第4章 三角形 2 全等三角形&3 探索三角形全等的条件-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

2全等三角形 要点提示 1.全等图形的概念：能够完全重合的两个图形称为全等图形 2.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，其中重合的顶点叫作对应顶点，重合的边 叫作对应边，重合的角叫作对应角.用“≌”表示“全等”，读作“全等于”，如“△ABC≌△DEF”表示“△ABC 与△DEF全等”，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”. 3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等 O1固基础 ……心O2提能力之 知识点1全等图形的概念 5.如图，在3×3的正方形方格中， 1.下列四组图形中，是全等图形的是 ( 每个小正方形的边长都是1.已 知△ABC≌△EDF,则∠1和 ∠2的关系是 () 第5题图 B A.∠1=∠2 B.∠2=2∠1 C.∠2=90°+∠1 D.∠1+∠2=1809 6.(2025江西模拟)小明用4个全等且面积为 C D 4的直角三角形和1个小正方形刚好能拼成 知识点2全等三角形的概念 一个大正方形（如图①所示），且他用这些还 2.(2025崇左月考)如图，△ABC≌△EBD.观 能拼成图②所示的长方形ABCD,则长方形 察图形，在这两个三角形中边BD的对应边 ABCD的面积为 为 ( 图① 图② 第6题图 A.8 B.16 C.20 D.24 第2题图 7.如右图，△ABC≌△ADE, A.BE B.AB C.CA D.BC D ∠B=85°，∠C=30°， 知识点3全等三角形的性质 ∠DAC=15°，求∠EAC的 3.如图，△ABC≌△ADC.若∠B=25°，则 度数 ∠D的度数为 ( A.20 B.25° C.30° D.509 第3题图 第4题图 4.如图，已知△ABC≌△DEF,点B,E,C,F 在同一条直线上.若BC=8,CE=5,则CF 的长为 数学七年级BS版 3探索三角形全等的条件 第1课时边边边 要点提示 1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” 2.尺规作三角形：SSS 3.三角形的稳定性：只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性 质叫作三角形的稳定性」 O1固基础之 4.如下图，已知线段AB,CD相交于点O, AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA 知识点1利用“SSS”判断两个三角形全等 =EC.试说明：∠A=∠C. 1.如图，下列三角形中，与△ABC全等的是 10 B 6 C 知识点(2以“边边边”作三角形 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC和△FED中，AC=FD, 5.如图，用尺规作图作已知 BC=ED.要利用“SSS”来判定△ABC≌ 角的平分线，原理是构造 ✉ △FED,有下面4个条件：①AE=FB; 两个三角形全等.它所用 B 第5题图 ②AB=FE;③AE=BE;④BF=BE.其中 到的判别方法是 可利用的是 ( A.①或② B.②或③ 知识点3三角形的稳定性 C.①或③ D.①或④ 6.(2025长春期中)下列生活实物中，没有应用 3.(2025赣州期末)下图是油纸伞的示意图，已 到三角形的稳定性的是 ( 知AB=AC,BD=CD,试说明：AP平 分∠BAC. A.三脚架 B.篮球架 C.活动衣架 D.太阳能热水器 下册第四章 02提能力之 点A,以点A为圆心，以AP的长为半径作 弧，交直线I于点B,连接PB;②以点P为 7.下列事例应用了三角形稳定性的有( 圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为 ①人们通常会在栅栏门上斜着钉上一根 圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点 木条； C,作直线PC.若∠PBA=72°，则∠BPC ②新植的树木，常用一些粗木与之成角度支 的度数为 撑起来防止倒斜； ③四边形模具. O3拓思维之 A.0个B.1个C.2个 D.3个 12.推理能力如图，AD=CB,E,F是AC上 8.如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在 的两个动点，且DE=BF BC上，连接BD,DE.若AB=EB,AD= (1)若点E,F运动至图①所示的位置，且 ED,∠A=80°，∠BDC=110°，则∠C的度 AF=CE.试说明：△ADE≌△CBF. 数为 ( (2)若点E,F运动至图②所示的位置，仍 A.30° B.40° C.45° D.50 有AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立 吗？请说明理由。 (3)若点E,F不重合，且AF=CE,则AD 和CB平行吗？请说明理由。 第8题图 第9题图 9.(2025茂名期中)如图，点C在∠AOB的边 OB上.用尺规作图：①以点O为圆心，以任 意长为半径画弧，交OA于点D,交OB于 图② 点E;②以点C为圆心，以OD的长为半径 画弧，交CB于点F;③以点F为圆心，以 DE的长为半径画弧，交前弧于点P;④作射 线CP.下列结论不一定正确的是() A.∠AOE=∠PCFB.OD=CP C.DE=OE D.CP=CF 10.如图，B,C,E三点在同一条直线上，且AB =AD,AC=AE,BC=DE,连接BD.若 ∠1+∠2+∠3=94°，则∠3= ( A.49°B.47° C.45°D.43° D C 第10题图 第11题图 11.(2025成都期中)如图，已知点P在直线1 外，按以下步骤作图：①在直线1上任取一 52 数学七年级BS版 第2课时 角边角、角角边 要点提示 1.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA” 2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。 3.尺规作三角形：“ASA”或“AAS” O1固基础念 5.如下图，AB与CD相交于点O,AC=BD, ∠C=∠D.试说明：△AOC≌△BOD 知识点1利用“ASA”或“AAS”判定两个三 角形全等 1.能确定△ABC≌△DEF的条件是( A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠E B.AB=DE,BC=EF,∠C=∠E 知识点2尺规作三角形(“ASA”或“AAS”) C.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D 6.如下是作一个三角形与已知三角形全等的 D.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E 方法： 2.根据图中所给的条件，能够判定三角形全等 已知：△ABC.求作△DEF,使得△DEF 的是 ( ≌△ABC. 6 682 82 289 28 28 28°70A ① ② ③ ④ 第2题图 A.①和② B.②和④ (1)根据作图痕迹补全作法。 ①作∠MDN=∠ ；②在射线 C.①和③ D.③和④ 上截取 =AB; 3.(教材变式)如图，黄芳不小心把一块三角形 ③以 为顶点，以 为一 的玻璃打碎.现要带其中一块碎片去配一块 边，作∠DEF=∠ 与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第 交射线DN于点F,则△DEF即为所求. 块碎片去配，依据的定理是 (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的 (用字母表示). 方法的依据是 易错点易混淆证全等的方法 7.如图，点B,E,C,F共线， ① AB∥DE,∠A=∠D,添 B E C 第3题图 第4题图 加一个条件，不能判断 第7题图 4.(2025赣州月考)如图，AC,BD相交于点 △ABC≌△DEF的是 O,∠A=∠D.当添加条件 时， A.AB=DE B.∠ACB=∠F 可由“角边角”判定△AOB≌△DOC. C.BE=CF D.AC=DF 下册第四章 之02提能力之 。。.。。 间的等量关系 解决此问题可以用如下方法：延长AE交 8.如图，△ABC的高AD,BE相交于点F.若BF DC的延长线于点F,易说明△AEB≌ =AC,BC=7,DC=2,则AF的长为( ) △FEC,得到AB=FC,从而把AB,AD, A.2 B.3 C.4 D.5 DC转化在一个三角形中. AB,AD,DC之间的等量关系是 (2)如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD, D 第8题图 第9题图 AF与DC的延长线交于点F,E是BC的 9.如图，已知点E在△ABC的外部，点D在 中点.若AE是∠BAF的平分线，试探究 BC边上，DE交AC于点F.若∠1=∠2= AB,AF,CF之间的等量关系，并说明你的 ∠3，AC=AE,则有 () 结论 A.△ABD≌△AFEB.△AFE≌△ADC C.△AEF≌△DFCD.△ABC≌△ADE 10.如图，点A,F,C,D在同一条直线上，AF =DC,∠1=∠2，请你再添加一个条件使 图① 图② △ABC≌△DEF.你添加的条件是 21 C D 第10题图 第11题图 11.如图，AM是一段斜坡，AB是水平线.欢欢 为了测量斜坡上一点C的竖直高度CN, 她在点C处立上一根竹竿CF,竹竿CF与 斜坡AM垂直，在点D处垂下一根绳子 DE,与斜坡AM的交点是E,绳子DE可 以在竹竿CF上自由滑动.当DE=AC时， 测得CE=2m,则CN= m.其 中，运用到的判定三角形全等的依据是 O3拓思维 12.模型观念(1)如图①，在四边形ABCD 中，AB∥CD,E是BC的中点.若AE是 ∠BAD的平分线，试判断AB,AD,DC之 数学七年级BS版 第3课时 边角边 要点提示 1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” 2.尺规作三角形：“SAS”. O1固基础念 的条件是 6.(2025湖北)如下图，AB=AD,AC平分 知识点1用“SAS”判定两个三角形全等 ∠BAD.试说明：∠B=∠D 1.如图，BC=EC,AB=DE, 要使△ABC≌△DEC,则E只 D B 可以添加条件 () 第1题图 A.∠BCE=∠ACDB.∠A=∠D C.∠B=∠E D.以上都不对 2.(2025重庆期未)如图，在2×2的正方形网 格中，∠1十∠2的度数为 ) 知识点2尺规作三角形(“SAS”) A.90°B.180° C.270° D.360° 7.已知：△ABC. 求作：△A'B'C',使得△A'B'C'≌△ABC 作法：如下图 第2题图 第3题图 3.如图，AC=CB,∠CAE=∠BCD,AE=CD. 若AE=7,BD=2,则DE的长是( (1)作∠DA'E=∠A. A.7 B.5 C.3 D.2 (2)在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E 4.如图，在AB,AC上各取一点E,D,使AE 上截取A'C'=AC. =AD,连接BD,CE相交于点O,再连接 (3)连接线段B'C',则△A'B'C'即为所求作的三 AO,BC.若∠1=∠2，则图中全等三角形共 角形 有 ( 请你根据以上材料解决下列问题： A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 (1)根据作图痕迹补全作法. B 由作图可知，在△A'B'C和△ABC中， (A'B'=AB, ∠B'A'C'=∠ A'C'= 第4题图 第5题图 所以△A'B'C'≌ 5.(2025上饶期末)如图，在△ABC和△DFE (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的 中，AC=DE,∠A=∠D=90°.若要用 方法的依据是 (填序号)： “SAS”直接证△ABC≌△DFE,则还需补充 ①AAS ②ASA ③SAS ④SSS 下册第四章 。 02提能力心 任务： (1)嘉淇的方法1可由作法判断△OMC≌ 8.如图，AD是△ABC的中线， △ONC,因为全等三角形的对应角相等，所 ∠ADB与∠ADC的平分线 以∠MOC=∠NOC,即OC平分∠AOB.请 分别交AB,AC于点E,F,M 说明△OMC≌△ONC. 是AD上的一点，且DM=B4 第8题图 (2)请说明嘉淇的方法2的合理性. DB,则下列结论：①S△ABD= SAACD;②∠EDF=90°；③MF=BE;④BE 十CF>EF.其中正确的是 (填序号). 9.项目式学习(2025吉安期末)下面是嘉淇同学 的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务， 执“规”“矩”等分已知角 《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执 矩，规与矩中间的图案是太阳，象征 天地秩序，我是数学爱好者，在我的 眼里“规”是圆规，“矩”是直角工具 《伏羲女娲 O3拓思维 ”,“太阳”是被等分的360°图》局部图 10.如下图，在△AOB和△COD中，OA= 角.要研究等分360°角，可以先从研究平分一个 OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=a,连接 已知角开始.怎样借助圆规和直角工具作一个 角的平分线呢？ AC,BD交于点P.求AC与BD之间的数 ①如图①，以点O为圆心， 量关系以及∠APB的度数. 任意长为半径作孤，交OA 于点M,交OB于点N: ②分别以M,N为圆心，大O B 方法1 于号N的长为半径作蕴， 图① 两孤交于点C; ③作射线OC.射线OC即为∠AOB的 平分线 ①两个“矩”如图②放置， 顶点重合于C,一边重合 D M 于直线CP; 0 ②以点C为圆心，任意长P E B 方法2为半径作孤，交CD于点 图② M,交CE于点N; ③使点M在射线OA上，点N在射线OB 上，调整“矩”直至直线CP经过点O, 射线OC即为∠AOB的平分线 经过测量，上述两种办法得到的∠AOC与 ∠BOC相等，验证OC平分∠AOB成立.要想 作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要 推理论证 6 数学七年级BS版图① 图② 2全等三角形 1.C2.D3.B 4.3【解析】因为△ABC≌△DEF, 所以BC=EF. 又因为BC=8,所以EF=8, 因为CE=5,所以CF=EF一CE=8一5=3 5.D 6.C【解析】设每个直角三角形的较长直角边长为a, 较短直角边长为b. 因为4个全等且面积为4的直角三角形和1个小正方 形刚好能拼成一个大正方形， 所以中间的小正方形边长为a一b, 由每个直角三角形的面积为4，可得ab=8. 由图②可得a-b=b, 所以a=2b, 所以2b·b=8,所以b2=4, 即(a-b)2=4, 所以长方形ABCD的面积为(a一b)2+2ab=20 7.解：因为∠B=85°，∠C=30°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=65° 因为△ABC≌△ADE, 所以∠BAC=∠DAE=65°. 因为∠DAC=15°， 所以∠EAC=∠DAE-∠DAC=65°-15°=50°. 3探索三角形全等的条件 第1课时边边边 1.C2.A (AB=AC, 3.解：在△ABD和△ACD中，AD=AD, BD=CD. 所以△ABD≌△ACD(SSS), 所以∠BAD=∠CAD, 所以AP平分∠BAC, 4.解：如图，连接OE OA=OC, 在△EAO和△ECO中，EA=EC, OE=OE 所以△EAO≌△ECO(SSS), 所以∠A=∠C. 5.SSS 6.C 7.C 8.B 9.C【解析】由作图过程可知，△DOE≌△PCF, 所以OD=CP,OE=CF,∠AOE=∠PCF. 由①可知OD=OE. 因为CP=OD,CF=OE, 16 数学七年级BS版 所以CP=CF 由已知条件无法推出DE=OE. (AB=AD, 10.B【解析】在△ABC和△ADE中，AC=AE, BC=DE. 所以△ABC≌△ADE(SSS), 所以∠ABC=∠1，∠BAC=∠2. 因为∠3=180°-∠ACB=180°-(180°-∠ABC ∠BAC)=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2，∠1+∠2+ ∠3=94°， 所以2∠3=94°， 所以∠3=47°. 11.108°【解析】如图，连接AC, 由作图可得AB=AP=PC, AC=PB, 所以△ABP≌△PCA(SSS), 所以∠PAB=∠APC, 所以PC∥. 因为∠PBA=72°， 所以∠BPC=180°-∠PBA=108. 12.解：(1)因为AF=CE, 所以AF+EF=CE十EF, 即AE=CF (AD=CB. 在△ADE和△CBF中，〈DE=BF, AE=CF. 所以△ADE≌△CBF(SSS). (2)成立.理由如下： 因为AF=CE, 所以AF-EF=CE-EF, 即AE=CF (AD=CB, 在△ADE和△CBF中，DE=BF, AE=CF, 所以△ADE≌△CBF(SSS). (3)AD∥CB.理由如下： 由(1)(2)知△ADE≌△CBF, 所以∠A=∠C, 所以AD∥CB. 第2课时角边角、角角边 1.D2.D3.③ASA 4.AO=DO【解析】因为∠A=∠D,∠AOB =∠DOC, 所以由“角边角”判定△AOB≌△DOC,需要添加条 件AO=DO. ∠C=∠D, 5.解：在△AOC和△BOD中，〈∠AOC=∠BOD, AC=BD. 所以△AOC≌△BOD(AAS). 6.解：(1)①A②DMDE③E ED B EF (2)ASA 7.B 8.B【解析】因为BC=7,DC=2, 所以BD=BC-DC=5. 因为AD,BE是△ABC的高， 所以∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°， 所以∠FBD+∠C=∠CAD+∠C=90°， 所以∠FBD=∠CAD. ∠BDF=∠ADC, 在△BFD和△ACD中，∠FBD=∠CAD, BF=AC, 所以△BFD≌△ACD(AAS), 所以BD=AD=5,DF=DC=2, 所以AF=AD-DF=3. 9.D【解析】因为∠1=∠2=∠3， 所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC =∠DAE. 因为∠E=180°-∠2-∠AFE,∠C=180°-∠3 ∠DFC,∠AFE=∠DFC,所以∠E=∠C. 因为AC=AE,所以△ABC≌△ADE(ASA). 10.∠A=∠D(答案不唯一) 11.2AAS(角角边)【解析】由题意得DE∥CN, 所以∠DEC=∠ACN. 因为DC⊥AM,CN⊥AB, 所以∠DCE=∠ANC=90°. 在△DEC和△ACN中， |∠DCE=∠ANC, {∠DEC=∠ACN, DE=AC. 所以△DEC≌△ACN(AAS), 所以CN=CE=2m. 12.解：(1)AD=AB+DC (2)AB=CF+AF. 如图，延长AE交DF的延长线于 点G. 因为E是BC的中点， 所以CE=BE. 因为AB∥DC,所以∠BAE=∠G. 又因为∠AEB=∠GEC,BE=CE, 所以△AEB≌△GEC(AAS), 所以AB=GC. 因为AE是∠BAF的平分线， 所以∠BAG=∠FAG. 因为∠BAG=∠G,所以∠FAG=∠G. 过点F作AG的垂线，垂足为H, 则∠FHA=∠FHG=90°. 又因为∠FAG=∠G,FH=FH, 所以△FHA≌△FHG(AAS),所以AF=GF, 因为CG=CF十GF, 所以AB=CF+AF. 第3课时边角边 1.C 2.A【解析】如图，在△BAC与△EAD中， (AC=AD. ∠BAC=∠EAD=90°， AB=AE. 所以△BAC≌△EAD(SAS), 所以∠ABC=∠1. 因为∠ABC+∠2=90°， 所以∠1+∠2=90°. 3.B【解析】因为AC=CB,∠CAE=∠BCD,AE =CD. 所以△ACE≌△CBD(SAS), 所以AE=CD=7,CE=BD=2, 所以DE=CD一CE=5. (AE=AD. 4.A【解析】①在△AEO和△ADO中，∠1=∠2， OA=OA. 所以△AEO≌△ADO(SAS): ②因为△AEO≌△ADO 所以OE=OD,∠AEO=∠ADO, 所以∠BEO=∠CDO. ∠BEO=∠CDO, 在△BEO和△CDO中，〈OE=OD, ∠BOE=∠COD, 所以△BEO≌△CDO(ASA); ③因为△BEO≌△CDO, 所以BE=CD,OB=OC, 所以OC+OE=OB+OD, 即CE=BD (BE=CD. 在△BEC和△CDB中，∠BEC=∠CDB, CE=BD. 所以△BEC≌△CDB(SAS): (AE=AD, ④在△AEC和△ADB中，{∠AEC=∠ADB, CE=BD. 所以△AEC≌△ADB(SAS): ⑤因为△AEC≌△ADB, 所以AC=AB (AC=AB, 在△AOC和△AOB中，OC=OB, OA=OA. 所以△AOC≌△AOB(SSS) 综上所述，题图中全等三角形共有5对. 5.AB=DF 6.解：因为AC平分∠BAD 所以∠BAC=∠DAC. 因为AB=AD,AC=AC, 所以△BAC≌△DAC(SAS), 所以∠B=∠D. 下册参考答案 7> 7.解：(1)AAC△ABC(2)③ 8.①②④【解析】因为AD是△ABC的中线， 所以BD=CD,所以SAAD=SAAD,故结论①正确； 因为DE平分∠ADB,DF平分∠ADC, 所以∠ADE=?∠ADB,∠ADF=名∠ADC.因为 ∠ADB+∠ADC=180°，所以∠EDF=∠ADE+ ∠ADF=号（∠ADB十∠ADC)=90,放结论 ②正确； 没有条件能够证明MF=BE,故结论③错误： 因为DE平分∠ADB,DF平分∠ADC, 所以∠BDE=∠MDE,∠MDF=∠CDF 因为BD=CD,DM=DB,所以DB=DM=DC. (DB=DM, 在△DEB和△DEM中，{∠BDE=∠MDE, DE=DE, 所以△DEB≌△DEM(SAS). 同理可得△DMF≌△DCF, 所以BE=ME,CF=MF. 在△EMF中，由三角形三边关系，得EM+FM> EF,所以BE十CF>EF,故结论④正确 综上所述，正确的是①②④， OM=ON. 9.解：(1)在△CMO和△CNO中，OC=OC, CM=CN, 所以△CMO≌△CNO(SSS). (2)由题意，得CM=CN,∠OCM=∠OCN=90°，OC =OC, 所以△OMC≌△ONC(SAS), 所以∠AOC=∠BOC, 即OC平分∠AOB. 10.解：因为∠AOB=∠COD 所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC, 即∠AOC=∠BOD. 在△AOC和△BOD中， (OA=OB, ∠AOC=∠BOD, OC=OD, 所以△AOC≌△BOD(SAS). 所以AC=BD,∠CAO=∠DBO. 如图，设BO,AC相交于点F 因为∠AFO=∠BFP,∠CAO+ ∠AOB+∠AFO=180°，∠DBO+ ∠BFP+∠APB=180°， 所以∠APB=∠AOB=a. 4利用三角形全等测距离 1.D2.B3.D 4.解：(1)因为AB∥DE, 所以∠ABC=∠DEF. 在△ABC和△DEF中， 数学七年级BS版 I∠ABC=∠DEF, AB=DE, ∠A=∠D, 所以△ABC≌△DEF(ASA). (2)因为△ABC≌△DEF, 所以BC=EF 所以BF+FC=EC+FC, 所以BF=EC, 因为BE=100m,BF=30m, 所以FC=BE-BF-EC=BE-2BF=100-2×30 =40(m). 故池塘的长度FC是40m. 5.B【解析】因为△ABC≌△DEF, 所以BC=EF. 由题意可知BE=10cm, 因为BE=BC+CF+EF, 所以2BC+2=10, 所以BC=4cm. 6.解：(1)甲同学的方案可行，理由如下： 因为AO=CO,∠AOB=∠COD,BO=DO, 所以△AOB≌△COD(SAS), 所以AB=CD. (2)增加条件BE⊥AB.理由如下： 因为BE⊥AB, 所以∠ABD=∠CBD=90°. 因为∠BDA=∠BDC,BD=BD. 所以△ABD≌△CBD(ASA), 所以AB=BC. 7.解：(1)因为C是BD的中点， 所以BC=DC. 在△ACB和△ECD中， (CA=CE, ∠ACB=∠ECD, BC=DC. 所以△ACB≌△ECD(SAS), 所以AB=ED. (2)如图，连接AD. 由题意，得AD=200m,AC=120m, 所以AE=2AC=240m,所以AE-AD<DE<AE+ AD, 所以40m<DE<440m, 即40m<AB<440m. ☆问题解决策略：特殊化 1.解：(1)EF=BE+DF (2)(I)中的结论EF=BE+DF仍然成立. 理由：如图，延长EB到点G,使BG=DF,连接AG