专题7.5 解直角三角形（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

专题7.5 解直角三角形 教学目标 1．理解并熟记Rt△中三边、两锐角、边角间的三类核心关系，明确三角函数的边角桥梁作用。 2．掌握解直角三角形的定义，清楚求解的核心前提，能梳理已知与未知元素的关联。 3．熟练掌握解直角三角形的四类常见题型，能规范运用定理公式求解所有未知元素。 4．学会根据已知条件合理选择解题方法，提升解直角三角形的解题熟练度和准确性。 教学重难点 重点： 1．牢固掌握直角三角形三边、锐角、边角间的关系，能灵活运用三角函数、勾股定理。 2．掌握解直角三角形的四种基本类型，熟记各类题型的规范解法步骤和求解逻辑。 3．能根据题目给出的边、角条件，快速判断题型并选定最优的求解方法。 难点： 1．结合题目条件灵活选择三角函数，快速建立边与角的联系，简化计算过程。 2．准确分析题干中的已知条件，快速梳理未知元素，判断解直角三角形的具体类型。 3．能规范书写解题步骤，综合运用各类边角关系解决稍复杂的直角三角形求解问题。 知识点01 直角三角形的边角关系 在中，，、对边分别为、，斜边为，五大元素满足三类关系： 1．三边关系：（_______定理） 2．锐角关系：（两锐角_______） 3．边角关系：三角函数（边与角的桥梁） ，，； ，，。 【即学即练】 1．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，斜边，则的长度是（    ） A． B． C． D． 知识点02 解直角三角形的定义 通过直角三角形已知的边、角元素，求出其余所有_______的边、角元素的过程，即为解直角三角形。 解直角三角形的常见类型及解法步骤： 类型1：已知斜边和一条直角边（如、）： ①由三角函数求锐角：求；②求另一锐角：_______；③由勾股定理/三角函数求另一直角边：或求_______。 类型2：已知两条直角边（、）： ①由勾股定理求_______：；②由三角函数求锐角：求；③求另一锐角：_______。 类型3：已知斜边和一个锐角（如、）： ①求另一锐角：_______；②由三角函数求直角边：_______求，_______求。 类型4：已知一条直角边和一个锐角（如、）： ①求另一锐角：；②由三角函数求另一直角边：_______求；③由三角函数/勾股定理求斜边：求或。 【即学即练】 3．在中，，，，则 ． 4．在中，，，，求和的长． 题型01 解直角三角形 【例1】在中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【例2】在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形． 【变式1-1】如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，则高为（   ）cm． A． B． C． D． 【变式1-2】在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形（边长精确到0.1）． 【变式1-3】如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 题型02 网格问题 【例3】如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，则 ． 【例4】如图，在一个的正方形网格中有一个，其顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 【变式2-1】如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格交点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图所示的网格是正方形网格，则 ． 【变式2-3】如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点 ，，都在格点上，则的值为 ． 题型03 先构造直角三角形，再求解 【例5】如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【例6】△ABC中，∠B为锐角，cosB＝，AB＝，AC＝2，则∠ACB的度数为 ． 【变式3-1】如图，在中，，，，求的长． 【变式3-2】公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 【变式3-3】如图，在矩形中，点是边上一点，连接，过作于点，若，，，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 题型04 四边形中解直角三角形 【例7】在四边形中，，，，，，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 【例8】如图，在四边形中，，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】在四边形中，，，，则四边形的面积为 ． 【变式4-2】新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为 ． 