专题2.1 平方根（4大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.1平方根 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点1算术平方根 知识点2平方根 知识清单 知识点3开平方 知识点4平方根的估算 题型1 算术平方根与平方根的概念与表示方法 平方根 题型2求一个数的算术平方根与平方根 题型3求代数式的平方根 题型4已知一个数的平方根，求这个数 题型精讲 题型5利用平方根解方程 题型6算术平方根及其非负性 题型7平方根与算术平方根的应用 题型8与算术平方根有关的规律探究 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解平方根、算术平方根的概念与性质，明确正数、0、负数的平方根情况，能用根 号规范表示平方根与算术平方根。 2.掌握开平方与平方的互逆关系，能熟练求非负数的平方根与算术平方根，区分两者 教学目标 的联系与区别。 3.能运用平方根知识解决已知正方形面积求边长等简单实际问题，提升数学抽象与运 算能力。 1.重点 (1)掌握平方根与算术平方根的核心概念、表示方法及基本性质，明确正数 有两个互为相反数的平方根，算术平方根是其中的非负根。 教学重难点 (2)熟练运用平方运算求非负数的平方根与算术平方根，能正确进行相关计 算，为后续实数学习奠定基础。2.难点 (1)清晰区分平方根与算术平方根的概念，避免混淆两者的定义、表示与结 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 果特征，理解“双重非负性”。 (2)理解平方根的性质（负数无平方根、0的平方根是0），掌握开平方运 算的逻辑，突破从正向平方到逆向开方的思维转换难点。 知识清单 知识点01算术平方根 般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为 √a,读作“根号a”,a叫做被开方数。 规定：0的算术平方根是0. 【即学即练1】1.3是9的() A.算术平方根B.平方根 C.立方根 D.立方 2.如果2-6a有算术平方根，那么Q可以取的值为() A.3 B.2 C.1 D.0 3.(1)52的平方根是」 (2)(-5)的平方根是」 算术平方根是」 (3)x2的平方根是」 算术平方根是 (4)(x+2)2的平方根是」 算术平方根是 知识点02平方根 (1)平方根的相关概念 一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a,那么x 叫做a的平方根.如2和-2是4的平方根，简记为±2是4的平方根.。 (2)平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数. 0的平方根是0. 负数没有平方根， (3)平方根的表示方法 正数a的算术平方根可以用√a表示：正数a的负的平方根，可以用，符号“-√a”表示，故正数a的平 方根可以用符号“±√a”表示，读作“正、负根号a””.如±√25.=±5. 【即学即练2】4.下列说法正确的是() A.-1的平方根是-1 B.（-2)的平方根是-2 C.1是1的平方根 D.1的平方根是1 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.√16的算术平方根是； 2的算术平方根是；92的平方根是 4 6.已知x-1的平方根为±2，已知3x+y-1的平方根为±4，则3x+5y的算术平方根是」 知识点03平开方 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中数a叫做被开方数， 平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系， 如±4的平方为（±4）2=16，反过来16的平方根为±√16=±4. 【即学即练3】7. 22的值等于() A.3 B C.5 D. 3 9 8.√25的值是() A.5 B.±5 1 c.5 D.号 9.计算√4=」 知识点04平方根的估算 要估算“√a(a≥0)”的近似值，第一步先确定估算数的整数范围，如.22<7<32，所以2<√7<3；第二步以 较小整数为基础，开始逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1），并求其平方，确定被估算数的十 分位；：如此继续下去，可按要求估算“√7”的近似值，即用“夹逼法 【即学即练4】10.估计√10+2的值应在() A.5和6之间B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间 11.一个正方形的边长为a米，若其面积为24平方米，则a介于哪两个相邻整数之间？()· A.3<a<4 B.4<a<5 C.5<a<6 D.6<a<7 12.满足-√3<x<√7的所有整数x的和是 题型精讲 题型01算术平方根与平方根的概念与表示方法 【典例1】(25-26七年级下·全国·月考)下列各数一定没有平方根的是() A.-x B.-2x-1 C.x D.-2-x2 【变式1】(25-26七年级上·浙江金华期末)关于“√25”的三种说法：①√25表示25的平方根；② √25=5；③√25是无理数.其中正确的个数是() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(24-25七年级下·全国·课后作业)若2x-5没有平方根，则x的值可能为 【变式3】(25-26八年级上·山东济南期末)16的算术平方根是一 题型02求一个数的算术平方根与平方根 【典例2】.(25-26八年级上·山东济南期末)4的平方根是() A.√2 B.±√2 C.2 D.±2 【变式1】(25-26七年级上山东烟台期末)下列说法错误的是() A.-5是25的平方根 B.√16的算术平方根是2 C. 的平方根是 D.V36=6 49 【变式2】(25-26八年级上河南南阳期末)（-3)的平方根是」 【变式3】(25-26八年级上河南洛阳期末)计算：（V2)-一· 题型03求代数式的平方根 【典例3】(24-25八年级上·河南新乡·月考)若5x+2(3-x=-5x2+kx+p,则(k-p)2的平方根为() A.7 B.