+2025≤n十2025，则下列各项一定成 7.若-3a>1,两边都除以-3，得 ( 立的是 ( ) A.a<-3 1 A.m≤n B.m≥n Ba>-1 3 C.m+2025≤n D.m≥n+2025 C.a<-3 D.a>-3 3.将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的 8.(2025新余渝水区期末)若不等式(m-2)x>2 形式： 一m的解集为x<一1，则m的取值范围为 (1)5.x>4x+6. () (2)x-2<-1. A.m<2 B.m>2 C.m<-2 D.m>-2 易错点忽略乘（或除以）的数大小 未定 9.若m<n,试比较ma和an的大小. 知识点2不等式的性质2 4.若3x>一3y则下列不等式一定成立的是 A.x+y>0 B.x-y>0 C.x+y<0 D.z-y<0 5.若a<b,则2a十1 2b+1. 60 数学七年级RJ版 。 之02提能力 (3)用(1)的方法，你能否比较3x2一3x+7 与4x2一3x十7的大小？如果能，请写出比 10.(2025新余分宜期末)若a<b,则下列不等 较过程；如果不能，请说明理由. 式一定成立的是 ( A.a-b<0 B.-a<-0 C.a-2>b-2 D.、6 3>3 11.如果a>b,c<0,那么下列不等式成立的 是 ( A.a+c>b+c B.ac>bc C&、6 一> D.c-a>c-b CC … O3拓思维之 12.用三个不等式a>b,ab>0,a<石中的两 15.运算能力阅读下列材料，并解答问题： 个不等式作为题设，余下的一个不等式作 已知x一y=2,且x>1,y<0,试确定x十 为结论组成一个命题，组成真命题的个数 y的取值范围. 为 解：x-y=2,x=y十2. 13.纠错题先阅读下面的解题过程，然后 又x>1,.y+2>1,.y>-1. 解题 又：y<0,∴.-1<y<0.① 已知a>b,试比较-2026a+1与-2026b 同理，1<x<2.② +1的大小 由①+②，得-1+1<x+y<0+2, 解：a>b, .x十y的取值范围是0<x十y<2 .-2026a>-2026b.第一步 (1)已知x一y=3,且x>3,y<2.请按照 上述方法确定x十y的取值范围。 故-2026a+1>-2026b十1.第二步 (1)上述解题过程中，从第 步开 (2)已知x+y=3,且x>2,y>-3.请按 照上述方法确定x一y的取值范围. 始出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解题过程. 14.(1)①如果a-b<0,那么a b; ②如果a一b=0,那么a b: ③如果a-b>0,那么a b. (2)由(1)你能归纳出比较a与b大小的方 法吗？请用语言文字叙述出来。 下册第十一章 57 第2课时不等式性质的应用 要点提示 如何利用不等式的性质解不等式：(1)当不等式两边有分母时，可根据不等式的性质2或性质3，去掉分母： (2)利用不等式的性质1可将含未知数的项移到不等式的左边，将不含未知数的项移到不等式的右边；(3)利用 不等式的性质2或性质3可将未知数的系数化为1，然后求出不等式的解集. O1固基础之 3.设a>0>b>c,且a+b+c=-1.若M= 知识点1利用不等式的性质解不等式 N=去P=,试比较M,N,P a 1.不等式2x+1>3的解集在数轴上表示正确 的大小. 的是 -1012 -1012 A B -2101一 -2-101 C D 2.(教材变式)利用不等式的性质解下列不等 式，并在数轴上表示解集： (1)x-5>4. 知识点2不等式性质的实际应用 4.一袋牛奶的包装盒上标重(200士2)g,则这 袋牛奶的实际重量x(单位：g)满足() A.x=200g B.x=202g (2>-2 C.x=202g或198gD.198g≤x≤202g 5.甲、乙两地相距90km,小李要从甲地到乙地 办事.若他以15km/h的速度骑自行车前往 可按时到达，现在小李骑了3h后因有事停 留了0.5h,为了不迟到，小李后来的速度至 (3)2x+3≤x. 少是多少？ (4)-4x+12<0. 数学七年级RJ版 。 之O2提能力之 ……之O3拓思维 6.(2025吉林昌邑区期末)在隧道 11.(2025赣州信丰月考)某手机专卖店销售 或桥洞前都有限高标志，如图所 4.5m A,B两种型号的手机，上周销售1部A型 示的限高标志表示通过的车辆 手机、3部B型手机，销售额为8400元.本 第6题图 高度x(单位：m)不超过4.5m. 周销售2部A型手机、1部B型手机，销售 x的取值范围在数轴上可表示为 ( 额为5800元. 012345 一01广2345 (1)A型手机和B型手机的销售单价分别 A B 是多少元？ (2)如果某单位拟向该店购买A,B两种型 012345 01234 号的手机共6部（两种型号的手机都买）， C D 发给职工联系业务，且购手机费用不超过 7.关于x的不等式一2x十a≥2的解集如图所 11600元，有哪几种购买方案？ 示，则a的值是 (3)在(2)中哪种方案费用更省？最少费用 是多少？ -2-101 第7题图 A.0 B.2 C.-2 D.4 8.(教材变式）一罐饮料净重约500g,罐上注 有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋 白质的含量至少为 g 9.已知关于x的不等式(a+1)x>1可化为x< a+则11-a-1a-21= 1 10.某人分两次在市场上买了同一种货物，第 一次买了3件，平均每件价格为a元，第二 次买了2件，平均每件价格为b元.后来他 以每件“元的价格全部卖出，结果发现 自己亏钱了.请用不等式的性质解释亏钱 的原因. 下册第十一章第十一章不等式与不等式组 11.1不等式 11.1.1不等式及其解集 1.C2.B3.C4.34℃≤t≤36℃ 5.D6.1.5-3,-2.57.B8.A 9.解：不正确.理由如下： 满足x<3的数只是不等式x十2<6的部分解，如x =3.1,x=3.2也是不等式x+2<6的解，但它们不满 足x<3,.这句话不正确 10.C 11.B【解析】A.小于5的所有整数都是不等式x<5的 整数解，.不等式x<5的整数解有无数个，故A说 法正确，但不符合题意；B.不等式x>-5的非负整 数解有0和所有正整数，.不等式x>一5的非负整 数解有无数个，故B说法错误，符合题意；C.不等式 2x<8的解集是x<4,故C说法正确，但不符合题 意；D.当x=一40时，2x=-80,-80<-8,∴.-40 是不等式2x<一8的一个解，故D说法正确，但不符 合题意. 12.(1)4x-3>0(2)ab<7(3)a2+b2>10 13.解：①如图①；：②如图②；③如图③；④如图④. 432101234方432101234方 图① 图② 5-4-3-2-101234554-3-2-1012345 图③ 图④ 14.解：根据题意，得(40+10)x>(1+12%)×(15×10+ 12.5×40).把x=14代入不等式，左边=700，右边= 728,左边<右边，即x=14时不等式不成立. 15.解：(1).-3-1|=4,15-0|=5,4<5， ∴.点P与点Q的“近似距离”为5. (2)①，B为x轴上的动点， ∴.设点B的坐标为(x,0). :A,B两点的“近似距离”为4，一2-0|=2<4， ∴.0一x=4,解得x=4或x=一4， .点B的坐标是(4,0)或（一4,0） ②2 【解析】(2)②设点B的坐标为(x,0). 点A的坐标为(0，一2)， .|-2-0=2,|0-x=x1. 若|一2一0|≤|0一x|,则A,B两点的“近似距离”为 x≥2： 若|一2一0>0一x|,则A,B两点的“近似距离”为 |-2-0=2. 故点A与点B的“近似距离”的最小值为2. 11.1.2不等式的性质 第1课时不等式的性质 1.D 2.A【解析】，m+2025≤n+2025,∴.m≤n,故A选项 符合题意. 3.解：(1)两边同时减去4x,得5x一4x>4x+6一4x, .x>6. (2)两边同时加上2，得x一2十2<一1十2，.x<1. 4.A5.< 6.解：a>1, ∴.a+a>1+a,即2a>a+1, a十1 ∴.a> 2 7.A8.A 9.解：分情况讨论： ①当a=0时，ma=an; ②当a>0时，.m<n,.ma<an; ③当a<0时，，m<n,∴.ma>an. 综上，当a=0时，ma=an;当a>0时，ma<an;当a< 0时，ma>an 10.A 11.A【解析】.a>b,∴.a十c>b十c,故A选项符合题 意；：a>b,c<0,ac<bc,故B选项不符合题意； 5a>6<0六兰<名放C选项不符合题意： >b,.-a<-b,.-a十c<-b十c,即c-a<c b,故D选项不符合题意 【解析】@"若a>b,ab>0,则。<方”是真 理由如下：“a>b,ab>0g>6.1<1 ab aba 0<则@>b”是真命题，理由如下： ②“若ab>0, 1<b<6 1 ab…a ·ab,∴.a>b. ③“若a>b,。<6,则ab>0”是真命题，理由如下 方。-言即需c0≥66=d <0,∴.ab>0. 综上，组成真命题的个数为3. 13.解：(1)一不等式两边乘同一个负数，不等号的方向 没有改变 (2).a>b,.-2026a<-2026b.故-2026a+1< -2026b+1. 14.解：(1)①<②=③> (2)如果a减b的差大于0，那么a大于b;如果a减b 下册参考答案 21 的差等于0，那么a等于b;如果a减b的差小于0，那 么a小于b. (3)能.过程如下： (3x2-3x+7)-(4x2-3x+7)=3x2-3x+7- 4x2+3.x-7=-x2,而-x2≤0， ∴.3x2-3x+7≤4x2-3x+7. 15.解：(1)x-y=3,∴.x=y+3. x>3,∴y+3>3,y>0. y<2,0<y<2.① 同理，3<x<5.② 由①+②，得0+3<x+y<2+5, .x十y的取值范围是3<x十y<7, (2)x十y=3, ∴.x=-y+3. x>2, .-y+3>2,∴y<1. y>-3,.-3<y<1 .-1<-y<3.① 同理，2<x<6.② 由①+②，得-1+2<x-y<3+6, ∴x-y的取值范围是1<x一y<9. 第2课时不等式性质的应用 1.B【解析】不等式2x十1>3的两边都减1，得2x>2. 不等式2x>2的两边都除以2，得x>1,故B选项符合 题意 2.解：(1)不等式两边都加上5，得x>9.在数轴上表示不 等式的解集如图， 012345678910 (2)不等式两边都乘5，得x≥一10.在数轴上表示不等 式的解集如图 -10-9-8-7-6-5-4-3-2-10 (3)不等式两边都减去x,得x+3≤0. 不等式两边都减去3，得x≤一3.在数轴上表示不等式 的解集如图。 -8-76-5-43-2-012一 (4)不等式两边都减去12，得一4x<一12. 不等式两边都除以一4，得x>3.在数轴上表示不等式 的解集如图。 -4-3-2-101234 3.解：.a十b+c=-1, .b+c=-1-a, M=-1-a=-1-1 22 数学七年级RJ版 1 1 同理可得N=-1-方，P=-1一 又.a>0>b>c, :1>0>1>1 -1-1<-1-1-<-1- 1 a c 即M<P<N 4.D 5.解：设小李后来的速度为xkm/h. /90 由题意，得3×15+(15-3-0.5)x≥90， 即45+2.5x≥90. 不等式两边都减去45，得2.5x≥45. 不等式两边都除以2.5，得x≥18. 故为了不迟到，小李后来的速度至少是18km/h. 6.D7.A 8.2【解析】设这罐饮料中蛋白质的含量为xg. 依题意，得0×10%≥0.4%。 不等式两边同时乘500，得x≥2。 故这罐饮料中蛋白质的含量至少为2g. 9.-1【解析】由题意，得a十1<0 .a<-1,.1-a>0,a-2<0, .|1-a|-1a-2|=1-a-(2-a)=-1. 10.解：由题意知，买5件货物的平均价格为3a+2b 元 5 :以每件“士元的价格全部实出，结果亏钱了。 .3at2b atb 5 2,利用不等式的性质变形，得a>6. 故亏钱的原因为第一次比第二次购买的货物的平均 价格更高· 11.解：(1)设A型手机的销售单价为x元，B型手机的 销售单价为y元. 根据题意，得亿十3)y=8400 解得/1800， (2x+y=5800, y=2200. 答：A型手机的销售单价为1800元，B型手机的销 售单价为2200元. (2)设购买A型手机a部，则购买B型手机(6一 a)部. 根据题意，得1800a+2200(6一a)≤11600， 解得a≥4. ,a为整数，两种型号的手机都买， ∴.6-a>0,解得a<6, .a=4或5， 有两种购买方案，方案①为购买A型手机4部，购 买B型手机2部；方案②为购买A型手机5部，购买 B型手机1部. (3)按方案①购买所需费用为1800×4十2200×2= 11600(元)： 按方案②购买所需费用为1800×5+2200=11200 (元). .11600>11200 ∴.按方案②购买费用更省，最少费用是11200元. 11.2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 1.D2.-2 3.2x<-2(答案不唯一) 4.B【解析】.4x十5≤15， .4x≤10，.x≤2.5， .该不等式的正整数解有1,2，共2个. 5.解：去分母，得3x一5>6x, 移项，得3x一6x>5, 合并同类项，得-3x>5, 5 系数化为1得x<一3 该不等式的解集在数轴上表示如图所示. 65432时10十 3 6.解：(1)不等式的性质2 (2)⑤系数化为1时，不等式两边除以同一个负数， 忘记改变不等号的方向 (3)x≥1 543-2-102345 /2x-y=m+1,① 7.C【解析】 (x+y=2.② 由①-②，得x-2y=m-1. x-2y>1, .∴.m-1>1, 解得m>2. 8.0(答案不唯一)【解析】不等式移项、合并同类项，得 2x≤1-m, 系数化为1，得x≤2一2m. :不等式m一2≤1一x有正数解， .2-2m>0,解得m<1, ∴.m的值可以是0. 9.解：去分母，得3(2x一3)<x+1, 去括号，得6x一9<x十1， 移项、合并同类项，得5.x<10, 系数化为1，得x<2. 故原不等式的解集为x<2,在数轴上表示如图. -4-3-2-1012345 10.解：3★x<13, .∴.3(3+x)-1<13, ..9+3.x-1<13, .3.x<5, 5 :x∠3 1部曲题意得牛24≥行号 3 6 去分母，得4(x+1)-3(2x-1)≥2(x-3), 去括号，得4x+4-6x十3≥2x-6, 移项、合并同类项，得-4x≥-13， 13 系数化为1，得x≤4 故当：取正整数1或2政8时式子士2的 值不小于式子。的位 12.解：(1)x>3 (2)解不等式3(x一1)>2x-m,得x>3-m. ,x>一6是3(x一1)>2x-m的“蕴含不等式”， .3-m≤-6，解得m≥9. 故m的取值范围是m≥9. (3)是.理由如下： 根据题意，得一2n十4≤2，解得n≥1， .一n十3≤2，.x<-n十3是x<2的“蕴含不等式” 第2课时一元一次不等式的应用 1.八八 2.解：设x个月后能赚回这台机器的成本 依题意，得(8-5-8×10%)×2000x≥22000， 解得x≥5. 故至少5个月后能赚回这台机器的成本. 3.解：(1)设原计划每天改造地下管网xm,则实际施工 时每天改造地下管网(1十20%)xm. 由题意，得10(1+20%)x=3600×20%, 解得x=60. 60×(1+20%)=72(m) 故实际施工时，每天改造地下管网的长度是72m. (2)设之后每天改造地下管网mm. 由题意，得(40-20)m≥3600-72×20， 解得m≥108. 故之后每天至少需要改造地下管网108m. 4.C 5.B【解析】设甲队胜了x场，则平了5-1一x=(4- x)场.由题意可得3x十1X(4一x)十0×1>7，解得x 下册参考答案 23