【变式4-3】如图，四边形和四边形分别是边长为3和2的正方形，连结，，，则五边形的面积为 ． 题型05 圆与解直角三角形 【例9】如图，内接于圆O，为圆O的直径，过点A作圆O的切线交的延长线于点D，若，，则的长 ． 【例10】如图，是圆的直径，是一条弦，是弧的中点．过点做于点，交于点，延长交圆于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求圆的半径． 【变式5-1】琮为内圆外方之器，如图1，此玉琮素面琢磨细腻，色泽温润，两端射口稍露，比例恰到好处．图2是“琮”的横截面示意图，其“外方”是一个正方形，“内圆”圆O的圆心与正方形的中心重合，正方形的四个角上各有一个腰长为的等腰直角三角形，圆O与其斜边相切，若圆O的半径为，则正方形的边长为 ． 【变式5-2】如图，内接于圆，是圆的直径，是圆的切线，是圆上的一点，的延长线于点，与交于点，若圆的半径为，时，求的长． 【变式5-3】如图，为圆的直径，、为圆上不同于、的两点，过点作圆的切线交直线于点，直线于点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 题型06 相似与解直角三角形 【例11】如图，在中，，，点在外，且，交延长线于点，，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【例12】如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式6-1】如图，在四边形中，对角线，交于点E，，，．若，，则的长为 ． 【变式6-2】如图，在中，点、分别在边、上，，，且． (1)求线段的长； (2)当时，求的面积． 【变式6-3】如图，在四边形中，，．以为直径的经过点，且与边交于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 一、单选题 1．两个大小一样的矩形如图摆放，为， ，已知，则的长为（  ） A． B． C． D． 2．在中，，若，则的值是（      ） A． B． C． D． 3．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值．如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，，所以类比这种方法，计算的值为（    ） A． B． C． D． 4．由两个宽相等的矩形按如图方式摆放，夹角为，若矩形宽为，则重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，．若点E是边的中点，连接，过点B作交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点P、Q分别是、边上的动点．若，且点A关于的对称点落在边上，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是圆的弦，过圆心作于点，交于点，，点是上异于，的一点，连接，，的值是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 8．如图在中，，则的值为 ．    9．在中，，延长到点，使，连接．若，则 （结果保留根号）． 10．已知在中，，于点D，，，那么的值为 ． 11．如图，在中，，则的长为 ． 12．如图，四边形内接于以为直径的，若平分，则线段的长是 ． 13．如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是 ． 三、解答题 14．已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 15．在中，，为锐角且，．求的长． 16．如图，在中，于点，，，，求： (1)的长； (2)的值． 17．如图，是的直径，是上一点，过点作的垂线，分别与的延长线，交于点，．若，，求与的长． 18．如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 专题7.5解直角三角形 内容概览 教学目标、教学重难点 直角三角形的边角关系 知识清单 解直角三角形的定义 解直角三角形 解直角三角形 网格问题 先构造直角三角形，再求解 题型精讲 四边形中解直角三角形 圆与解直角三角形 相似与解直角三角形 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解并熟记Rt心中三边、两锐角、边角间的三类核心关系，明确三角函数的边角桥 梁作用。 2.掌握解直角三角形的定义，清楚求解的核心前提，能梳理已知与未知元素的关 联。 教学目标 3. 熟练掌握解直角三角形的四类常见题型，能规范运用定理公式求解所有未知元 素。 4. 学会根据已知条件合理选择解题方法，提升解直角三角形的解题熟练度和准确 性 教学重难点 重点： 1.牢固掌握直角三角形三边、锐角、边角间的关系，能灵活运用三角函数、勾股定 理。 2.掌握解直角三角形的四种基本类型，熟记各类题型的规范解法步骤和求解逻辑。 3.能根据题目给出的边、角条件，快速判断题型并选定最优的求解方法。 难点： 1.结合题目条件灵活选择三角函数，快速建立边与角的联系，简化计算过程。 2.准确分析题干中的已知条件，快速梳理未知元素，判断解直角三角形的具体类 型。 1/47 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 3.能规范书写解题步骤，综合运用各类边角关系解决稍复杂的直角三角形求解问 题。 知识清单 知识点01直角三角形的边角关系 在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B对边分别为a、b,斜边为c,五大元素满足三类关系： 1.三边关系：a2+b2=c2(勾股定理) 2.锐角关系：∠A+∠B=90°（两锐角互余） 3.边角关系：三角函数（边与角的桥梁） snA-是，cosA-2,amA-8 sinB=b,cosB=a,tanB=b C a 【即学即练】 1.如图，在R△HC中，2C9w,则C=（) B A.tanA B.tan B C.sinA D.cosB 【答案】B 【详解】解，A、在R△C中，加A-C C,故该选项不符合题意： B.在R△BC中，anB= BC，故该选项符合题意： C在R△BC中，sinA= AB 故该选项不符合题意： D、在R△BC中，cosB=G =AB,故该选项不符合题意： 故选：B 2.如图，Rt△ABC中，∠B=28°，斜边AB=10,则AC的长度是() 2/47 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B28° A.10cos28° B.10sin28° 10 C.10tan28° D. sin28 【答案】B 【详解】解：，在Rt△ABC中，斜边AB=10,∠B=28°， ∴.sinB= ACAC AB=10’ ∴.AC=10sinB=10sin28°， 故选：B. 知识点02解直角三角形的定义 通过直角三角形已知的边、角元素，求出其余所有未知的边、角元素的过程，即为解直角三角形。 解直角三角形的常见类型及解法步骤： 类型1：己知斜边和一条直角边（如c、a): ①由三角函数求锐角：SinA=日求∠A;②求另一锐角：∠B=90°-∠A:③由勾股定理/三角函数求 另一直角边：b-C2-日或cosA-b求b. 类型2：已知两条直角边（a、b): ①由勾股定理求盆边：c=登+，②由三角函数求锐角：amA号求∠A:③求另一能角： ∠B=90°-∠A。 类型3：已知斜边和一个锐角（如c、∠A): ①求另一锐角：∠B=90-∠A:②由三角函数求直角边：sinA=日求a,cosA=b求b. 类型4：己知一条直角边和一个锐角（如a、∠A): ①求另一锐角：∠B=90-∠A:@由三角函数求另一直角边：anA=号求b:®由三角函数勾股定 理求斜边：sinA=a求c或c=a+b。 【即学即练】 3/47 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.在Rt△ABC中，∠C=90o'BC=8’anB3 =4,则4C= 【答案】6 【分析】 【详解】解：在R1△ABC中，∠C=90,nB-4C-子， BC4’BC=8' 、3 3 所以AC=三×BC=3×8=6. 4 4 故答案为：6. 4.在AA8C中，∠C=90,MB=10:snA,求BC和4C的长 【答案】BC=6,AC=8 【详】解解：在RARC，中∠C=90”AB=10为斜边，sn1-8G- AB 5' :BC-ABxsin4-10x-6. 根据勾股定理AC=√AB2-BC2=V102-62=√100-36=√64=8. 题型精讲 题型01解直角三角形 【例1】在△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinB=0.6,则BC的长是() A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【详解】解：，∠C=90°，AB=10,sinB=0.6, .'.sin B=4C AB =0.6, .AC=AB×0.6=10×0.6=6, ∴.BC=VAB2-AC2=V102-62=8. 故选：C 4/47 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B C 【例2】在Rt△ABC中，∠C=90° (若AB=20W2,AC=20,解这个直角三角形. 2)若BC=26,4C=62,解这个直角三角形. 【答案】(1)∠A=45°，∠B=45°，BC=20 (2)∠A=30°，∠B=60°，AB=4V6 【详解】(1)解：在Rt△ABC中， .'cosA= AC202 AB20N2=2, .∠A=45, .∴.∠B=90°-∠A=45° ∴.BC=AC=20 (2)解：在Rt△ABC中， tan4s BC_26_V5 AC 62 3 ∴.∠A=30, .∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，AB=2BC=4V6 【变式1-1】如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC=25cm,∠ABC=a,则高 AD为(）cm. 25 A. tano B. 50cosa C.25tana D.25sina 【答案】D 5/47 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：在R△AD中，Sn∠ABD= AB AB=AC=25cm,∠ABC=a, ,∴.AD=25 sinacm. 