-7 C.7 D.49 【变式1】(25-26七年级上·全国期中)已知代数式(3a-b)2的值是4，则代数式6a-2b+5的值是() A.13 B.9 C.1 D.9或1 【变式2】(23-24七年级下·山东滨州期末)若x,y为实数，且2(x-3)2与V3y-12互为相反数，则 x2+y2的平方根为 【变式3】(24-25七年级下.全国期中)己知正实数x的平方根分别是n和n+a(a>0).若n2+(n+a=8, 则n+a的平方根为 题型04己知一个数的平方根，求这个数 【典例4】(25-26八年级上·辽宁本溪期末)一个正数x的两个不同平方根分别是2a-1和-a-3,则x的 值为() A.16 B.25 C.36 D.49 【变式1】(25-26七年级上·浙江绍兴期中)若一个正数的平方根分别为4-m和2m-11,则这个正数是() A.7 B.49 C.3 D.9 【变式2】(25-26七年级上山东烟台期末)一个正数的两个平方根分别是2a-5和-a+1,则这个正数 为」 【变式3】(25-26八年级上，宁夏银川期中)一个正实数x的两个平方根分别是a-7和2a+1,求这个正数. 题型05利用平方根解方程 【典例5】(24-25九年级上广东广州期中)方程(x-5)=16的根是() A.9 B.1 C.9或1 D.4或5 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26八年级上·上海嘉定·月考)方程(x-1)2=49的解是■ 【变式2】(25-26八年级上·江苏淮安期末)解方程： (1)4x2-9=0; (2)(x-3)2=64 【变式3】(25-26八年级上·河北衡水·期末)已知一个正数的两个平方根分别是a+6与2a-9. (1)求a的值； (2)求关于x的方程a(x+1)2=16的解. 题型06算术平方根及其非负性 【典例6】(25-26八年级上·海南海口期中)若1a+1川+(b-2)+Vc+3=0,则a+b+c的值是() A.0 B.1 C.-2 D.3 【变式1】(25-26八年级上·四川成都期末)若m为实数，且满足√m-4=0,则m的值为】 【变式2】(25-26八年级上四川成都期末)已知Vx+2+少-=0，那么(x+y)22的值为一· 【变式3】(25-26八年级下.全国·月考)已知实数a,b,c满足√a-1+b+1+c2-4c+4=0,求 a2026+b2026+c3的值. 题型07平方根与算术平方根的应用 【典例7】(25-26八年级上·重庆南岸期末)某小区新修了一个正方形花坛，己知其面积为50m',则其边 长介于() A.6m和7m之间 B.7m和8m之间 C.8m和9m之间 D.9m和10m之间 【变式1】(25-26八年级上·江苏宿迁期中)如果正方形的面积扩大为原来的6倍，那么边长扩大为原来 的() A.倍 B.√倍 C.6倍 D.6倍 【变式2】（25-26八年级上江苏徐州期末)图1为五个边长为1的小正方形拼成的图形，若将其剪、拼 成一个大正方形（如图2），则图2中的大正方形的边长为一 图1 图2 【变式3】(25-26八年级上·山东菏泽·期末)如图，四边形ABCD、DEFG、GHJ均为正方形.且正方形 ABCD面积为1O,正方形GHJ面积为4，若正方形DEFG的边长是整数，则DE=一 5/8 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E A D G 题型08与算术平方根有关的规律探究 【典例8】(24-25七年级下·云南普洱期末)一组按规律排列的式子：√2a',√5a3,2a‘,√5a3第n个式子 是() A.nd B.Vn+la c.√na2 D.Vn-la"-1 【变式1】(25-26八年级上山东枣庄期中)将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列 是√万，那么第101行第100列是() 0 12√3 √8√7652 3√10√T12131415 2423222ī2019√18√174 A.V10100 B.V10101 C.10102 D. V10103 【变式2】(25-26七年级上浙江杭州·期末)观察表格： a(ax … 0.0001 0.01 100 10000 … a 0.01 0.1 10 100 … 按表中规律，已知√20.26≈4.5011，则√202600≈ 【变式3】(25-26八年级上四川成都期末)有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了√2，√5，√4，√5，按 照这个方法继续画下去，画出的第2026个无理数是一， 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上河南洛阳·期末)请估计√2的值在() A.1和2之间B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 2.（25-26八年级上福建泉州月考)若√102.01≈10.1，√10.201≈3.41，则V1.0201的值约为() A.1.01 B.0.101 C.0.341 D.0.0341 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26八年级上山东济宁期末)伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h(米) 与下降的时间t(秒)的关系可以近似地表示为h=4.92(不计空气阻力)，一个伞兵在打开降落伞前的一 段时间内下降了980米，这段时间大约有()（精确到1秒） A.14秒 B.16秒 C.13秒 D.15秒 4.(25-26八年级下·全国课后作业)若V1-x+√y+2=0,则x,y的值分别是() A.1,2 B.1,-2 C.-1,2 D.-1,-2 5.(25-26七年级上浙江金华·月考)⑧1的平方根是(). A.±9 B.-9 C.±3 D.-3 二、填空题 6.(25-26八年级上山西晋中期末)计算： V2025 7. (25-26七年级上·北京海淀·期末)若一个正数的平方根为x+1和5-2y,则代数式2x-4y+13的值为 (25-26七年级上·浙江金华·月考)根据下表回答：√2.6896= 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 3 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 9. (25-26九年级上·重庆荣昌·期末)若m为正整数，且满足m<√19<m+1,m的值是_ 10.(25-26七年级下河南信阳·开学考试)一个正数x的平方根是2a-3与5-a,则这个正数x的算术平方 根是 三、解答题 11.（25-26七年级下·全国·课后作业)求下列各式中x的值. (1)9x2-25=0: (2)x-1+8=72 12.（25-26七年级下全国·周测)己知数A=6-2x有平方根. ()若数A的平方根是它本身，求x的值， (2)若a+1和2a-7是数A的平方根，求A的值 13.(25-26八年级上湖南邵阳·期末)【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式V(2-a)2+Va-4)2=2,求a的取值范围， 解：原式=a-2+a-4. 当a<2时，原式=2-a+(4-a=6-2a=2, 解得a=2(舍去)； 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当2≤a<4时，原式=(a-2)+(4-ad=2,等式恒成立； 当a≥4时，原式=a-2)+(a-4)=2a-6=2,解得a=4. 综上所述，a的取值范围是2≤a≤4. 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： ()当3≤a≤7时，化简：V3-a2+Va-7)}2; 2)若Va+12+Va-32=6,求a的值： 3)请直接写出满足Va-12+Va-6)2=5的a的取值范围为 14.(25-26七年级下·全国·月考)为了探究被开方数a的小数点与算术平方根√ā的小数点的移动规律，数 学小组设计了下表，通过观察回答问题。 a 0.0001 0.01 a … 0.01 x (I)上表中，x= y= (②)从表格中探究a与√ā数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题. ①已知√5≈2.236，则√500≈ ②已知√ā=2.646.若√b=264.6,则b= (用含a的代数式表示). (3)用语言概括你所发现的规律 15.（25-26七年级上浙江湖州期末)若(a-1x4-3=0是关于x的一元一次方程. (1)求a= (2)求2a2+3a+5的平方根. 8/8 专题2.1 平方根 教学目标 1. 理解平方根、算术平方根的概念与性质，明确正数、0、负数的平方根情况，能用根号规范表示平方根与算术平方根。 2. 掌握开平方与平方的互逆关系，能熟练求非负数的平方根与算术平方根，区分两者的联系与区别。 3. 能运用平方根知识解决已知正方形面积求边长等简单实际问题，提升数学抽象与运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握平方根与算术平方根的核心概念、表示方法及基本性质，明确正数有两个互为相反数的平方根，算术平方根是其中的非负根。 （2）熟练运用平方运算求非负数的平方根与算术平方根，能正确进行相关计算，为后续实数学习奠定基础。2.难点 （1）清晰区分平方根与算术平方根的概念，避免混淆两者的定义、表示与结果特征，理解 “双重非负性”。 （2）理解平方根的性质（负数无平方根、0 的平方根是 0），掌握开平方运算的逻辑，突破从正向平方到逆向开方的思维转换难点。 知识点01 算术平方根 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 ,读作“根号a”,a叫做被开方数. 规定:0的算术平方根是0. 【即学即练1】1．3是9的（    ） A．算术平方根 B．平方根 C．立方根 D．立方 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根定义是解题的关键．根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：， 是9的算术平方根． 故选：A． 2．如果有算术平方根，那么可以取的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．根据负数没有平方根，即可解答此题． 【详解】解：∵有算术平方根， ∴， 解得：， 可以取的值为0． 故选：D． 3．（1）的平方根是 ； （2）的平方根是 ，算术平方根是 ； （3）的平方根是 ，算术平方根是 ； （4）的平方根是 ，算术平方根是 ． 【答案】 5 【分析】分别利用平方根、算术平方根的定义计算即可． 平方根的定义：一个数x的平方等于a，这个数x叫a的平方根； 算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根． 【详解】（1）的平方根是________； （2）的平方根是________，算术平方根是____5____； （3）的平方根是________，算术平方根是_____； （4）的平方根是____，算术平方根是___． 故答案为： （1）；（2），5（3），；（4）， 【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根的定义，解题注意：一个正数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根． 知识点02 平方根 (1)平方根的相关概念 一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.如2和-2是4的平方根，简记为2是4的平方根. (2)平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数. 0的平方根是0. 负数没有平方根， (3)平方根的表示方法 正数a的算术平方根可以用表示;正数a的负的平方根,可以用，符号“-”表示,故正数a的平方根可以用符号“”表示,读作“正、负根号a”".如 =5. 【即学即练2】4．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是明确负数没有平方根，一个正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：A、负数没有平方根，无平方根，此选项不符合题意； B、，的平方根是，此选项不符合题意； C、，故是的平方根，此选项符合题意； D、的平方根是，此选项不符合题意． 故选：C． 5．的算术平方根是 ；的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键． 根据算术平方根、平方根的定义，即可进行解答． 【详解】解：的算术平方根是2； 的算术平方根是； 的平方根是． 故答案为：2，，． 6．已知的平方根为，已知的平方根为，则的算术平方根是 ． 【答案】5 【分析】此题考查了平方根、算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根、算术平方根的性质，从而完成求解． 根据平方根的平方等于被开方数的性质，通过求解一元一次方程，计算得x和y的值，根据代数式的性质计算，即可完成求解． 【详解】解：∵的平方根为， ∴， ∴ ∵的平方根为， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的算术平方根为5． 故答案为：5． 知识点03 平开方 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方,其中数a叫做被开方数. 平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系. 如4的平方为(4)2=16,反过来16的平方根为=4. 【即学即练3】7．的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，需先将带分数化为假分数，再依据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， 又∵算术平方根的结果为非负数，且， ∴． 故选：A． 8．的值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，直接计算的算术平方根，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴的值是5， 故选：A． 9．计算 ． 【答案】 2 【分析】本题考查的是算术平方根．熟知算术平方根的定义是解题的关键． 根据，由算术平方根的定义得． 计算4的算术平方根． 【详解】∵ ， ∴根据算术平方根的定义，． 故答案为：2． 知识点04 平方根的估算 要估算“ (a≥0)”的近似值，第一步先确定估算数的整数范围,如.22<7<32,所以2< <3;第二步以较小整数为基础,开始逐步加0.1(或以较大整数为基础,开始逐步减0.1),并求其平方，确定被估算数的十分位;;如此继续下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夹逼法” 【即学即练4】10．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算． 通过确定的取值范围，再计算的范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴的值在5和6之间． 故选：A． 11．一个正方形的边长为米，若其面积为平方米，则介于哪两个相邻整数之间?（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，关键是熟练应用方法进行解题；先根据正方形面积公式得出，再通过计算相邻整数的平方，利用平方数的大小关系估算的取值范围． 【详解】∵，， ∴ ∵， ∴， 即：， 故选：B． 12．满足的所有整数的和是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了无理数的估算，估算出和的范围，进而确定满足题意的整数x的值，再求和即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴满足的整数有 ， ， 故答案为：2． 题型01 算术平方根与平方根的概念与表示方法 【典例1】（25-26七年级下·全国·月考）下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，平方数的非负性，掌握平方根仅对非负数有定义，利用平方数的非负性判断式子的正负是解题的关键． 平方根仅对非负数有定义，因此需找出无论取何值恒为负数的选项． 【详解】解：A、当时，，可能有平方根，不符合题意； B、当时，的值为，有平方根，不符合题意； C、恒成立，总有平方根，不符合题意； D、恒成立，故一定没有平方根，符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江金华·期末）关于“”的三种说法：①表示25的平方根；②；③是无理数．其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】根据算术平方根、平方根的定义以及无理数的定义，逐一判断三种说法的正误，统计正确的个数即可．本题主要考查算术平方根与平方根的区别，无理数的定义，明确算术平方根是非负数是解题的关键． 【详解】解：∵表示25的算术平方根，25的平方根是， ∴①说法错误． ∵， ∴②说法正确． ∵，5是有理数， ∴③说法错误． 综上，正确的个数是1个； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若没有平方根，则x的值可能为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据平方根的性质，负数没有平方根，因此 ，解不等式可得 ，从而确定 的可能值． 本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握负数没有平方根是解决本题的关键． 【详解】解：∵没有平方根， ∴，即， 解得， 因此 的值可能为2（或其他小于 2.5 的数） 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·山东济南·期末）的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是算术平方根的知识，掌握算术平方根的定义是解题的关键；根据算术平方根的定义，求的非负平方根． 【详解】解：∵， ∴的平方根是和， 算术平方根是 故答案为：． 题型02 求一个数的算术平方根与平方根 【典例2】（25-26八年级上·山东济南·期末）4的平方根是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的定义，若，则x是a的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴4的平方根是， 故选：D 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）下列说法错误的是（   ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方根以及算术平方根的定义．分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项． 【详解】解：A、是25的平方根，说法正确，该选项不符合题意； B．，则的算术平方根是2，说法正确，该选项不符合题意； C、的平方根是，故原说法错误，该选项符合题意； D、，说法正确，该选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方，再求平方根即可． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根，根据平方根的性质，一个数的算术平方根的平方等于这个数本身. 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：2. 题型03 求代数式的平方根 【典例3】（24-25八年级上·河南新乡·月考）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 题型04 已知一个数的平方根，求这个数 【典例4】（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）一个正数的两个不同平方根分别是和，则的值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个数的平方根求这个数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程求出a的值，再根据平方根的定义可得x的值． 【详解】解：∵一个正数的两个不同平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是（   ） A．7 B．49 C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质与定义，熟练掌握平方根的性质与定义是解题的关键．利用正数的平方根互为相反数的性质，列出方程求解，再求平方根，最后得到这个正数。． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 化简得：， ∴， 则这个数的平方根为和， ∴这个正数为， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根，解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出a的值，继而可求出这个正数． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴这个正数为， 故答案为：9． 【变式3】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）一个正实数的两个平方根分别是和，求这个正数． 【答案】25 【分析】本题考查了平方根和相反数的应用，求出的值是解题的关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，可得，解方程即可求出该数的平方根，即可求解． 【详解】解：∵一个正实数的两个平方根分别是和， ∴， 解得，， ∴这个正数是． 题型05 利用平方根解方程 【典例5】（24-25九年级上·广东广州·期中）方程的根是（   ） A．9 B．1 C．9或1 D．4或5 【答案】C 【分析】本题主要考查利用平方根的定义解方程．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 开方得， ∴或， 解得或， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·上海嘉定·月考）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键． 直接运用平方根解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，解得：， 当时，解得：． 综上，，． 故答案为：， 【变式2】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义，转化为两个一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 则或 或． 【变式3】（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知一个正数的两个平方根分别是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根的概念，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． （1）正数的两个平方根互为相反数，构造方程并求解即可； （2）使用直接开方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得； （2）解：将代入方程，得， ， 两边开方，得， 解得，． 题型06 算术平方根及其非负性 【典例6】（25-26八年级上·海南海口·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 根据绝对值、平方及算术平方根的非负性可得，求出的值再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）若为实数，且满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的定义，若平方根等于零，则被开方数必须为零． 【详解】由，根据平方根的性质，得，解得． 故答案为：4． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式和绝对值， 根据，，，可得， ． 【详解】解：根据，，，可得 ， ． 即 ，． 解得 ，． 所以． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级下·全国·月考）已知实数，，满足，求的值． 【答案】 10 【分析】本题考查非负数的性质，包括算术平方根、绝对值和完全平方的非负性，以及代数式的求值。通过分析方程中各项的非负性，得出每个部分均为零，从而求出未知数的值，再代入所求表达式计算. 【详解】解：由题意可得： 【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值和完全平方的非负性，解决本题的关键是熟练掌握非负数的性质. 题型07 平方根与算术平方根的应用 【典例7】（25-26八年级上·重庆南岸·期末）某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的应用，估算算术平方根的取值范围．先求出正方形花坛的边长为，再通过比较平方数确定其范围． 【详解】解：设正方形边长为， 正方形花坛的面积为， ， ， ，，且， ， 正方形边长介于和之间， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如果正方形的面积扩大为原来的6倍，那么边长扩大为原来的（   ） A．倍 B．倍 C．6倍 D．6倍 【答案】B 【详解】本题考查了算术平方根的应用，求边长扩大为原来的多少倍，实际上是求扩大面积的算术平方根，即求6的算术平方根． 【分析】解：设原边长为a，原面积为S，则， ∵ 新面积，   设新边长为b，则，   ∴，   故边长扩大为原来的倍， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）图1为五个边长为1的小正方形拼成的图形，若将其剪、拼成一个大正方形（如图2），则图2中的大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，关键是明确剪拼前后图形的面积相等．首先计算五个小正方形的总面积，再根据大正方形的面积等于该总面积，利用正方形面积公式求出边长． 【详解】解：根据题意，图1中五个小正方形的总面积为， ∴大正方形的面积为5， 设大正方形的边长为，根据正方形面积公式得， 解得(负值舍去)． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，四边形、、均为正方形．且正方形面积为10，正方形面积为4，若正方形的边长是整数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，由题意可得，，由图形可得，估算出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵正方形面积为10，正方形面积为4， ∴，， 由图形可得：， ∵， ∴，即， ∵正方形的边长是整数， ∴， 故答案为：3． 题型08 与算术平方根有关的规律探究 【典例8】（24-25七年级下·云南普洱·期末）一组按规律排列的式子：第个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式规律，观察代数式变化部分与序号的关系是解决问题的关键． 通过观察给定式子的系数和指数规律，发现系数为，字母的指数为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子： ； 第4个式子：； 综上所述，该组式子的规律为：， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．通过观察可知第n行第列：n为偶数时，n为奇数时，由此规律即可求解． 【详解】解：第2行第1列， 第3行第2列， 第4行第3列， 第5行第4列， …… 第n行第列： n为偶数时， n为奇数时， 当时，第101行第100列为． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）观察表格： 按表中规律，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期末）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了 按照这个方法继续画下去，画出的第2026个无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数，由于有理数仅出现在被开方数为完全平方数的项，通过计算前2025个数中有理数的个数为45个，可得第2026个无理数对应的被开方数． 【详解】解：， 当（为正整数）时，为有理数， ，，，， 第个无理数是，第个无理数是． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小．由，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·福建泉州·月考）若，，则的值约为（    ） A．1.01 B．0.101 C．0.341 D．0.0341 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵被开方数由102.01到1.0201缩小了100倍 ∴结果由10.1缩小10倍，即1.01． 故选：A． 3．（25-26八年级上·山东济宁·期末）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度（米）与下降的时间（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有（   ）（精确到1秒） A．14秒 B．16秒 C．13秒 D．15秒 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，解题的关键是掌握算术平方根的定义； 将已知下降高度代入给定公式，通过求解算术平方根得到下降时间，再精确到1秒即可选出答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得（负值已舍）， ∴， 故选：A． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则的值分别是（    ） A．1，2 B． C．－1，2 D．－1，－2 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，牢记算术平方根的非负性是解题关键，利用算术平方根的非负性求解，即算术平方根的值恒为非负数，两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0． 【详解】∵算术平方根具有非负性， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， 解得，， 故选：B． 5．（25-26七年级上·浙江金华·月考）的平方根是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根的定义，掌握平方根、算术平方根的定义并认真审题是解题关键，先计算的值，再根据平方根的定义求解该结果的平方根即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴9的平方根是，即的平方根是． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·山西晋中·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．利用二次根式商的算术平方根的性质即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 7．（25-26七年级上·北京海淀·期末）若一个正数的平方根为和，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质及代数式的整体代入求值，关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”这一性质得到与的关系式，再对所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：∵一个正数的平方根为和， ∴， 整理得：， ∴； 故答案为：． 8．（25-26七年级上·浙江金华·月考）根据下表回答： ． x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 【答案】1.64 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟知定义是解本题的关键． 根据算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，这个正数就叫做a的算术平方根，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·重庆荣昌·期末）若m为正整数，且满足，的值是 【答案】16 【分析】本题主要考查了无理数的估算、有理数乘方等知识点，确定m的值是解题的关键． 通过比较与相邻整数的平方，确定m的值，再计算即可解答． 【详解】解：∵ ， ，且， ∴， ∵ ∴，即． 故答案为：16． 10．（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义及性质，关键是掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”这一核心知识点．先利用两个平方根互为相反数的性质列出关于的方程，求解得到的值；再代入平方根的表达式求出正的平方根，即为该正数的算术平方根． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数的算术平方根是7； 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）先移项，然后方程两边同时除以，再根据平方根的定义即可作答； （2）先移项、合并同类项，再根据平方根的定义即可作答． 【详解】（1）解：移项，得． 两边都除以，得． 由平方根的定义，得． （2）解：移项，得． 合并同类项，得． 由平方根的定义，得， 即或． 12．（25-26七年级下·全国·周测）已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 【答案】(1) (2)81或9． 【分析】本题考查了平方根的性质，解题关键是利用“平方根等于本身的数是” 和“一个数的两个平方根要么互为相反数，要么相等”这两个核心性质来建立方程． （1）一个数的平方根是它本身，说明这个数是，由此可列方程求； （2）一个数的平方根有两种情况：互为相反数或相等，需分类讨论，据此列方程求出，再代入求． 【详解】（1）解：∵数的平方根是它本身， ∴． 解得：． （2）解：∵和是数的平方根， ① 解得： 解得：． 将代入，得一个平方根为， ∴． ② 解得： 将代入，得一个平方根为， ∴． ∴ 的值为或． 13．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：； (2)若，求的值； (3)请直接写出满足的a的取值范围为_____． 【答案】(1)4 (2)或4 (3) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、解绝对值方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）先计算算术平方根，再根据a的取值范围去绝对值即可求解． （2）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． （3）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）∵， ∴， 当时，， 解得， 当时，，此时方程无解； 当时，， 解得； 综上所述，的值为或4． （3）解：∵， ， 当时，原式， 解得， 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式， 解得（舍去）， 综上所述：a的取值范围为． 14．（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 15．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）若是关于的一元一次方程． (1)求________； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，含乘方的有理数混合运算，平方根的定义，熟练掌握相关定义，准确计算为解题关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，，即可得出答案； （2）将代入式子求出结果，再求平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 又， ， ； （2）， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $