专题训练10 构造全等三角形的常用方法&专题训练11 等腰三角形中的分类讨论-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

专题训练十 构造全 (限时： 类型〈1利用“补形法”构造全等三角形 1.如右图，在△ABC中，∠BCA =90°，AC=BC,AE平分 ∠BAC,AE交BC于点D, BE⊥AE.试说明：BE= AD. 类型2利用“倍长中线法”构造全等三角形 2.(2025吉安月考)【发现问题】 数学活动课上，马老师提出了如下问题：如 图①，在△ABC中，AB=8,AC=6.AD是 △ABC的中线，求AD的取值范围. 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了 如下的解决方法：(1)如图①，①延长AD到 点E,使得DE=AD;②连接BE,通过三角 形全等把AB,AC,2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值 范围为AB一BE<AE<AB+BE,从而得 到AD的取值范围是 【问题解决】 (2)如图②，AD是△ABC的中线，AE是 等三角形的常用方法 30分钟) △ADC的中线，∠CAD=∠CDA.下列四 个选项中，正确的是 (填序号). ①∠CAE=∠DAE;②AB=2AE;③AE= AD:④∠DAE=∠DAB. 【问题拓展】 (3)如图③，OA=OB,OC=OD,∠AOB与 ∠COD互补，连接AC,BD,E是AC的中 点.试说明：OE=2BD. 图 图② 图③ 类型3利用“截长补短法”构造全等三角形 3.如图，在△ABC中，∠A=60°， ∠ABD=∠CBD,∠ACE= 、0 ∠BCE,CE与BD交于点O. BE,CD,BC之间的数量关系 B 第3题图 为 下册专题训练 专题训练十一 等腰三 (限时：45 类型〈1腰和底不确定 1.（2025益阳期中)等腰三角形的周长为26， 一边为11，则腰长为 ( A.11 B.7.5 C.11或7.5 D.以上都不对 类型2高不确定在内部或外部 2.已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰 的夹角为50°，求该三角形的底角的度数， 类型(3动点引起的不确定 3.在等边三角形ABC中，E是∠B的平分线 上一点，∠AEB=105°，点P在△ABC的边 上，使得AE=EP,则∠AEP的度数是 4.(2025郑州期中)综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角 形为背景，探究线段之间的关系. 问题情境： 已知，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 100 数学七年级BS版 角形中的分类讨论 分钟) 90°，∠B=∠ACB=45°，点D是直线BC上 的一个动点，连接AD,在直线AD的右侧 作∠DAE=90°，且AE=AD,连接DE, ∠ADE=∠AED=45°，连接CE. D C 图① 图② 备用图 实践探究： (1)图①是“智慧小组”在探究过程中画出的 图形，此时点D在线段BC上.请直接写出 线段BD与CE的数量关系与位置关系： ① ,② (2)图②是“善思小组”在探究过程中画出的 图形，此时点D在线段BC的延长线上.请 判断(1)中的结论是否成立，并说明理由. 拓展应用： (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新 的问题：点D在射线BC上运动的过程中， 如果BC=6,CD=4,请直接写出线段CE 的长. 类型(4与中线有关的讨论 5.等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把 这个三角形的周长分为两部分，其差为 4cm,则该等腰三角形的腰长为 cm. 6.如下图，在等腰三角形ABC中，AB=AC, AC边上的中线BD把△ABC的周长分为 15和17两部分. (1)求AB和BC的长. (2)若AB<BC,且点D到BC边的距离为 4,求点D到AB边的距离. 类型(5顶角和底角不确定 7.已知△ABC为等腰三角形 (1)若∠A=70°，求∠B的度数. (2)若∠A=a(45°<a<90),∠ABC的平 分线BD与边AB的高CE交于点F,与边 AC交于点D,求∠BFC的度数（用含a的 式子表示) 下册专题训练 101所以△ADC≌△CEB(AAS)、 所以CD=BE,AD=CE 因为DE=CD+CE, 所以DE=AD十BE 6.解：(1)∠BAD=2∠EAF (2)(1)中的结论仍然成立.理由如下： 如图①所示，延长CD到点H,使得 DH=BE 因为∠ADC+∠ADH=180°，∠B+ ∠ADC=180°， 所以∠B=∠ADH. 在△ABE和△ADH中， 图① AB=AD, ∠B=∠ADH BE=DH, 所以△ABE≌△ADH(SAS), 所以AE=AH,∠BAE=∠DAH, 所以FH=DF+DH=BE+DF. 因为EF=BE十DF, 所以FH=FE 在△AEF和△AHF中， (AE=AH, AF=AF, FE=FH. 所以△AEF≌△AHF(SSS), 所以∠EAF=∠HAF=∠HAD+∠DAF=∠BAE +∠DAF, 所以∠BAD=2∠EAF 【解析】1)如图②所示，延长CD到点G,使得DG= BE,连接AG. 因为∠ADC=90°， 所以∠ADG=90°=∠B. 在△ABE和△ADG中， (AB=AD. ∠B=∠ADG BE=DG. 图② 所以△ABE≌△ADG(SAS), 所以∠BAE=∠DAG,AE=AG 因为EF=BE+DF,FG=DF+DG, 所以EF=GF. 在△AEF和△AGF中， (AE=AG, AF=AF, EF=GF. 所以△AEF≌△AGF(SSS), 所以∠EAF=∠GAF. 因为∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF, 所以∠BAD=2∠EAF. 专题训练十构造全等三角形的常用方法 1.解：如图，延长AC交BE的延长线于点F. 因为AE平分∠BAC,BE⊥AE, 34 数学七年级BS版 所以∠1=∠2，∠AEB=∠AEF =90°. 在△ABE和△AFE中， ∠1=∠2， RAE-AE. ∠AEB=∠AEF, 所以△ABE≌△AFE(ASA), 所以BE=FE=2BF, 因为∠BCA=∠BCF=∠AEB=90°，∠ADC= ∠EDB, 所以∠2+∠ADC=∠3+∠EDB=90°， 所以∠2=∠3. 在△ACD和△BCF中， ∠2=∠3， RAC=BC. ∠ACD=∠BCF, 所以△ACD≌△BCF(ASA), 所以AD=BF, 所以BE=号AD. 2.解：(1)1<AD<7 (2)②④ (3)如图①，延长OE至点H,使EH=OE,连接CH 因为E是AC的中点， 所以AE=CE. 又因为OE=EH,∠AEO =∠CEH, 所以△AEO≌△CEH(SAS), 图① 所以AO=CH,∠A=∠HCA, 所以AO∥CH, 所以∠AOC+∠HCO=180°. 因为∠AOB与∠COD互补， 所以∠AOC+∠BOD=180°， 所以∠BOD=∠OCH. 又因为CH=OA=OB,OC=OD, 所以△BOD≌△HCO(SAS), 所以BD=HO, 所以OE=BD. 【解析】1)在△ADC和△EDB中， (DA=DE ∠ADC=∠EDB, DC=DB, 所以△ADC≌△EDB(SAS), 所以AC=EB=6. 因为AB=8,AB-BE<AE<AB+BE, 所以8-6<AE<8+6, 所以2<2AD<14, 所以1<AD<7. (2)如图②，延长AE至点H,使EH=AE,连接DH 因为AE是中线， 所以DE=EC. 又因为∠AEC=∠HED,AE=HE, 所以△AEC≌△HED(SAS), 所以AC=HD,∠ACE=∠HDE. 因为∠CAD=∠CDA, 图② 所以AC=DC. 因为∠ADB=180°-∠ADC=∠DAC+∠ACD, ∠ADH=∠ADC+∠CDH, 所以∠ADB=∠ADH. 因为AD为中线， 所以BD=CD, 所以BD=DC=AC=DH. 又因为AD=AD, 所以△ADB≌△ADH(SAS), 所以AB=AH,∠DAB=∠DAE, 所以AB=2AE, 所以正确选项的序号是②④， 3.BC=BE+CD【解析】如图，在BC 上截取BF=BE,连接OF. 在△EBO和△FBO中， (BE=BF, ∠EBO=∠FBO, BO=BO. 所以△EBO≌△FBO(SAS), 所以∠EOB=∠FOB, 因为∠A=60°，∠ABD=∠CBD,∠ACE=∠BCE, 所以∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180° 1 —∠A3A318○。 2(180°-∠A) =120°， 所以∠DOC=∠EOB=180°-∠BOC=60°， 所以∠FOB=60°，所以∠FOC=60°， 所以∠FOC=∠DOC. ∠DCO=∠FCO, 在△DCO和△FCO中，OC=OC, ∠DOC=∠FOC. 所以△DCO≌△FCO(ASA),所以CD=CF, 所以BC=BF+CF=BE+CD. 专题训练十一等腰三角形中的分类讨论 1.C 2.解：①当三角形的高在内部时，如图①. 因为△ABC是等腰三角形，∠ADB=90°，∠ABD =50°， 所以在Rt△ABD中，∠A=90°-50°=40°， 所以∠C=∠ABC=180°-40° 2 =70°： 图① 图② ②当三角形的高在外部时，如图②. 因为△ABC是等腰三角形，∠ADB=90°，∠ABD =50°， 所以在Rt△ABD中，∠BAD=90°-50°=40°. 又因为∠BAD=180°-∠BAC=180°-(180° ∠ABC-∠C)=∠ABC+∠C,∠ABC=∠C, 所以∠C=∠ABC=2∠BAD=号×40=20 综上所述，该三角形的底角为70或20° 3.90°或150°或120°【解析】因为△ABC是等边三 角形， 所以∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°. 因为BE平分∠ABC, 所以∠ABE=∠CBE=2×60=380 因为∠AEB=105°， 所以∠BAE=180°-30°-105°=45°， 所以∠EAD=60°-45°=15°. ①如图，当点P在AB边上时，AE =EP. 所以∠BAE=∠APE=45°， 所以∠AEP=180°-45°-45°B4 C(P) =90°： ②当点P,与点C重合时，如图. 因为BD平分∠ABC,所以BD垂直平分AC, 所以AE=CE, 所以∠EAD=∠ECD=15°， 所以∠AEP,=∠AEC=180°-15°-15°=150°： ③如图，当点P2在边BC上时，AE=EP2. 因为AE=CE,所以CE=EP2, 所以∠EP,C=∠ECP,=60°-15°=45°， 所以∠CEP2=180°-45°-45°=90°， 所以∠AEP2=360°-150°-90°=120°. 综上所述，∠AEP的度数是90°或150°或120°. 4.解：(1)①BD=CE②BD⊥CE (2)(1)中的结论成立.理由： 因为∠BAC=∠DAE=90°， 所以∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 所以△ABD≌△ACE(SAS), 所以BD=CE,∠B=∠ACE=45°， 所以∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 所以BD⊥CE. (3)线段CE的长为2或10.【解析】(3)①当点D在 线段BC上时，如图①. 图① 下册参考答案 由(1)得BD=CE. 因为BD=BC-CD=6-4=2, 所以CE=2; ②当点D在BC的延长线上时，如图②. 图② 由(2)得BD=CE. 因为BD=BC+CD=6+4=10, 所以CE=10. 综上所述，线段CE的长为2或10. 5.9【解析】设等腰三角形的腰长为2xcm. 由题意，得(2x+x)一(5十x)=4或(5十x)一(2x十 x)=4, 9 解得x=2或x=2,所以2x=9或1. 当三角形的三边长分别为9cm,9cm,5cm时，符合三 角形的三边关系： 当三角形的三边长分别为1cm,1cm,5cm时，不符合 三角形的三边关系 故该等腰三角形的腰长为9cm 6.解：(1)因为BD是AC边上的中线，AB=AC, 所以AD=CD=2AC=号AB, ①当AB+AD=15时， 1 即AB+2AB=15, 解得AB=10,所以AC=AB=10, 所以BC=17-2AC=17-2×10=12, 因为12,10,10能构成三角形， 所以AB的长为10，BC的长为12： ②当AB+AD=17时， 即AB+分AB=17。 解得AB三3，所以AC=AB=34 3 所以C=15-号4C=15-7×- 1 因为器兰号能构成三角形。 所以AB的长为，BC的长为餐 34 综上所述，AB的长为10，BC的长为12或AB的长 为兰，BC的长为号 28 (2)因为AB<BC, 所以AB=10,BC=12. 因为BD是AC边上的中线， 36 数学七年级BS版 所以S△ABD=S△BCD· 设点D到AB边的距离为d. 因为点D到BC边的距离为4， 所以号AB·d=×4BC, 1 即2×10·d=2×12x4 解得d=5 24 所以点D到AB边的距离是与 7.解：(1)若∠A为顶角，则∠B=(180°一∠A)÷2 =55°； 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×70 =40°： 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=∠A=70°. 综上所述，∠B的度数为55°或40°或70. (2)因为∠A=a(45°<a<90),所以△ABC一定为 锐角三角形. ①当∠A为顶角时，如图①. 因为AB=AC, 所以∠ABC=∠ACB=2(180°-a). 因为BD平分∠ABC, 图① 所以∠ABD=∠CBD=∠ABC=180-a 所以∠BFC=180°-∠BFE=180°-(180°-∠FEB -∠FBE)=∠FEB+∠FBE=90+71s0-。） 1s5-7: ②当∠A和∠ABC均为底角时，如图②. 因为AC=BC,所以∠A=∠ABC=a. 因为BD平分∠ABC, 1 所以∠ABD=∠CBD三)∠ABC=2Q 所以∠BFC=180°-∠BFE=180°-(180°-∠FEB -∠FBE)=∠FEB+∠FBE=90O°+ 29 图② 图③ ③当∠A为底角，∠ABC为顶角时，如图③. 因为AB=BC,BD平分∠ABC, 所以∠ABD=2∠ABC=号×180°-2a)=90°-a. 因为CE⊥AB,所以∠FEB=90°， 所以∠BFC=180°-∠BFE=180°-(180°-∠ABD -∠FEB)=∠ABD+∠FEB=180°-a. 综上所述，∠BFC的度数为135°-a或90+7a 1 或180°-a. 专题训练十二线段垂直平分线 与角平分线的应用 1.C2.9 3.解：(1)因为点D在AC的垂直平分线上， 所以AD=CD, 所以△ABD的周长为AB+BD+AD=AB十BC= 10+12=22. (2)因为AH⊥BC,CM⊥AD 所以∠AHD=∠CMD=90°. 又因为∠ADH=∠CDM,AD=CD, 所以△DHA≌△DMC(AAS), 所以AH=CM,DH=DM=2, 所以CH=CD一DH=6. 因为AB=AC,AH⊥BC, 所以BH=CH=6, 所以BD=BH一DH=6-2=4. 4.解：(1)因为AB=AC,AD是BC边上的中线， 所以AD⊥BC,所以AD是BC的垂直平分线， 所以BO=CO. 因为OE是AC的垂直平分线，所以AO=CO, 所以BO=AO. (2)因为AB=AC,AD是BC边上的中线， 所以AD平分∠BAC. 因为∠CAD=25°，所以∠BAD=∠CAD=25°， 所以∠BAC=50°. 因为OE⊥AC,所以∠AEF=90°， 所以∠EFA=90°-50°=40°， 所以∠BFO=180°-∠EFA=140°. 因为AO=BO,所以∠OBA=∠BAD=25°， 所以∠BOF=180°-∠BFO-∠OBA=15° 5.解：(1)因为点P关于OA,OB的对称点分别为C,D, 所以OA,OB分别垂直平分PC,PD, 所以PM=CM,ND=NP. 因为CD=18cm, 所以PM+MN+PN=CM+MN+ND=CD= 18cm, 所以△PMN的周长为18cm. (2)由(1)知，CM=PM,PN=DN, 所以∠C=∠MPC,∠D=∠NPD. 在△CDP中，∠CPD=180°-∠C-∠D. 又因为∠MPN=∠CPD-∠MPC-∠NPD 所以∠MPN=180°-2（∠C+∠D)=180°-2×(21° +28)=82 (3)50°【解析】(3)如图，连接OP. 因为OA垂直平分PC,OB垂直平分PD, 易得∠COA=∠POA,∠POB=∠DOB,OC=OP, OD=OP,所以OD=OC,所以 ∠OCD=∠ODC. 因为∠AOB=40°， 所以∠POA+∠POB=40°， 所以∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=40°+40° =80°， 所以∠COD=80° 因为∠OCD=∠ODC, 所以∠0D=7×(1s0-∠c0D)=号×180- 1 80°)=50° 6.8 7.解：(1)如图.因为AC平分∠DAB,BC平分∠ABE, 所以∠1=∠2，∠3=∠4. 因为AD∥BE, 所以∠DAB+∠ABE=180°， 所以2（∠2+∠4）=180°， 所以∠2+∠4=90°，即∠ACB=90°， 所以AC⊥BC. (2)如图，过点C分别作CF⊥AB 于点F,CMLAD于点M,并延 长MC交BE于点N. 因为AD∥BE,所以CN⊥BE, 因为∠1=∠2，所以CM=CF, 同理可得，CN=CF.因为CM+CN=6, 所以CF=CM=CN=3, 所以Sa=号AB.CF=2×8X3=12 8.解：连接BF,如图. 因为F是△ABC的角平分线交点， 所以BF也是△ABC的角平分线. 因为FM⊥AB,FN⊥BC, 所以MF=NF,∠CNF=∠DNF=∠EMF= ∠BMF=90°. 因为在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°， 所以∠BAC=30°. 因为AD,CE分别是∠BAC,∠ACB的平分线， 所以∠DAC=方∠BAC=15,∠NCF=专∠ACB =45°， 所以∠NDF=90°-∠DAC=75°，∠NFC=90°- ∠NCF=45. 又因为∠MFN=360°-∠DNF-∠ABC-∠BMF =120°， 所以∠MFE=180°-∠NFC-∠MFN=15°， 所以∠MEF=90°-∠MFE=75°=∠NDF. I∠DNF=∠EMF, 在△DNF和△EMF中，∠NDF=∠MEF, NF=MF. 所以△DNF≌△EMF(AAS),所以DF=EF. 下册参考答案 37