故选：D 【变式1-2】在Rt△ABC中，∠A=90° (1)若∠C=60°，AB=3,解这个直角三角形 (2)若∠B=72°，BC=14,解这个直角三角形（边长精确到0.1）. 【答案】(I)∠B=30°，BC=2W3,AC=V3 (2)∠C-18°，AB≈4.3，AC≈13.3 【详解】(1)解：∠A=90°，∠C=60°， ∴.∠B=90°-∠C=30° AC AC :.BC=25,AC=√5 (2)∠A=90°，∠B=72°，∠C=90°-∠B=180 2是oc-C,即m8=1o1s- sin 14 .AB=14sinl8°≈4.3，AC=14cos18°≈13.3 【变式13】如图.已知△Bn电，4C16D'C-8'CD=4cos∠AaC F5’BE为D边上的中线. (I)求AC的长： (2)求△BED的面积. 【答案】(I)AC=6 (2)18 【详解】(I),AC⊥BD, .∠ACB=∠ACD=90°. 在Rt△ABC中， cos∠ABC=BC AB' 6/47 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4B-管-10 5 AC=V102-82=6. (2)BE为AD边上的中线， 1 S.m-.w. BD.AC= 1 又SABD= ×12×6=36， 2 8.m-2×36=18. 题型02网格问题 【例3】如图，点A,B,C在边长为1的正方形网格格点上，则sin∠BAC=一 【答案】5 5 【详解】解：如图， B 在AB上取格点D,连接CD, 则CD⊥AD, :CD=VP+P=√2，AC=V1+32=V10, ∴sin∠BAC=CD=V2V5 AC 10 5 故答案为： v5 5 【例4】如图，在一个8×8的正方形网格中有一个△ABC,其顶点均在正方形网格的格点上，则Cos∠ACB 的值为() 7/47 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B 。4 A.为 B. s C.25 D. 2v5 5 5 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接BD,设正方形网格中小正方形的边长为1个单位长度， ∴CD=P+22=V,BD=√2+42=25，BC=V32+4=5, (5+2W5=5+20=25=52, .CD2+BD2=BC2, ∴，△BCD为直角三角形， .∠BDC=90°， cos∠ACB=CD-=V5 BC 5 故选：B。 B 【点睛】本题考查解直角三角形，余弦的定义，勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾 股定理的逆定理及余弦的定义是解题的关键 【变式2-I】如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、O是网格交点，则∠AOB+∠COD等于 A 0 A.30° B.45° C.500 D.55 【答案】B 【详解】解：如图， 8/47 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 R 设正方形网格的边长为a, .OD=3a)+(sa)=34a,Ga OB=Va+(4a)=a, RO4B中，si血∠A0B=AB。万 0B17a17, 由网格可知，DT=OG,∠TDP=∠GOP,∠DTP=∠OGP, ∴.△DTP≌aOGP(ASA, .OP=DP=IOD=34a 2 2 同理可证，P=GP=G= 2, 由网格可知，∠OWG=90°，OW=WG, .∠W0G=45°， √2a 在 中，sin∠pOp=P_ 27 17 Rt△OWP 2 ∴.sin∠AOB=sin∠WOP, .∠AOB=∠WOP, ∴.∠AOB+∠COD=∠WOP+∠COD=∠WOG=45°， 故选：B 【变式2-2】如图所示的网格是正方形网格，则tana+tanB=一· 【答案】4 【详解】解：如图，设正方形网格中的小正方形的边长为a, 0入 9/47 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACB=90°，AC=3a,CD=a,BC=3a, ∴.tana+tanB= 4C4AC=30+30=1+3=4. BC CD 3a a 故答案为：4. 【变式2-3】如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，则sin∠ABC的值为 B 【答案】 5 【详解】解：如图； 延长BC,作AD⊥BC的延长线交于点D, 根据勾股定理得：AB=V22+62=210,AD=√22+22=2√2， R△MBD中，sin∠ABC=D22-V5 . AB2105 故答案为： 5 题型03先构造直角三角形，再求解 【例5】如图，在AMBC中，sin B-tanC=1,4=I0,则4C的长为) A.5 B.32 C.4√2 D.6 【答案】C 【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D, 10/47