第7章 锐角三角函数（高效培优单元测试·提升卷）数学苏科版九年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第7章锐角三角函数（高效培优单元测试提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。) 1.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=2BC,则sinA=() A青 B. √2 c.5 D.2v5 4 5 5 【答案】C 【详解】：如图，设BC=a,则AC=2a, B :∠C=90°， :AB=BC2+AC2=a+(2a)2=5a. .sin4=BC= AB 5a 5 故选：C, 2.比较cos42°与sin42°的大小，结果是() A.前者大 B.一样大 C.后者大 D.以上情况都有可能 【答案】A 【详解】解：：cosa=sin90°-a), .c0s42°=sin(90°-42）=sin48°， :在0°<a<90°范围内，正弦函数值随角度增大而增大， 又.48°>42°， .sin48o>sin42°， 即cos42°>sin42°. 3.如图，在平面直角坐标系中点P(8,6),连接OP,若OP与x轴正半轴夹角为，则cosa的值为() 1/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .P(8,6) 人a B. 4 c 【答案】B 【详解】解：过P作PN⊥x轴于N,则LPNO=90°， y P(8,6) :点P(8,6), 0N=8,PN=6,0P=V62+82=10, ON 4 .cosa= 故选：B. 4.如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M,则sinZAMD=() MB A.2 22 3V2 2 B. C.25 D. 3 5 【答案】C 【详解】解：如图，取格点J,连接AJ,B, 2/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :J=√22+4=2W5,BJ=V32+4=5,AB=P+2=5,且(5)+(25=52， .AJ2+AB2 =BJ2, △AJB是直角三角形，且∠BAJ=90°， 由网格的特征得BJ‖CD, .∠AMD=∠ABJ, ÷sin∠AMD=sin∠AB/=4W-25 BJ 5 故选：C 5.如图，四边形ABCD内接于O0,对角线AC经过圆心，∠BAD=45°，BC=2,CD=2√2，则O0的半 径长度是() B A.1+5 B.2+√2 C.10 D.25 【答案】C 【分析】 【详解】解：连接OD,OB,BD,过点D作DE⊥BC于点E, D .E ∠BAD=45°， ∴.∠DOB=2∠BAD=90°，∠DCB=180°-∠BAD=135°， .∠DCE=180°-135°=45°， :DE⊥BC, :△DCE为等腰直角三角形， :DE=CE=DCxsin∠DCE= CD= ×2V2=2, 2 2 .BE=BC+CE=4, BD=DE2+BE2=25, 3/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0D=0B,∠D0B=90°， OD2BDs v2 2 x25=√10， 故选：C 6.如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC=6km,一艘货轮D在岛A 的正北方向，且台、D、C三点在一条直线上，DC:BD,则am∠4c8的值是（参考数漏： 5c0s374 sin370 tan37e3）() 4 北 B D 37° A A. 5 B. 、> e D. 21 21 2 【答案】C 【分析】 【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD,垂足为M, 北 M B< 37 :AC⊥AD, BM∥AC, ∴.△BDM∽△CDA, BM BD CACD 5BD,AC =6km, DC= BM 2 65’ 得：BM=2 12 在Rt4BM中，由sin∠BAD=sin37°=BM-三≈3， ABAB 5 4/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得AB≈4· 在RtABM中，AM=AB×cos37°≈4x4_16 55 .△BDM∽△CDA, :DM BD 2 三一 AD CD 5 4D3AMe16x3=16 -X 577 的 在Ria4DC中，an∠ACB=4D-Z=8· 故选：C. 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分.） 7.计算√2sin45°+√3tan60°= 【答案】4 【分析】 【详解】解：原式=2×5+5x万 2 2+3 2 =1+3 =4, 故答案为：4. 8.如图，是由9个小等边三角形组成的等边三角形网格，点A、B、C是网格的格点，连接AB,则 tan∠ABC的值为 【答案】 2 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D, 5/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 由题意可知，△BCE是等边三角形， ∠C=60°， ∴∠CAD=90°-∠C=30°， c0-c. 设每个小等边三角形的边长为aa>0), .AC=2a,BC=3a, .CD=a, BD BC-CD=2a,AD=AC2-CD2=3a, 六在R△ABD中，an∠ABC=AD-5 BD 2 故答案为： V3 9.如图，某坡度i=1:√的山坡，已知坡面AB=300米，则该山坡的高度BC是米. 【答案】150 【分析】 【详解】解：坡度i=BC-↓=V区 则anA= 3 故∠A=30°， 1 故BC=ABsin30°=300×二=150（米）. 2 故答案为：150. 6/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.如图，某汽车车门的底边长为Q米，车门侧开后的最大角度为阝，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边 上所有点中到车身的最大距离是 米（用含a和B的式子表示）· 【答案】asin B 【详解】解：过点N作NH⊥OM于点H,则NH为最大距离， ○ H 在RIAOHN中， 0N=a,∠NOH=B, :NH=ON.sin∠WOH=asinβ， 故答案为：asin B. ,如图，在ABC中，∠C=90°，AB=10,anA,过AB边上一点P作PE上AC于点 PF⊥BC于点F,E,F是垂足，则EF的最小值等于」 E 【答案】4.8 【详解】解：如图，连接EF,CP, 7127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :在ABC中，∠C=90°，AB=10,a4=手 3 BC 3 :AC4,BC2+AC2=AB2=100, BC=6,AC=8, :PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F, ∠ACB=90°， 四边形ECFP是矩形， .EF =CP, .当CP⊥AB时，CP的长度最小，即EF的长度最小， CP=4.8, .EF的最小值为4.8， 故答案为：4.8. 12.当四边形中一个内角aα是另一个内角的两倍时，我们称此四边形为“特征四边形”.已知一个菱形ABCD 是特征四边形，AC<BD,点E是直线BD上一点，且BE=BD,连接AE,则tanLAED的值为 4 【答案】25或25 3 9 【详解】解：设菱形ABCD的对角线交于点O,菱形边长为2x, C :四边形ABCD为菱形， -1qHH一三0g77// 因为菱形邻角互补，且为“特征四边形”， 可设较小内角为B,则2B+B=180°， 解得B=60°， 即∠ABC=60°，∠BAD=120°， 8/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.ZABO= 1∠ABC=30°， 在RtAAOB中，AB=2x,∠AB0=30°， AO=。AB=x, 2 :BO=AB2-0A2=3x, .BD=2B0=2V3x, BE-I8D-1x2x-x 4 4 2 ①当点E在线段BD上时， 0E=B0-BE=5 t, 在R△A0E中，an∠ABD=40-25, OE 3 ②当点E在线段DB的延长线上时： C .OE=BO+BE= 35 2t, 在R1△A0E中，an∠ABD=A0_25, OE 9 故答案为： 2w5或25 9 13.如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶 端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走12√5米到达斜坡上点D,在此处测得树顶端点B的仰角为 26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2.依据他们测量的数据求出大树BC的高度 (参考数据： sin26.7°≈0.45，c0s26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50) 9/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F 12679 D 45 C 【答案】48米/48m 【详解】解：作DH⊥AE于H,过点D作DG⊥BC于点G,如图所示： B 267 D AG X45 E H A 习 C 在RtAADH中， DH 1 AH-2 .AH 2DH, AH2+DH2=AD2, (2DH2+DH2=12V5, .DH=12(米)， .AH=2DH=24(米)， :∠DHC=∠HCG=∠DGC=90°， 四边形DHCG为矩形， .DH=CG,DG=HC, 设BC=x米， 在Rt△ABC中，∠BAC=45°， ∠ABC=90°-∠BAC=45°=∠BAC, AC=BC=x米， :.在矩形DGCH中，DH=CG=12米，DG=CH=AH+AC=x+24)米， 在Rt△BDG中，BG=BC-CG=BC-DH=x-12米， BG :tan∠BDG= DG 10/27 第7章 锐角三角函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 2．比较与的大小，结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．以上情况都有可能 3．如图，在平面直角坐标系中点，连接，若与x轴正半轴夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形网格图中，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形内接于，对角线经过圆心，，，，则的半径长度是（    ） A． B． C． D． 6．如图，港口B位于岛A的北偏西方向，灯塔C在岛A的正东方向，，一艘货轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，，则的值是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．计算 ． 8．如图，是由9个小等边三角形组成的等边三角形网格，点A、B、C是网格的格点，连接，则的值为 ． 9．如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是 米． 10．如图，某汽车车门的底边长为米，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是 米（用含和的式子表示）． 11．如图，在中， ，，，过边上一点 P 作于点E，于点F，E，F 是垂足，则的最小值等于 ． 12．当四边形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此四边形为“特征四边形”．已知一个菱形是“特征四边形”， ，点E是直线上一点，且，连接，则的值为 ． 13．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为．依据他们测量的数据求出大树的高度 ．（参考数据：，，） 14．如图，矩形的顶点O为平面直角坐标系的原点，点B在y轴正半轴上，连接交于点D，若且，则顶点A的坐标为 ． 15．如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是 ． 16．如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，点Q为的中点，连接．将绕点C在平面内旋转，则的最小值和最大值分别为 ． 三、解答题（本题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）（1）计算：．     （2）求中锐角的值． 18．（8分）如图，在中，，，．求和的值． 19．（8分）某校数学综合与实践小组到遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙(如图)，记作，同学们测得，，，求的长度．(精确到，参考数据：，，，，，) 20．（8分）如图，在中，，，． (1)求和的长； (2)直接写出点到线段的距离． 21．（8分）如图，是的直径，是上一点，过点作的垂线，分别与的延长线，交于点，．若，，求与的长． 22．（8分）如图，某渔轮在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在海军舰艇的北偏东、距离为海里的处，并测得该渔轮正沿南偏东的方向行进．海军舰艇立即沿北偏东的方向前去营救，与渔轮在处相遇．求渔轮的航程和海军舰艇的航程． （参考数据：．） 23．（8分）如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，E．连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（8分）综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． (1)【初步尝试】填空　　　　　（填“=”或“≠”）． (2)【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，，求的值”这一问题时，小明想构造包含角的直角三角形，延长到点D，使，连接，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小明的思路写出求的值的过程． (3)【拓展延伸】如图2，在中，，，，求的值． 25．（8分）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得． (1)如图2，___________度； (2)如图2，求点到靠背的距离；（精确到） (3)如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知杯托凹陷深度为，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度． 26．（8分）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： (1)计算： _________； (2)如图2，在中，，求的长； (3)已知，且，求的值． 27．（10分）如图，为的外接圆的直径，为的延长线上一点，连接并延长至点，过点E作于点，交于点G．若 (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $