专题7.6 用锐角三角函数解决问题（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

专题7.6 用锐角三角函数解决问题 教学目标 1.掌握解直角三角形实际问题的一般过程，能建立数学模型转化实际问题 2.理解并熟记坡度、仰角俯角、方向角等概念，明确其几何意义 3.能结合题意画几何图形，构造直角三角形解决各类实际问题 4.会检验解题答案，确保结果符合实际意义并规范作答 教学重难点 重点 熟记坡度、仰角俯角、方向角的定义及几何表示 掌握解实际问题的四步流程，能将实际问题转化为解直角三角形问题 学会作垂线构造直角三角形，运用边角关系求解 难点 准确理解实际问题中的专业术语，快速画出对应的几何图形 灵活构造直角三角形，将非直角三角形问题转化为可解的直角三角形问题 结合实际场景分析条件，合理选用边角关系求解并验证答案 知识点01 解实际问题的一般过程 （1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； （2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； （3）根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 【即学即练】 1．（2025·26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知梯子的长为米，，，则梯子顶端离地面的高度为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：在中，，，即，， ∴， 故选：A． 2．（2025·26九年级上·吉林长春·月考）如图，要测量小河两岸相对的两点，的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽等于（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：在中， ∴ 故选：A． 知识点02 坡度坡角 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 【即学即练】 3．（2025·26九年级上·福建泉州·期末）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在C处操控无人机巡查，无人机从点C处飞行到点A处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得C处到A处的距离为500米，无人机从点A测得C点的俯角为，据此算出B，C之间的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：由题意，，， ∴； 故B，C之间的距离是米； 故选D． 4．（2025·26九年级上·上海普陀·月考）如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为 米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】 【详解】解：如图所示 ， 故答案为． 知识点03 仰角俯角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 【即学即练】 5．（2025·26九年级上·上海·期中）沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：设沿一斜坡向上走3米，水平距离为米，根据勾股定理： （米） 坡度， 故答案为：． 6．（2025·26九年级上·吉林长春·期中）如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是 m． 【答案】3 【详解】解：滑坡的坡度是， 在中，． ， ． 故答案为：3． 知识点04 方向角问题 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角，叫做方向角，如图中的目标方向线的方向角分别表示北偏东，南偏东，南偏西，北偏西.特别如：东南方向指的是南偏东，东北方向指的是北偏东，西南方向指的是南偏西，西北方向指的是北偏西 【即学即练】 7．（2023·24九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行 海里．    【答案】 【详解】解：由题意，得：海里， ∴海里； ∴渔船每小时航行海里； 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 8．（2022·23九年级上·吉林长春·月考）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】 【答案】海里 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，， ∵，， ∴（海里），（海里）， 在中，，， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴、两岛之间的距离约为海里． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，掌握方位角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 题型01 坡度坡角问题 【例1】已知某斜坡的坡度，则斜坡的坡角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵斜坡的坡度，且， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【例2】暑假期间，小刚一家到某旅游风景区登山．他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，在同一平面内．求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，，，，．） 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，于， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， 答：缆车的行驶路线的长为． 【变式1-1】如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，，则的长度是 ．   【答案】8 【详解】解：∵迎水坡的坡度是， ∴， 又， ∴ 在中，， 故答案为：8． 【变式1-2】如图，已知斜坡长，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线的休闲平台和一条新的斜坡．若修建的斜坡的坡度为，则休闲平台的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作于点，延长交于点， 则， ，， ， ， ， ， ， ，， 平行于，， 是矩形， ， ， ， 斜坡的坡度为， ， ， ． 故选：D． 【变式1-3】如图，一楼房后有一假山，其坡度为，山坡坡面上点处有一观测点，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与观测点E的距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为．注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 (1)求观测点的铅直高度； (2)求楼房的高．（结果精确到米，参考数据，） 【答案】(1)9米 (2)米 【分析】 【详解】（1）解：过点作的延长线于，于点， 在中，， ， 米． 答：观测点的铅直高度为米； （2）解：∵米，， ∴， ∴米， 米， 在中， ， 米， （米）． 答：楼房的高为米． 题型02 仰角俯角问题 【例3】宿州万达广场CBD双子楼是宿州市的标志性建筑．某数学兴趣小组用无人机测量双子楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得双子楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得双子楼底端B的俯角为，点均在同一平面内，求双子楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【详解】 解：延长交直线于点． 平行于地面，垂直于地面， ，． ， ． 在中，，， ． 双子楼的高度为． 【例4】2026年总台春晚分会场花落合肥，央视春晚的聚光灯将照亮江淮大地．合肥骆岗公园是由323公顷废弃机场蜕变而来的城市绿肺，首个以城市更新为核心，全园免费开放的大型公园，从硬地到生态奇迹．下图是骆岗公园的标志性建筑——全向信标台．小明利用周末时间，前往骆岗公园，借助三角函数知识，对全向信标台的高度进行测量，得到以下数据：如图，在点用垂直于地面放置的测角仪测得顶端的仰角为，在处测得的仰角为两点水平距离为，测角仪高为．求全向信标台的高度（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】全向信标台的高度约为． 【分析】 【详解】解：根据题意，得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：全向信标台的高度约为． 【变式2-1】无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离约为 m．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】49 【分析】 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴A处到B处的距离为． 故答案为：49． 【变式2-2】如图，在数学综合实践活动中，同学们利用测量仪和所学的数学知识对山坡上一凉亭的高度进行测量．已知测量仪的高度为，其底部点B到凉亭的底部C的距离为，此时在A处测得凉亭的顶端D的仰角为，且山坡与水平线的夹角为．求凉亭的高度（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】凉亭的高度为8.7米 【详解】解：如图，分别延长，与的延长线相交于点H，与相交于点G，则由图和题意可知，四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， ，； 在中，， ， ∴； ∴凉亭的高度为8.7米． 【变式2-3】如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇身高为米，他站立在离大楼45米的处测得大楼顶端点的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点处，测得广告牌顶端点的仰角为．（取计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 【答案】(1)楼高为米 (2)广告牌的高度为米 【分析】 【详解】（1）解：在中，米； 由 ， 得米； ∵米， ∴米， 答：楼高为米； （2）解：∵在中，米， ， ∴米； ∴米； 答：广告牌的高度为米． 题型03 方向角问题 【例5】如图，在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处执行任务．在观测点的西北方向且在观测点的西南方向海里处，观测点在观测点的正北方向，目的地在观测点的北偏东方向且在观测点的北偏东方向． (1)求的距离． (2)求的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】 【详解】（1）解：如图所示： 题意可得，，（海里）， ∴ ∴（海里）， ∵目的地在观测点的北偏东方向且在观测点的北偏东方向， ∴，， ∴， ∴， ∴（海里）． （2）解：如图，过点作于， ∵，海里 ∴（海里）， ∵， ∴（海里）． 【例6】如图，A、B、C、D是某海平面上的四个岛屿，其中B岛位于A岛的正北方向，D岛位于A岛的南偏东方向，C岛分别位于B岛的正东方向海里和D岛的东北方向30海里处．（参考数据：、） (1)求A岛和B岛之间的距离；（结果保留到小数点后一位） (2)现有甲、乙两艘渔船分别从B岛、D岛同时出发匀速直线开往C岛，已知乙渔船的速度是甲渔船速度的倍，当两艘渔船行驶到相距10海里时，求甲渔船行驶的里程数．（结果保留根号） 【答案】(1)8.9海里 (2)海里 【分析】 【详解】（1）解：如图一，过点D作，过点A作， 则， 由题意知：，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴（海里）． 答：A岛与B岛之间的距离约为8.9海里． （2）解：如图二，假设甲、乙两艘渔船分别行驶到点P和点M时相距10海里，过点M作于点N． 设甲渔船行驶了x海里，则乙渔船行驶了海里． 在中，∵，海里， ∴海里， ∴海里， ∴（海里）， 在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：当两艘渔船行驶到相距10海里时，甲渔船行驶了海里． 【变式3-1】如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距，C景点位于A景点北偏东方向上，位于B景点北偏西方向上，则A，C两景点相距 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意得，，， ∴， 在中，， ∴， ∴A，C两景点相距． 故答案为：． 【变式3-2】“青山绿水，生态农业”．某地需引水修建水库，既可蓄水灌溉，又可美化环境．据了解，水库C修建在水源A的正东方向，在水源A的北偏东方向有一古迹B，B与A相距，其中水库C在古迹B的东南方向．（参考数据：，） (1)若在水源A与水库C之间修建一条水渠，求该水渠的最短长度． (2)在古迹B的西南方向处有一古墓群E，为了保护文物，不破坏古墓，在古墓群周围范围内不得进行任何土工作业，判断按照（1）中的方式修建水渠是否合理，并说明理由．（结果保留两位小数） 【答案】(1)该水渠的最短长度约为 (2)合理，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：过点作于， 由题意得，，， 在中，，， ， ， ， 根据“两点之间，线段最短”，可知线段的长即为所求， 答：该水渠的最短长度约为； （2）解：按照（1）中的方式修建水渠合理，理由如下： 如图，延长交于点，作于，过点作于点， 则， 由题意得，， 在中，， ， 在中，， ， 没有破坏文物的可能，即按照（1）中的方式修建水渠合理． 【变式3-3】某校数学兴趣小组为测量湖中间两座灯塔A和B之间的距离，在沿湖笔直公路l上取点C，D进行测量．为方便计算，点C，D分别位于灯塔A，B的正南方向．现测得灯塔A位于点D北偏西方向，灯塔B位于点C北偏东方向．已知m． （参考数据：，，，，，） (1)分别求点C距离灯塔A的距离和点D距离灯塔B的距离； (2)求A，B两座灯塔间的距离． 【答案】(1)点C距离灯塔A的距离为，点D距离灯塔B的距离为 (2)A，B两座灯塔间的距离为 【分析】 【详解】（1）解：点C，D分别位于灯塔A，B的正南方向， ，， ， ，， ，， （m），（m）， 点C距离灯塔A的距离为，点D距离灯塔B的距离为； （2）解：连接，过点A作于点E， ，， 四边形是矩形， ，， （m）， （m）． ，B两座灯塔间的距离为． 题型04 赵爽弦图与解直角三角形 【例7】我国数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结并延长交于点H，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 解得：或， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【例8】勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱，小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， 由“弦图”的性质可得，两个正方形之间是4个全等的直角三角形， ，， 正方形与的边长之比为， 设正方形的边长为，则正方形的边长为， 设，， 由“弦图”可得， 解得：或（舍去）， ，， ，， ， 是等腰直角三角形，，， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 【变式4-1】早在1700多年前中国古代数学家赵爽就在注解《周髀算经》时给出可以证明著名的“勾股定理”的几何图形，人们称它为“赵爽弦图”，如图所示的“弦图”由四个全等的直角三角形（，，，）围成大正方形（正方形）．连接，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：设，， ∴， ∵， ∴， 故选:A 【变式4-2】如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与二个正方形拼成的．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则的值为 ． 【答案】 【详解】∵ 大正方形的面积是125，小正方形的面积为25， ∴ 大正方形的边长为 ，小正方形的边长为5 ， 设直角三角形中所对的直角边为x， 则 ， 解得：x1=5，x2=-10（舍去）， ∴ sin= ， ∴ cos= ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，正方形的面积，难度适中． 【变式4-3】公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则 ． 【答案】 【详解】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25， ∴大正方形的边长AB=5，小正方形的边长CD=5， 在Rt△ABC中 BC=AD=sinθ×AB=5sinθ，AC=cosθ×AB=cosθ， ∵AC-AD=CD， ∴5cosθ-5sinθ=5， ∴cosθ-sinθ=， ∴(cosθ-sinθ)2= ∴(sinθ-cosθ)2=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正方形的面积，难度适中． 题型05 其他应用问题 【例9】近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求该机器人的最高点距地面的高度．（结果保留1位小数，参考数据，，） 【答案】 【分析】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，过点作于点， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 答：机器人的最高点距地面的高度为． 【例10】如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，，，，，） (1)求液压杆顶端到底盘的距离的长； (2)求的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】 【详解】（1）解：∵液压杆与底盘夹角为，，，， ∴在中，（米）， 即的长为米； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴（米）， 即的长为米． 【变式5-1】为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩，如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） (1)求遮阳篷边缘点到墙体的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 【答案】(1)遮阳篷边缘点到墙体的距离为米； (2)阴影的长为米． 【分析】 【详解】（1）解：在中，米，，， ∴（米）． 即遮阳篷边缘点B到墙体的距离为米； （2）解：如图2，过点B作于点G， ∴，， ∴， 在中，米，，， ∴（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵米，米， ∴（米），米， ∴（米）， 即阴影的长为米． 【变式5-2】为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)支点C离桌面l的高度为 (2)当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加，增加了约 【分析】 【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 答：支点C离桌面l的高度为； （2）解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵， ∴， 当时， ； 当时， ； ∴， 答：当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加，增加了约． 【变式5-3】图1是一款可以调整铅笔位置的圆规，图2是该圆规的简易结构图，已知，，．在调整铅笔位置时始终垂直平分，和交于点F．如图3，当圆规的两个脚和闭合，即O，D，A三点在同一直线上时，调整铅笔的位置，定位针针尖A点与笔尖B点恰好能重合．（计算结果均精确到0.1，参考数据：；；．） (1)求的长． (2)如图4，调节圆规的两个脚和，使得．调整铅笔的位置，圆规可以画出半径最小的圆，求该最小圆半径的长．（注：假设足够长．） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵，F为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交于点M， ，，， ，， 在中，， 当，，所画圆的半径最小， ∴， 即所画圆半径最小为． 一、单选题 1．如图，坡度为的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵坡比为的斜坡上两树间的水平距离为， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图所示，热气球探测器在A点处，点B为楼顶，点C为楼底，为水平线，为经过点A的铅垂线，则下列说法正确的有（    ） ①为仰角；②为仰角；③为俯角；④为俯角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵仰角、俯角是视线方向与水平线的夹角， ∴为仰角，为俯角，故②③正确，①④不正确， ∴正确的有2个， 故选：B． 3．如图，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为（在同一条直线上）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵两根拉线与相互垂直，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 4．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的长度是，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∴． 故选：A． 5．山西曲沃县望母楼，始建于明朝万历年间，是曲沃县的标志性古建筑．如图，有一建筑物与望母楼的水平距离为米，从建筑物顶A点测得望母楼楼顶D点的俯角为，测得望母楼楼底C点的俯角为，则望母楼的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】 【详解】解：如图，过点D作于点E， 由题意得，， ，， 在中，， 在 中，． ∴米． 故选：D． 6．如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，两景点相距， ∴． ∴，两景点相距． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解直角三角形的应用． 7．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角，伞圈在伞柄上，；如图2，伞完全收拢时，伞圈滑动到的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 由题意：， ∴； 故选： D． 8．图是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴此人要能被摄像头识别，其身高不能超过， 故选：． 二、填空题 9．如图是园区内一小山的等高线示意图，小明在处测得处的仰角为30度，小明从山脚处爬山到山顶处需要爬 ． 【答案】100 【详解】解：作示意图如下： 由题意得，， ∴， 故答案为：100． 10．周末，王明和李亮两位同学到森林公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，已知秋千离地面的垂直高度为，安全链长为．荡秋千的起始位置为点时，安全链与铅垂线夹角为，秋千荡到最高点时，，，，在同一平面上，则点离地面的垂直高度是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：如图，过点作交于点， ，， ， ， 在中， ， ， 点离地面的垂直高度是． 故答案为：． 11．如图，一个小球从地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：假设一个小球从地面沿着坡度的坡面向上前进了到达点，过点作地面的垂线，垂足为点， 由题意得，，， 设， 则在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故答案为：． 12．深圳某科技园区试点无人机外卖配送．无人机从外卖柜正上方A点，垂直上升至距地面30米的P点悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台B点．若地面引导员在B点正下方的C点测得无人机悬停点P的仰角为（参考数据：，，），则无人机从P点水平飞抵B点距离约为 米． 【答案】40 【详解】解： 由题意可知 （米） 无人机从P点水平飞抵B点距离约为40米． 故答案为：40． 13．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从B测得船C在北偏东的方向，则船C离海岸线l的距离（即的长） ． 【答案】 【详解】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系、角平分线的性质是正确解答的前提．通过作垂线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质得出答案． 【解答】解：由题意可得， ∴， 过点B作，垂足为E， 在中，， 由题意可得， ∴， ∴， 故答案为：． 14．海丰塔是无棣县著名的旅游景点，被称为“冀鲁三胜”之一．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量海丰塔的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得海丰塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得海丰塔的高度是 m．（参考数据：） 【答案】42 【分析】 【详解】解：过点C作，延长交于，如图： ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：42． 三、解答题 15．九年级（1）班学生计划利用无人机测量宿舍楼的高度．如图，此时无人机在离地面的距离为，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得宿舍楼BC顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和宿舍楼之间的距离为，点A，B，C，D，E都在同一平面上．求宿舍楼的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 【答案】32米 【分析】 【详解】解：由题意知，，，，， ∴， ∴， 如图，过点作于，则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 宿舍楼的高度约为． 16．文昌阁位于长泰区武安镇石岗山上，始建于唐朝，是长泰的文化地标之一．综合实践课上老师提出问题：“请你设计一个方案，测量文昌阁的高度”．某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔的高度进行测量．具体操作过程是：在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B两个观测点．在点测得文昌阁顶部的仰角为，在点测得文昌阁顶部D的仰角为．求文昌阁的高度（结果精确到1米，）． 【答案】24米 【详解】解：∵在点测得文昌阁顶部的仰角为，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B， ∴米， 则， ∴， ∵在点测得文昌阁顶部D的仰角为． ∴ ∵， ∴， ∴， 解得， ∴文昌阁的高度约为米． 17．如图，一款可调节角度的台灯，通过调节与的夹角来调整光源的角度．已知，，最大角度为． (1)当时，求点到的水平距离． (2)当，求点到桌面的垂直距离．（参考值：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ， ， ， 答：点到的水平距离为； （2）当时，， ， ， 答：点到桌面的垂直距离约为． 18．如图，某校数学实践小组计划测量一座古塔的高度．他们采用了如下步骤： ①在古塔正前方水平地面上的点处，用测角仪测得塔顶的仰角为； ②沿直线后退米到达点处（点，，在同一直线上），再次用测角仪测得塔顶的仰角为． 测角仪的高度忽略不计．根据以上信息解决下列问题： (1)在图中标注出角，用关于，，的代数式表示角的正弦、正切． (2)计算古塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】(1)图见解析， (2)米 【分析】 【详解】（1）解：如图． 由题意可知，，即． 在中， （2）解：在中，∵， 在中，∵， 设米，则 解得≈． ∴古塔的高度为米． 19．如图，华北油田国家矿山公园旁有一个信号塔（垂直地面），距离信号塔的底部点米处（米）有一个斜坡，坡度为．当阳光与水平线夹角成时，信号塔的影子顶端正好位于点，，经测量米． (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】(1)点到地面的距离为米； (2)信号塔的高度约为米． 【分析】 【详解】（1）解：如图，过作于点，则， ∵斜坡，坡度为， ∴， 设，， ∴，解得， ∴米， ∴点到地面的距离为米； （2）解：由（）得，米， ∴（米）， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米，， ∴， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴信号塔的高度约为米． 20．宝岩寺塔位于河南省驻马店市西平县城东关西平大道与文化路的交叉口，是宋代古塔遗存，是研究宋塔建筑风格和佛教文化的实物资料．小明和爸爸想利用测角仪和阳光下的影子来测量宝岩寺塔的高度．如图，在阳光下，小明爸爸站在塔影子的顶端处，此时，小明量得爸爸的影长，然后小明从点往宝岩寺塔方向走了到达点，并用测角仪测得塔顶端的仰角为（测角仪高度不计）．已知爸爸的身高m，点在同一条直线上，．求宝岩寺塔的高．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【详解】解：由题意，得，设． 在中，． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 答：该宝岩寺塔的高为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.6 用锐角三角函数解决问题 教学目标 1.掌握解直角三角形实际问题的一般过程，能建立数学模型转化实际问题 2.理解并熟记坡度、仰角俯角、方向角等概念，明确其几何意义 3.能结合题意画几何图形，构造直角三角形解决各类实际问题 4.会检验解题答案，确保结果符合实际意义并规范作答 教学重难点 重点 熟记坡度、仰角俯角、方向角的定义及几何表示 掌握解实际问题的四步流程，能将实际问题转化为解直角三角形问题 学会作垂线构造直角三角形，运用边角关系求解 难点 准确理解实际问题中的专业术语，快速画出对应的几何图形 灵活构造直角三角形，将非直角三角形问题转化为可解的直角三角形问题 结合实际场景分析条件，合理选用边角关系求解并验证答案 知识点01 解实际问题的一般过程 （1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； （2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； （3）根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 【即学即练】 1．（2025·26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知梯子的长为米，，，则梯子顶端离地面的高度为（   ）米 A． B． C． D． 2．（2025·26九年级上·吉林长春·月考）如图，要测量小河两岸相对的两点，的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽等于（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 知识点02 坡度坡角 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 【即学即练】 3．（2025·26九年级上·福建泉州·期末）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在C处操控无人机巡查，无人机从点C处飞行到点A处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得C处到A处的距离为500米，无人机从点A测得C点的俯角为，据此算出B，C之间的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2025·26九年级上·上海普陀·月考）如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为 米（结果保留根号）． 知识点03 仰角俯角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 【即学即练】 5．（2025·26九年级上·上海·期中）沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度 ． 6．（2025·26九年级上·吉林长春·期中）如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是 m． 知识点04 方向角问题 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角，叫做方向角，如图中的目标方向线的方向角分别表示北偏东，南偏东，南偏西，北偏西.特别如：东南方向指的是南偏东，东北方向指的是北偏东，西南方向指的是南偏西，西北方向指的是北偏西 【即学即练】 7．（2023·24九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行 海里．    8．（2022·23九年级上·吉林长春·月考）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】 题型01 坡度坡角问题 【例1】已知某斜坡的坡度，则斜坡的坡角的大小为（   ） A． B． C． D． 【例2】暑假期间，小刚一家到某旅游风景区登山．他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，在同一平面内．求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，，，，．） 【变式1-1】如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，，则的长度是 ．   【变式1-2】如图，已知斜坡长，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线的休闲平台和一条新的斜坡．若修建的斜坡的坡度为，则休闲平台的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，一楼房后有一假山，其坡度为，山坡坡面上点处有一观测点，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与观测点E的距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为．注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 (1)求观测点的铅直高度； (2)求楼房的高．（结果精确到米，参考数据，） 题型02 仰角俯角问题 【例3】宿州万达广场CBD双子楼是宿州市的标志性建筑．某数学兴趣小组用无人机测量双子楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得双子楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得双子楼底端B的俯角为，点均在同一平面内，求双子楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【例4】2026年总台春晚分会场花落合肥，央视春晚的聚光灯将照亮江淮大地．合肥骆岗公园是由323公顷废弃机场蜕变而来的城市绿肺，首个以城市更新为核心，全园免费开放的大型公园，从硬地到生态奇迹．下图是骆岗公园的标志性建筑——全向信标台．小明利用周末时间，前往骆岗公园，借助三角函数知识，对全向信标台的高度进行测量，得到以下数据：如图，在点用垂直于地面放置的测角仪测得顶端的仰角为，在处测得的仰角为两点水平距离为，测角仪高为．求全向信标台的高度（结果精确到）．（参考数据：） 【变式2-1】无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离约为 m．（结果精确到，参考数据：，，）． 【变式2-2】如图，在数学综合实践活动中，同学们利用测量仪和所学的数学知识对山坡上一凉亭的高度进行测量．已知测量仪的高度为，其底部点B到凉亭的底部C的距离为，此时在A处测得凉亭的顶端D的仰角为，且山坡与水平线的夹角为．求凉亭的高度（精确到）．（参考数据：，，） 【变式2-3】如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇身高为米，他站立在离大楼45米的处测得大楼顶端点的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点处，测得广告牌顶端点的仰角为．（取计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 题型03 方向角问题 【例5】如图，在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处执行任务．在观测点的西北方向且在观测点的西南方向海里处，观测点在观测点的正北方向，目的地在观测点的北偏东方向且在观测点的北偏东方向． (1)求的距离． (2)求的距离（结果保留根号）． 【例6】如图，A、B、C、D是某海平面上的四个岛屿，其中B岛位于A岛的正北方向，D岛位于A岛的南偏东方向，C岛分别位于B岛的正东方向海里和D岛的东北方向30海里处．（参考数据：、） (1)求A岛和B岛之间的距离；（结果保留到小数点后一位） (2)现有甲、乙两艘渔船分别从B岛、D岛同时出发匀速直线开往C岛，已知乙渔船的速度是甲渔船速度的倍，当两艘渔船行驶到相距10海里时，求甲渔船行驶的里程数．（结果保留根号） 【变式3-1】如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距，C景点位于A景点北偏东方向上，位于B景点北偏西方向上，则A，C两景点相距 ． 【变式3-2】“青山绿水，生态农业”．某地需引水修建水库，既可蓄水灌溉，又可美化环境．据了解，水库C修建在水源A的正东方向，在水源A的北偏东方向有一古迹B，B与A相距，其中水库C在古迹B的东南方向．（参考数据：，） (1)若在水源A与水库C之间修建一条水渠，求该水渠的最短长度． (2)在古迹B的西南方向处有一古墓群E，为了保护文物，不破坏古墓，在古墓群周围范围内不得进行任何土工作业，判断按照（1）中的方式修建水渠是否合理，并说明理由．（结果保留两位小数） 【变式3-3】某校数学兴趣小组为测量湖中间两座灯塔A和B之间的距离，在沿湖笔直公路l上取点C，D进行测量．为方便计算，点C，D分别位于灯塔A，B的正南方向．现测得灯塔A位于点D北偏西方向，灯塔B位于点C北偏东方向．已知m． （参考数据：，，，，，） (1)分别求点C距离灯塔A的距离和点D距离灯塔B的距离； (2)求A，B两座灯塔间的距离． 题型04 赵爽弦图与解直角三角形 【例7】我国数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结并延长交于点H，若，则（  ） A． B． C． D． 【例8】勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱，小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于 ． 【变式4-1】早在1700多年前中国古代数学家赵爽就在注解《周髀算经》时给出可以证明著名的“勾股定理”的几何图形，人们称它为“赵爽弦图”，如图所示的“弦图”由四个全等的直角三角形（，，，）围成大正方形（正方形）．连接，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式4-2】如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与二个正方形拼成的．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则的值为 ． 【变式4-3】公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则 ． 题型05 其他应用问题 【例9】近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求该机器人的最高点距地面的高度．（结果保留1位小数，参考数据，，） 【例10】如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，，，，，） (1)求液压杆顶端到底盘的距离的长； (2)求的长． 【变式5-1】为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩，如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） (1)求遮阳篷边缘点到墙体的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 【变式5-2】为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【变式5-3】图1是一款可以调整铅笔位置的圆规，图2是该圆规的简易结构图，已知，，．在调整铅笔位置时始终垂直平分，和交于点F．如图3，当圆规的两个脚和闭合，即O，D，A三点在同一直线上时，调整铅笔的位置，定位针针尖A点与笔尖B点恰好能重合．（计算结果均精确到0.1，参考数据：；；．） (1)求的长． (2)如图4，调节圆规的两个脚和，使得．调整铅笔的位置，圆规可以画出半径最小的圆，求该最小圆半径的长．（注：假设足够长．） 一、单选题 1．如图，坡度为的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，热气球探测器在A点处，点B为楼顶，点C为楼底，为水平线，为经过点A的铅垂线，则下列说法正确的有（    ） ①为仰角；②为仰角；③为俯角；④为俯角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为（在同一条直线上）（    ） A． B． C． D． 4．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的长度是，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．山西曲沃县望母楼，始建于明朝万历年间，是曲沃县的标志性古建筑．如图，有一建筑物与望母楼的水平距离为米，从建筑物顶A点测得望母楼楼顶D点的俯角为，测得望母楼楼底C点的俯角为，则望母楼的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（   ） A． B． C． D． 7．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角，伞圈在伞柄上，；如图2，伞完全收拢时，伞圈滑动到的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度可表示为（   ） A． B． C． D． 8．图是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图是园区内一小山的等高线示意图，小明在处测得处的仰角为30度，小明从山脚处爬山到山顶处需要爬 ． 10．周末，王明和李亮两位同学到森林公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，已知秋千离地面的垂直高度为，安全链长为．荡秋千的起始位置为点时，安全链与铅垂线夹角为，秋千荡到最高点时，，，，在同一平面上，则点离地面的垂直高度是 ． 11．如图，一个小球从地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为 ． 12．深圳某科技园区试点无人机外卖配送．无人机从外卖柜正上方A点，垂直上升至距地面30米的P点悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台B点．若地面引导员在B点正下方的C点测得无人机悬停点P的仰角为（参考数据：，，），则无人机从P点水平飞抵B点距离约为 米． 13．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从B测得船C在北偏东的方向，则船C离海岸线l的距离（即的长） ． 14．海丰塔是无棣县著名的旅游景点，被称为“冀鲁三胜”之一．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量海丰塔的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得海丰塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得海丰塔的高度是 m．（参考数据：） 三、解答题 15．九年级（1）班学生计划利用无人机测量宿舍楼的高度．如图，此时无人机在离地面的距离为，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得宿舍楼BC顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和宿舍楼之间的距离为，点A，B，C，D，E都在同一平面上．求宿舍楼的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 16．文昌阁位于长泰区武安镇石岗山上，始建于唐朝，是长泰的文化地标之一．综合实践课上老师提出问题：“请你设计一个方案，测量文昌阁的高度”．某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔的高度进行测量．具体操作过程是：在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B两个观测点．在点测得文昌阁顶部的仰角为，在点测得文昌阁顶部D的仰角为．求文昌阁的高度（结果精确到1米，）． 17．如图，一款可调节角度的台灯，通过调节与的夹角来调整光源的角度．已知，，最大角度为． (1)当时，求点到的水平距离． (2)当，求点到桌面的垂直距离．（参考值：，，，） 18．如图，某校数学实践小组计划测量一座古塔的高度．他们采用了如下步骤： ①在古塔正前方水平地面上的点处，用测角仪测得塔顶的仰角为； ②沿直线后退米到达点处（点，，在同一直线上），再次用测角仪测得塔顶的仰角为． 测角仪的高度忽略不计．根据以上信息解决下列问题： (1)在图中标注出角，用关于，，的代数式表示角的正弦、正切． (2)计算古塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 19．如图，华北油田国家矿山公园旁有一个信号塔（垂直地面），距离信号塔的底部点米处（米）有一个斜坡，坡度为．当阳光与水平线夹角成时，信号塔的影子顶端正好位于点，，经测量米． (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 20．宝岩寺塔位于河南省驻马店市西平县城东关西平大道与文化路的交叉口，是宋代古塔遗存，是研究宋塔建筑风格和佛教文化的实物资料．小明和爸爸想利用测角仪和阳光下的影子来测量宝岩寺塔的高度．如图，在阳光下，小明爸爸站在塔影子的顶端处，此时，小明量得爸爸的影长，然后小明从点往宝岩寺塔方向走了到达点，并用测角仪测得塔顶端的仰角为（测角仪高度不计）．已知爸爸的身高m，点在同一条直线上，．求宝岩寺塔的高．（结果精确到，参考数据：） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $