专题训练12 线段垂直平分线与角平分线的应用&专题训练13 等腰三角形的“三线合一”-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

专题训练十二 线段垂直平分线与角平分线的应用 (限时：45分钟) 类型1利用线段垂直平分线的性质求线段 类型2利用线段垂直平分线的性质求角的 的长 度数 1.如图，在△ABC中，直线EF是AB的垂直 4.如下图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC 平分线，与AB交于点D,BF=6,CF=2, 边上的中线，AC的垂直平分线分别交AC, 则AC的长度为 AD,AB于点E,O,F,连接OB,OC. A.6 B.7 C.8 D.9 (1)试说明：BO=AO. (2)若∠CAD=25°，求∠BOF的度数. C 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平 分线，分别与AB,BC边交于D,E两点，连 接CD,FG是边AC的垂直平分线，分别与 CD,AC边交于F,G两点，连接AF.若 △ADF的周长是13，AD=4,则BD的长 是 3.(2025张掖月考)如下图，在△ABC中，AB =AC,点D在BC上，且点D在AC的垂直 平分线上，连接AD, (1)若AB=10,BC=12,求△ABD的周长， (2)分别过点A,C作AH⊥BC于点H,CM ⊥AD于点M.若DM=2,CD=8,求BD 的长 5.如图，点P关于OA,OB的对称点分别为 C,D,连接CD,交OA于点M,交OB于点 N,连接PM,PN. D H 0 图① 图② (1)如图①，若CD的长为18cm,求△PMN 的周长， (2)若∠C=21°，∠D=28°，求∠MPN的 度数 102 数学七年级BS版 (3)如图②，连接OC,OD.若∠AOB=40°， 类型(4利用角平分线的性质说明线段的数 则∠OCD的度数是 量关系 8.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B =60°，AD,CE是△ABC的角平分线，AD 与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂 足分别是M,N.试说明：DF=EF 类型3利用角平分线的性质解决面积问题 6.如图，在△ABC中，CD是 AB边上的高，BE平分 DA ∠ABC,交CD于点E.若 BC=8,DE=2,则△BCE第6题图 的面积是 7.如下图，直线AD∥BE,AD,BE被直线AB 所截，∠BAD和∠ABE的平分线相交于 点C. (1)试说明：AC⊥BC. (2)若AB=8,AD与BE间的距离为6，求 类型5利用线段垂直平分线和角平分线的 △ABC的面积. 性质解决实际问题 D 9.应用意识如下图，直线a,b分别代表铁路 和公路，点M,N分别代表蔬菜和杂货批发 市场.现要建中转站点O,使点O到铁路、公 路距离相等，且到两批发市场距离也相等. 请用尺规画出点O位置（保留画图痕迹，不 写画法). h 下册专题训练 103 专题训练十三 等腰三角形的“三线合一” (限时：30分钟) 类型1求角的度数 类型3说明线段或角相等 1.(2025太原月考)补全过程或依据： 3.(2025合肥期末)在Rt△ABC中，∠ACB= 如下图，在△ABC中，AB=AC,D为BC边 90°，AC=BC,D是AB的中点，E是线段 的中点，E为AD上一点，连接CE,使得CE AD上一点，BF⊥CE于点F,BF交CD于 =AE.若∠B=55°，求∠ECD的度数 点G. 解：因为在△ABC中，AB=AC, 所以∠ =∠B=55°（等腰三角 形两底角相等). 因为D为BC边的中点， 图② 所以AD⊥BC( 图① (1)如图①，试说明： ①∠ACE=∠CBG; 所以∠ADC=90°， 所以∠CAD=90°-∠ACB= ②AE=CG. 因为AE=CE, (2)如图②，过点A作AH⊥CE交CE的延 所以∠ =∠CAD= , 长线于点H,AH的延长线交CD的延长线 所以∠ECD=∠ACB-∠ACE 于点M.请在图中找出与BE相等的线段， 并说明理由。 类型2说明角的倍分问题 2.如下图，在△ABC中，AB=BC,DE⊥AB 于点E,FD⊥BC于点D,交AC于点F. (1)若∠AFD=155°，求∠EDF的度数. (2)若F是AC的中点，试说 明：∠CFD=2∠B. 104 数学七年级BS版综上所述，∠BFC的度数为135°-a或90+7a 1 或180°-a. 专题训练十二线段垂直平分线 与角平分线的应用 1.C2.9 3.解：(1)因为点D在AC的垂直平分线上， 所以AD=CD, 所以△ABD的周长为AB+BD+AD=AB十BC= 10+12=22. (2)因为AH⊥BC,CM⊥AD 所以∠AHD=∠CMD=90°. 又因为∠ADH=∠CDM,AD=CD, 所以△DHA≌△DMC(AAS), 所以AH=CM,DH=DM=2, 所以CH=CD一DH=6. 因为AB=AC,AH⊥BC, 所以BH=CH=6, 所以BD=BH一DH=6-2=4. 4.解：(1)因为AB=AC,AD是BC边上的中线， 所以AD⊥BC,所以AD是BC的垂直平分线， 所以BO=CO. 因为OE是AC的垂直平分线，所以AO=CO, 所以BO=AO. (2)因为AB=AC,AD是BC边上的中线， 所以AD平分∠BAC. 因为∠CAD=25°，所以∠BAD=∠CAD=25°， 所以∠BAC=50°. 因为OE⊥AC,所以∠AEF=90°， 所以∠EFA=90°-50°=40°， 所以∠BFO=180°-∠EFA=140°. 因为AO=BO,所以∠OBA=∠BAD=25°， 所以∠BOF=180°-∠BFO-∠OBA=15° 5.解：(1)因为点P关于OA,OB的对称点分别为C,D, 所以OA,OB分别垂直平分PC,PD, 所以PM=CM,ND=NP. 因为CD=18cm, 所以PM+MN+PN=CM+MN+ND=CD= 18cm, 所以△PMN的周长为18cm. (2)由(1)知，CM=PM,PN=DN, 所以∠C=∠MPC,∠D=∠NPD. 在△CDP中，∠CPD=180°-∠C-∠D. 又因为∠MPN=∠CPD-∠MPC-∠NPD 所以∠MPN=180°-2（∠C+∠D)=180°-2×(21° +28)=82 (3)50°【解析】(3)如图，连接OP. 因为OA垂直平分PC,OB垂直平分PD, 易得∠COA=∠POA,∠POB=∠DOB,OC=OP, OD=OP,所以OD=OC,所以 ∠OCD=∠ODC. 因为∠AOB=40°， 所以∠POA+∠POB=40°， 所以∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=40°+40° =80°， 所以∠COD=80° 因为∠OCD=∠ODC, 所以∠0D=7×(1s0-∠c0D)=号×180- 1 80°)=50° 6.8 7.解：(1)如图.因为AC平分∠DAB,BC平分∠ABE, 所以∠1=∠2，∠3=∠4. 因为AD∥BE, 所以∠DAB+∠ABE=180°， 所以2（∠2+∠4）=180°， 所以∠2+∠4=90°，即∠ACB=90°， 所以AC⊥BC. (2)如图，过点C分别作CF⊥AB 于点F,CMLAD于点M,并延 长MC交BE于点N. 因为AD∥BE,所以CN⊥BE, 因为∠1=∠2，所以CM=CF, 同理可得，CN=CF.因为CM+CN=6, 所以CF=CM=CN=3, 所以Sa=号AB.CF=2×8X3=12 8.解：连接BF,如图. 因为F是△ABC的角平分线交点， 所以BF也是△ABC的角平分线. 因为FM⊥AB,FN⊥BC, 所以MF=NF,∠CNF=∠DNF=∠EMF= ∠BMF=90°. 因为在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°， 所以∠BAC=30°. 因为AD,CE分别是∠BAC,∠ACB的平分线， 所以∠DAC=方∠BAC=15,∠NCF=专∠ACB =45°， 所以∠NDF=90°-∠DAC=75°，∠NFC=90°- ∠NCF=45. 又因为∠MFN=360°-∠DNF-∠ABC-∠BMF =120°， 所以∠MFE=180°-∠NFC-∠MFN=15°， 所以∠MEF=90°-∠MFE=75°=∠NDF. I∠DNF=∠EMF, 在△DNF和△EMF中，∠NDF=∠MEF, NF=MF. 所以△DNF≌△EMF(AAS),所以DF=EF. 下册参考答案 37 9.解：如图，点O或点O即为所求 0' 专题训练十三 等腰三角形的“三线合一” 1.解：ACB三线合一定理35ACE3520 2.解：(1)因为∠AFD=155°，所以∠DFC=25° 因为FD⊥BC,DE⊥AB, 所以∠FDC=∠AED=90°， 所以∠C=90°-25°=65°. 因为AB=BC,所以∠A=∠C=65°， 所以∠EDF=360°-65°-155°-90°=50° (2)如图，连接BF」 因为AB=BC,且F是AC的中点， 所以BF⊥AC,∠ABF=∠CBF= 2∠ABC 所以∠BFC=∠CFD+∠BFD=90°，∠CBF+ ∠BFD=180°-90°=90°， 所以∠CFD=∠CBF,所以∠CFD=2∠ABC. 3.解：(1)①因为D是AB的中点，AC=BC,∠ACB =90°. 所以CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD= ∠CBD=45°， 所以∠CAE=∠BCG 又因为BF⊥CE, 所以∠CBG+∠BCF=90°. 又因为∠ACE+∠BCF=90°， 所以∠ACE=∠CBG. ②由①知∠CAE=∠BCG,∠ACE=∠CBG. I∠CAE=∠BCG, 在△AEC和△CGB中，AC=CB, ∠ACE=∠CBG, 所以△AEC≌△CGB(ASA), 所以AE=CG. (2)BE=CM.理由如下： 因为CH⊥HM,CD⊥AB, 所以∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH =90°， 所以∠CMA=∠BEC. 又因为∠ACM=∠CBE=45°，AC=CB, 所以△BCE≌△CAM(AAS), 所以BE=CM. 38 数学七年级BS版 周周练 周周练一1.1~1.2 1.B2.D3.D4.A5.D 6.B【解析】(x+2y)(x2-2xy十4y2)=x3+8y3,故 A,C选项变形错误； (x十3)(x2一3x十9)=x3十27，故B选项变形正确； (a十1)(a2-a十1)=a3十1，故D选项变形错误. 7.25a5b4 8.59.510.5 2 11.4【解析】因为x-y=-3,xy=2, 所以(x+2)(y-2) =xy-2x+2y-4 =xy-2(x-y)-4 =2-2×(-3)-4 =2+6-4 =4. 12.5b【解析】图②中阴影部分的面积S1=n(m一a)十 (a-b)(n-a), 图③中阴影部分的面积S2=m(n一a)十(a一b)(m -a), 所以S,-S2=n(m-a)+(a-b)(n-a)-[m(n- a)+(a-b)(m-a)] =mn-an+an-a2-bn +ab-mn +am-am +a2 +bm-ab =bm-bn =b(m-n) =5b. 13.解：(1)原式=a2. (2)原式=1-27=-26. (3)原式=2ab·9a2b2=18a3b3. (4)原式=2x2-3xy+2xy-3y2=2x2-xy-3y2. 14.解：原式=2x3-2x2+2x-2x3-2x2+3x =-4x2十5x 当x=1时，原式=-4+5=1. 15.解：因为81=3,9”×27-1÷33m+1=(32)×(33)- ÷33m+1=32mX33m-3÷33m+1=32m+3n-3-3m-1=32m-4, 所以2n-4=4, 解得n=4. 16.解：(1)22④23=22x3+22+3=26+25=64十32=96. (2)当2P=3,29=4,39=9时， 2⊙29=2m十20+9=(2)+2PX24=39十3X4=9 +12=21. 17.解：(1)(6a2+13ab+6b2) (2)因为(a-3)2+|b-21=0, 所以a-3=0,b-2=0, 解得a=3,b=2, 所以S=6a2+13ab+6b2=6×32+13×3X2+6× 22=54+78+24=156(m2). (3)市民活动区域的面积为 (4a+3b)(3a+4b)-(6a2+13ab+6b2)