7.3万有引力理论的成就 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

7.3万有引力理论的成就 重点内容 1 万有引力定律与重力的关系 2 计算天体的质量和密度 3 发现未知天体和预言哈雷彗星回归 万有引力定律与重力的关系 1．地球表面上的重力与万有引力的关系 如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得 F＝G　。 图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况下mg＜G。 2．重力与纬度的关系 (1)在赤道上：重力和向心力在一条直线上，G＝mω2R＋mg。 (2)在两极上：F向＝0，G＝mg。 (3)在一般位置：重力是万有引力的一个分力，G＞mg。越靠近南北两极g值_越大__，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似_等于__重力，即G＝mg。 3.重力、重力加速度与高度的关系 (1)地球表面物体的重力约等于地球对物体的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度 g＝　。 (2)地球上空h高度处，万有引力等于重力，即mg＝，所以h高度处的重力加速度g＝。 3.重力、重力加速度与深度的关系 万有引力定律有两个重要的推论： ①在匀质球壳内的任意位置处，质点受到球壳万有引力的合力为零； ②在匀质球体内部距离球心r处，质点受到的引力就等于半径为r的球体对质点的引力。 已知地球半径 R ，忽略地球自转，设地球质量为 M ，密度为ρ ， 地球表面 ， 物体在深度为 h 的位置时：， 可知 ，即在同一纬度处，距地面越深，重力加速度越小。 ~~~~练~习~的~分~割~线~~~~ 【例1】中国的载人登月计划旨在2030年前实现人类首次登陆月球，为体验在月球上行走的感觉，可采用悬在空中的氦气球拉着人在地面上前行。已知地球半径为，地球表面重力加速度为，月球质量为地球质量的倍，月球半径为地球半径的倍，不考虑星球自转，为使质量为的人在地球表面前行感觉到和月球表面相同的“重力”，则氦气球对该人的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据万有引力定律，月球表面重力加速度为，地球表面重力加速度为，结合已知条件可得。为使质量为的人在地面感受到与月球表面相同的重力，需氦气球提供向上的拉力，满足，解得：，故正确，错误；故选：。 【例2】如图，在某部科幻电影中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为的宇航员所受重力为。已知地球半径为，地球表面的重力加速度大小为，不考虑地球自转，此时太空电梯距离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在地球表面，忽略地球自转影响，重力近似等于万有引力，可得，由此整理得。设太空电梯所处位置距地面高度为，该处宇航员受到的重力即为其所受万有引力，依据万有引力定律有；将代入上式，得，解得：。故正确，错误。故选：。 【例3】月球绕地球公转的同时也在自转，月球的自转周期恰好与公转周期相同，使得月球始终以同一面朝向地球，这种现象称为“同步自转”。月球公转近似看成半径为的圆周运动。已知月球半径为，地球半径为，地球极地处的重力加速度大小为。月球表面各处的重力加速度因自转而不同，其极地与赤道处的重力加速度大小之差为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设月球的自转角速度为，月球自转角速度与公转角速度相同，月球绕地球公转时，有：由万有引力提供向心力有：对于地球极地处的物体，根据万有引力和重力的关系可得：联立解得：对月球赤道上的物体，有：解得：，故正确、错误。故选：。 【例4】某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为，将一质量为的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为；在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为。已知引力常量为。下列说法正确的是　　 A．该行星的自转周期为 B．该行星的质量为 C．该行星赤道处的重力加速度为 D．该行星的密度为 【解答】解：物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力 在赤道表面静止时，万有引力和重力的合力提供向心力 其中联立解得 ．根据向心力公式可得，该行星的自转周期为，故错误； ．物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力 解得，故错误； ．在赤道表面静止时，根据平衡条件，重力等于弹簧测力计的拉力，即 解得，故错误； ．根据可知，该行星的密度为，故正确。故选：。 【例5】2025年1月7日，长征三号乙火箭成功将“太空加油站”——实践25号卫星送入太空（如图），解决了一个困扰航天工程师多年的问题：卫星燃料补给问题。若卫星质量为，距地面高度为，地球质量为，半径为，引力常量为，则卫星所在轨道处的重力加速度大小为　　 A．0 B． C． D． 【解答】解：卫星所在轨道处有解得故正确，错误。故选：。 计算天体的质量和密度 1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。 2．关系式：＝mr。 3．结论：M＝，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。 4．推广：若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量，这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量，其中T为公转周期，r为轨道半径。 5．计算天体的密度 (1)利用天体表面的重力加速度求天体质量和密度，由mg＝G和M＝ρ·，得ρ＝。 (2)利用环绕天体求中心天体质量和密度 若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得G＝mr，中心天体质量M＝ρ·πR3，联立可得ρ＝。 (3)说明 ①当环绕天体贴近中心天体表面飞行(R＝r)时，ρ＝。 ②通过g、R法，环绕法求出M后再进一步求出ρ。 ~~~~练~习~的~分~割~线~~~~ 【例6】2024年11月16日，天舟八号货运飞船成功发射并与空间站天和核心舱成功对接。已知地球半径为，天舟八号货运飞船与天和核心舱对接后一起绕地球做匀速圆周运动的周期为，距离地面的高度为，引力常量为，则地球的质量可表示为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：天舟八号货运飞船与天和核心舱对接后，绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为；由万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有。 将代入公式，整理得地球质量，故正确，错误。故选：。 【例7】黑洞是一种密度极大、体积极小的天体，引力大到光都无法逃脱其引力的“魔掌”，所以黑洞无法直接观测，但可以通过观测绕其运动的恒星，大致推测出黑洞的质量。观察发现，太阳系绕银河系中心黑洞人马座做圆周运动的周期为，太阳系到银河系中心的距离为，引力常量为，不考虑相对论效应及暗物质的影响，则人马座的质量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律则有 解得中心天体的质量为，故正确，错误。 故选：。 【例8】2025年4月25日，神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第6次“太空会师”。中国空间站绕地球做匀速圆周运动，其与地心的连线在单位时间内扫过的面积与线速度的大小满足。已知地球的半径为，引力常量为，为常量，则地球的密度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知引力常量为，卫星绕地球的运动可看作匀速圆周运动，设为卫星做圆周运动轨道半径，根据万有引力提供向心力有 卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积，联立得，结合题意可得，可得地球的质量， 地球的密度为，故正确，错误。故选：。 【例9】截至2024年7月，我国在轨卫星的数量已超过900颗，这些卫星服务于通信、导航、遥感、气象、科学研究等多个领域。现有一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，近地点到地心距离为，远地点到地心距离为，周期为。已知引力常量为，地球为质量均匀的球体，下列说法正确的是（　　） A．绕地球运转的所有卫星与地心的连线单位时间扫过的面积均相等 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 C．根据已知条件，可估算地球的密度为 D．根据已知条件，可估算地球的质量为 【解答】解：、开普勒第二定律（面积定律）主要适用于同一颗行星绕太阳（或同一卫星绕地球）的运动，即同一轨道上相等时间内扫过的面积相等。对于绕地球运转的不同卫星，轨道不同，单位时间内扫过的面积通常是不相等的，故错误； 、卫星在运动过程中只受地球的万有引力作用，根据牛顿第二定律，解得加速度。则卫星在近地点和远地点的加速度大小之比为，故错误； 、由于题目中未给出地球的半径，无法求出地球的体积，也就无法估算地球的密度，故错误； 、设地球质量为，卫星轨道的半长轴。由开普勒第三定律，解得地球质量，故正确。 故选：。 【例10】2024年11月25日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭采用一箭双星的方式成功将四维高景二号03星和04星送入预定轨道，假设两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动且轨道平面与赤道平面垂直，它们能对地面目标进行高分辨率的观测。如图所示，若04星对地球的最大观测角为，04星连续观测北极地面上一固定目标的最长时间为，引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．相比04星，若03星的轨道半径更小，则其速度会更小 B．相比04星，若03星的轨道半径更小，则其周期会更大 C．04星做匀速圆周运动的周期为 D．根据题干已知条件，还可近似求出地球的质量和平均密度 【解答】解：、根据万有引力提供向心力得， 解得，， 相比04星，若03星的轨道半径更小，所以其速度更大，周期更小，故错误； 、由题意可知，04 星连续观测北极目标的最长时间内，转过的圆心角为， 所以04星做圆周运动的角速度大小为， 所以周期为，故正确； 、设04星的轨道半径为，地球半径为，根据， 根据万有引力提供向心力得， 解得地球质量为， 地球密度为，其中， 解得，由选项可知周期，所以可以计算地球的密度，但04星的轨道半径和地球的半径都未知，所以无法求出地球的质量，故错误。 故选：。 发现未知天体和预言哈雷彗星回归 1．发现未知天体 海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 2．预言哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷用一年时间计算发现1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星是同一颗彗星，并预言这颗彗星将于1758年底或1759年初再次回归。结果，在哈雷去世17年后的1759年3月，这颗彗星如期通过近日点。无论是卡文迪什对地球质量的准确测量，还是哈雷对哈雷彗星回归的准确预测，都体现了理论对实践的巨大指导作用，同时也确立了万有引力定律的地位。 ~~~~练~习~的~分~割~线~~~~ 【例11】万有引力定律的成就之一是发现未知天体，下列被称作笔尖下发现的行星是　　 A．天王星 B．海王星 C．冥王星 D．雅利洛 【解答】解：海王星被称作“笔尖下发现的行星”，显示了万有引力理论对于实践的指导作用，故正确，错误。故选：。 【例12】下列关于开普勒定律及万有引力定律应用于天文学研究的历史事实说法正确的是　　 A．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 B．火星与木星公转周期之比的立方等于它们轨道半长轴之比的平方 C．海王星是英国物理学家卡文迪什经过大量计算而发现的，被人们称为“笔尖上的行星” D．海王星的发现过程充分显示了理论对于实践的巨大指导作用，所用的“计算、预测和观察”的方法指导人们寻找新的天体 【解答】解：．根据开普勒第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，这是对同一个行星而言，相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积。故错误；．根据开普勒第三定律可知火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，故错误；．海王星是运用万有引力定律，经过大量的计算后发现的，但不是卡文迪什运用万有引力定律经过大量计算而发现的，故错误；．海王星的发现过程充分显示了理论对于实践的巨大指导作用，所用的“计算、预测和观察”的方法指导人们寻找新的天体，故正确；故选：。 【例13】许多科学家在物理学的发展过程中做出了重要贡献，他们大胆猜想、勇于质疑，取得了辉煌的成就，下列有关科学家及他们的贡献描述中正确的是　　 A．伽利略探究物体下落规律的过程使用的科学方法是：问题猜想数学推理实验验证合理外推得出结论 B．天王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道后才发现的，被称为“笔尖下的行星” C．开普勒潜心研究第谷的天文观测数据，提出行星绕太阳做匀速圆周运动 D．卡文迪什在牛顿发现万有引力定律后，进行了“月一地检验”，将天体间的力和地球上物体的重力统一起来 【解答】解：、伽利略探究物体下落规律的过程使用的科学方法是：问题猜想数学推理实验验证合理外推得出结论，故正确；、海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道后才发现的，被称为“笔尖下的行星”，故错误；、开普勒潜心研究第谷的天文观测数据，提出行星绕太阳做椭圆运动，故错误；、牛顿发现万有引力定律后，进行了“月—地检验”，将天体间的力和地球上物体的重力统一起来，故错误。故选：。 【例14】（多选）美国著名文学家马克吐温曾满怀激情地说“科学真是迷人，根据零星的事实，增添一点猜想，竟能获得那么多收获”。假设在某星球赤道位置采得一矿石，称得其质量为，体积为，重力为。已知该星球可视为匀质球体，自转周期为。下列说法正确的是　　 A．矿石受到星球的万有引力大小为 B．赤道处的向心加速度大小可能等于 C．若已知引力常量，可推知星球的半径 D．若已知引力常量，可推知星球的质量 【解答】解：．由于星球自转，万有引力提供向心力和重力；即赤道处矿石受到星球的万有引力大于，故错误；．赤道处的重力大小可能等于向心力的大小，即可能有解得，故正确；．根据其中，可知 即可解得，故正确；．由密度公式，可得，将代入可得，故正确。故选：。 【例15】许多科学家在物理学的发展过程中做出了重要贡献，下列叙述不符合事实的是　　 A．开普勒首先指出了行星绕太阳的轨道不是圆形，而是椭圆 B．海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道后才发现的，被称为“笔尖下的行星” C．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 D．卡文迪什第一次在实验室里测出了引力常量 【解答】解：、开普勒第一次对天体圆周运动提出质疑，指出了行星绕太阳的轨道不是圆形，而是椭圆，故正确； 、海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道后才发现的，被称为“笔尖下的行星”，故正确； 、开普勒总结出了行星运动的规律，牛顿发现了万有引力定律，故错误； 、卡文迪什第一次在实验室里测出了引力常量，故正确；本题选不符合事实的，故选：。 第10页 学科网（北京）股份有限公司 $