第4章 三角形 4 利用三角形全等测距离-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

7.解：(1)AAC△ABC(2)③ 8.①②④【解析】因为AD是△ABC的中线， 所以BD=CD,所以SAAD=SAAD,故结论①正确； 因为DE平分∠ADB,DF平分∠ADC, 所以∠ADE=?∠ADB,∠ADF=名∠ADC.因为 ∠ADB+∠ADC=180°，所以∠EDF=∠ADE+ ∠ADF=号（∠ADB十∠ADC)=90,放结论 ②正确； 没有条件能够证明MF=BE,故结论③错误： 因为DE平分∠ADB,DF平分∠ADC, 所以∠BDE=∠MDE,∠MDF=∠CDF 因为BD=CD,DM=DB,所以DB=DM=DC. (DB=DM, 在△DEB和△DEM中，{∠BDE=∠MDE, DE=DE, 所以△DEB≌△DEM(SAS). 同理可得△DMF≌△DCF, 所以BE=ME,CF=MF. 在△EMF中，由三角形三边关系，得EM+FM> EF,所以BE十CF>EF,故结论④正确 综上所述，正确的是①②④， OM=ON. 9.解：(1)在△CMO和△CNO中，OC=OC, CM=CN, 所以△CMO≌△CNO(SSS). (2)由题意，得CM=CN,∠OCM=∠OCN=90°，OC =OC, 所以△OMC≌△ONC(SAS), 所以∠AOC=∠BOC, 即OC平分∠AOB. 10.解：因为∠AOB=∠COD 所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC, 即∠AOC=∠BOD. 在△AOC和△BOD中， (OA=OB, ∠AOC=∠BOD, OC=OD, 所以△AOC≌△BOD(SAS). 所以AC=BD,∠CAO=∠DBO. 如图，设BO,AC相交于点F 因为∠AFO=∠BFP,∠CAO+ ∠AOB+∠AFO=180°，∠DBO+ ∠BFP+∠APB=180°， 所以∠APB=∠AOB=a. 4利用三角形全等测距离 1.D2.B3.D 4.解：(1)因为AB∥DE, 所以∠ABC=∠DEF. 在△ABC和△DEF中， 数学七年级BS版 I∠ABC=∠DEF, AB=DE, ∠A=∠D, 所以△ABC≌△DEF(ASA). (2)因为△ABC≌△DEF, 所以BC=EF 所以BF+FC=EC+FC, 所以BF=EC, 因为BE=100m,BF=30m, 所以FC=BE-BF-EC=BE-2BF=100-2×30 =40(m). 故池塘的长度FC是40m. 5.B【解析】因为△ABC≌△DEF, 所以BC=EF. 由题意可知BE=10cm, 因为BE=BC+CF+EF, 所以2BC+2=10, 所以BC=4cm. 6.解：(1)甲同学的方案可行，理由如下： 因为AO=CO,∠AOB=∠COD,BO=DO, 所以△AOB≌△COD(SAS), 所以AB=CD. (2)增加条件BE⊥AB.理由如下： 因为BE⊥AB, 所以∠ABD=∠CBD=90°. 因为∠BDA=∠BDC,BD=BD. 所以△ABD≌△CBD(ASA), 所以AB=BC. 7.解：(1)因为C是BD的中点， 所以BC=DC. 在△ACB和△ECD中， (CA=CE, ∠ACB=∠ECD, BC=DC. 所以△ACB≌△ECD(SAS), 所以AB=ED. (2)如图，连接AD. 由题意，得AD=200m,AC=120m, 所以AE=2AC=240m,所以AE-AD<DE<AE+ AD, 所以40m<DE<440m, 即40m<AB<440m. ☆问题解决策略：特殊化 1.解：(1)EF=BE+DF (2)(I)中的结论EF=BE+DF仍然成立. 理由：如图，延长EB到点G,使BG=DF,连接AG4利用三角形全等测距离 要点提示 利用三角形全等知识测量距离的基本原理：利用三角形全等的条件“SSS”“ASA”“AAS”“SAS”来设计方案，创造 条件，测出距离 O1固基础 A.△代表BC=CD B.☐代表AC 知识点利用三角形全等测距离 C.☆代表DM 1.如图，要测量河中礁石A离岸边点B的距 D.该方案的依据是SAS 离，可以采用如下方法：顺着河岸方向任取 4.某数学兴趣小组的同学用 一条线段BC,作∠CBA'=∠CBA,∠BCA' 数学知识测一池塘的长 =∠BCA,可得△A'BC≌△ABC,所以 度，他们所绘如右图，点 A'B=AB,所以A'B的长就是礁石A离岸 B,F,C,E在直线1上（点F,C之间不能直 边点B的距离.判定两个三角形全等的理由 接测量，FC为池塘的长度)，点A,D在l的 是 ( ) 异侧，且AB∥DE,∠A=∠D,测得AB A.SSS B.AAS C.SAS D.ASA =DE. (1)试说明：△ABC≌△DEF. 第1题图 第2题图 2.(2025山西)如图，小谊将两根长度不等的木 条AC,BD的中点连在一起，记中点为O, 即AO=CO,BO=DO.测得C,D两点之间 的距离后，利用全等三角形的性质，可得花 瓶内壁上A,B两点之间的距离.图中 (2)若BE=100m,BF=30m,求池塘的长 △AOB与△COD全等的依据是() 度FC A.SSS B.SAS C.ASA D.两点之间线段最短 3.如图所示的是嘉淇测量水池AB宽度的方 案，下列说法不正确的是 ( ①D先确定直线AB,过点B作BF ⊥AB于点B; ②在BF上取C,D两点，使得△； ③过点D作DE⊥BF于点D: ④作射线☐，交DE于点M; ⑤测量☆的长度：即AB的长： 第3题图 57 下册第四章 02提能力 一 个条件使乙同学的方案可行，并说明 理由. 5.(2025芜湖期中)芜湖古 10cm 城内的建筑多为徽派建 C F 筑，这种建筑风格以其独 第5题图 特的榫卯结构而闻名.榫卯结构是我国古代 建筑、家具及其他木制器械的主要结构方 式.如图所示，将两块全等的木楔（△ABC≌ △DEF)水平钉入长为10cm的长方形木条 中（点B,C,F,E在同一条直线上）.若CF= 2cm,则木楔BC的长为 A.2 cm B.4 cm O3拓思维心 C.6 cm D.8cm 7.应用意识小明家所在的小 6.(2025周口月考)甲、乙两位同学想要测量某 区有一个池塘，如右图，A,B 公园池塘两端A,B的距离，分别设计了如 两点分别位于该池塘的两 下两种方案。 侧，池塘西边有一座假山D,在BD的中点 甲同学：如图①，①在平地上取可以直接到 C处有一个雕塑.小明从点A出发，沿直线 达点A,B的一点O; AC一直向前，经过点C走到点E,使CE= ②连接AO并延长到点C,连接BO并延长 CA,然后他测量了点E到假山D的距离， 到点D,使CO=AO,DO=BO; 则ED的长度等于A,B两点间的距离， ③连接DC,测出DC的长，即为池塘两端 (1)请说明小明这样做的依据. A,B的距离. (2)如果小明未带测量工具，但是知道点A 乙同学：如图②，①确定射线AB,过点B作 和假山、雕塑分别相距200m,120m.请帮助 直线BE; 他确定AB的长度范围. ②在直线BE上找可以直接到达点A的一 点D,连接DA; ③作∠BDC=∠BDA,交射线AB于点C; ④测量BC的长，即为池塘两端A,B的 距离。 图① 图② (1)甲同学的方案是否可行？请说明理由 (2)如果乙同学将方案进行修改，请你添加 8 数学七年级BS版