11-专题十一 三角形、四边形综合题-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

②当∠NAB+∠NBA=90时，∠ANB=90° 如解图，过点N作NH⊥x轴于 YA 点H, 则∠AHIN=∠NIB=90°， .∠NAH+∠ANH=90°. ·.·∠ANH+∠BWH=90° .∴.∠NAH=∠BNH, AH NH △ANH△NBH,.mB .N=AH·BH 设点N的坐标为(n,-n2+6n-5)(1<n<5), 则Nf=(-n2+6n-5)2=(n-1)2(n-5)2,AH=n-1,BH= 5-n, ∴.(n-1)2(n-5)2=(n-1)(5-n), 化简整理，得n2-6n+6=0. 解得n1=3-√5，n2=3+3, .点N的坐标为(3-√3,1)或(3+√3,1). (3)①观察图象C'可知，在x=-1时，y取得最小值，最小 值为-1-6-5=-12. 在x=1时，y取得最大值，最大值为0. ②k的取值为1或2√10-6. 11解：(1a=分0(2，-2) (2)(任选其中一个进行说明即可) 选择嘉嘉的说法：Q(2,-2)向左平移2个单位长度后为 (0,-2), 当x=0时，C:y=之0-)户+-2=-2。 ∴.无论t为何值，Q(2,-2)向左平移2个单位长度后一 定落在C,上 选择淇淇的说法：6y=(x-)户+ 2-2 tx-2. 当x=0时，y=-2,.C2一定过点(0，-2)， .无论t为何值，C,总经过一个定点 (3)①当=4时，C,的解折式为)=子(x-42+6, ∴.顶点P的坐标为(4,6). 设直线PQ的解析式为y=ex+f, 将P(4,6),Q(2,-2)分别代入， 年0 (2e+f=-2, .直线PQ的解析式为y=4x-10. ②当1与C,的交点到x轴的距离为6时， 交点的纵坐标y=6或y=-6. 对于Gy=7(x4)+6, 当y=6时，x=4,到x轴的距离为6的点即为点P,不合 题意，舍去 当y=-6时，-6=宁4+6， 解得1=4-26，x2=4+26. 直线lPQ,.设直线1的解析式为y=4x+b. 将x1=4-26,y=-6代入， 得4(4-26)+b=-6,解得b=8V6-22, .直线1的解析式为y=4x+8√6-22. 当)y=0时，=11-46 2 1与x轴交点的横坐标为1-46 2 同理，当，=4+26时，1与x轴交点的横坐标 为1+46 21 综上所述，1与x轴交点的横坐标为1-46或1+46 2 (4)n=t-m+2. 【解法提示】：C1:y= 2(x-2)2-2, C:y=(-)2+分-2C是由G通过旋转180 1 再平移得到的，两个抛物线的形状相同，如解图，连接AB 交PQ于点L,连接AQ,BQ,AP,BP,易知四边形APBQ是 平行四边形.：点M是到直线PQ的距离最大的点，最 大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d,.M与 B重合.N与A重合：02，-2).P(:,之-2)点1 的楼坐标为：点M的微坐标为m,点V的筷坐标为 n,点L的横坐标为m+n,m+n_2+t 2 2 2n=tm+2. 3(M 专题十一三角形、四边形综合题 1.解：(1)4 (2)证明：如解图1，过点P作PE上OB 于点E,作PF⊥OA于点F ·点P在LAOB的平分线上， .PE=PF=4. 0 -B ED 在R△DPE和R△CF中{PE=PP, (PD=PC. 解图1 .Rt△DPE≌Rt△CPF(HL), .∴.ED=FC,∴.OC+OD=OE+OF .:∠AOB=∠OEP=∠OFP=90°，∴.四边形OEPF为矩形， .OE+OF=PF+PE=8...0C+0D=8. .OC+OD的长为定值 (3)点N与点P的最大距离为4.【解法提示】由(2)可 31 知Rt△DPE≌Rt△CPF,四边形OEPF为矩形，.∠FPC= ∠EPD,∠FPE=90°，.LCPD=∠CPE+LEPD=∠CPE+ ∠FPC=∠FPE=90°.又.PC=PD,∴.△PCD为等腰直角 形CD=2CP.N为CD的中点P 2 CP,.当CP取最大值时，NP有最大值.：点C,D分别 在射线0A,0B上，且0C+0D=8,.当点C与点0重合 时，CP取得最大值，此时CD与OD重合..点P到OB的 距离为4，.点P到CD的距离为4.由等腰三角形三线合 一可得NP=4,.点N与点P的最大距离为4. (4)①作图如解图2. ②由(2)可知0C+0D=8. .0D=2,∴.0C=6. 在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD= 20. 解图2 解法1：.∠COD=∠OMD. ∠CDO=∠ODM, △0CD△M0D,∴OM0D OC CD OM=OC.OD_310 CD 5 1 解法2：5am=宁0c.0D=之0M.CD, ÷0M=0C·0D3V1o CD 5 2.解：(1)如解图1，当点P在BC上时，点P与点A的最短 距离就是BC边上的高，此时AP垂直平分BC,BP=CP 3 4,∴.AP=CP·tanC=4x =3,即点P与点A的最短距离 4 为3. 解图1 解图2 (2)如解图2，当点P在MB上时，·∠APQ=∠B, ∴.PQ∥BC,∴△APQ△ABC. 由(1)知AB=AC=√32+4=5. :PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分， SA=(AP 02= 4.AP2 （AB=9AB-3 AP=2AB= 10 3 3 MP=AP-AM=1 32 4 3 (3)过点P向直线AC作垂线，垂足为H 则PH的长就是点P到直线AC的距离. ①如解图3，当0≤x≤3时，点P在MB上，PQBC. 器-出专得0820 5 32 3 .'sin∠HQP=sinC= 5 0若 3 ∴.PH= ②如解图4，当3<x≤9时，点P在BW上， 此时PC=MB+BC-x=3+8-x=11-x, m-=+号 综上所述，当0≤x≤3时，点P到直线4C的距离为头 当3<≤9时，点P到直线4C的距离为 48 333 5 H C B 解图3 解图4 (4)点K被扫描到的总时长为23秒.【解法提示】先计 算P的移动速度，再分两种情况讨论.·点P从M到B 再到N共用时36称治子当点P在W上时， 如解图5，点Q从K到C的过程中点K可以被扫描到， C=AC-AK=5-4=4;当点P在BN上时，如解图6和 解图7，易知△ABP△PCQ,BPCO AB PC 设BP=m.当点 点K重合时，=8，整理得4n-32m+55三 4 5 11 式分解，得(2m-5)(2m-11)=0,解得m=2或m=2 ·点K被扫措到时，点P在BN上的路径长为 .11 2+(62)= 3点K楼扫销到时点P的总路径长为3-孕 心点 K被扫描到的总时长t= 23.1 =23(秒) 44 M 0 K(Q) BA C P N 解图5 解图6 A M K(O) C PN 解图7 3.（1)证明：.：将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤ 180)得到MA',.A'M=AM. .MP平分∠A'MA,∴.∠A'MP=∠AMP 又：PM=PM,.△A'MP≌△AMP(SAS),.A'P=AP. (2)解：①.AB=8,DA=6,∠A=90°， ∴.BD=√AB+AD=10. 又BC=2√/T,CD=12,.BD2+BC2=144,CD2=144, ∴.BD+BC2=CD,∠CBD=90° 当n=180时，x的值为13. 【解法提示】当n=180时，如解图1，设PM交BD于点N MP平分∠A'MA,∴.∠PMA=90°，.PM∥AB,.△DNM △ag0名-m-9w- 3÷BN=BD-DW=20】 号∠PaN=LDMN=90,∠PB= PB B PE20 ∠DNM,.△PBN∽△DMN,.DMMN 28,PB= 5,∴.x=AB+PB=8+5=13. A B 解图1 ②如解图2，当点P在AB上时，过点P作PQ⊥BD于点Q, 则PQ=2 .AB=8,DA=6,∠A=90° .BD=√AB+AD=√82+6=10. 在Rt△BAD中，sin∠DBA BD105,在Rt△B0P中， AD 6 3 P0210 BP= sin∠DBA33' 5 ÷AP=AB-BP=8-1014 3=31 DM=2.AD=6...AM=AD-DM=4. 14 ∴.tan∠A'MP=tan∠AMP= AP 3 7 AM46 D B P OB 解图2 解图3 如解图3，当点P在BC上时，PB=2,过点P作PQ⊥AB交 AB的延长线于点Q,延长MP交AB的延长线于点H. .·∠PQB=∠CBD=∠BAD=90°， ∴.∠QPB=90°-∠PBQ=∠ABD,∴.△PQB△BAD, P-B-PB,即P.B吧-2 BA DA BD'8610·P0、0 40=AB+B0=46 5 .PQ⊥AB,DA⊥AB,∴.PQ∥DA,∴.△HPQ△HMA, 8 -.即0- 92 ·HAMA' 464,解得0=5， H0 5 92 HQ1523 ∴.tan∠A'MP=tan∠AMP=tan∠QPH= PQ-86 5 2或23 综上所述，.tanLA'MP的值为G或。 (3)解：点A'到直线AB的距离为 8.x2 2+16 【解法提示】当 0<x≤8时，点P在AB上，如解图4，过点A'作A'F⊥AD于 点F,过点P作PE⊥A'F,交FA'的延长线于点E,则四边 形BP是矩形，易证△PE△rF近-器- 易知AP=AP=x,M'=MH=4,设AF=y,PE=h,则年= y-4心y=王4(x-y）=x(h-4)…4(x-4h)=x(h h x-y 4h 4h. 4),整理得h= 8x 8.x2 斗16即点A到直线B的距离为，+16 C B P 解图4 4.论证证明：AD∥BC,.∠A=∠B,∠D=∠C. 又：A0=BC△A0D≌△B0CA0=B0=AB=10 发现解：如解图1，当A,B,C三点共线时，△ADC是等 边三角形，此时∠ADC=60°. 如解图2，当A,B,C三点不共线时，取AB的中点O,连接 OD AD=AO=OD=BO=BC=CD=10. .∴.四边形BCDO为菱形，∴.CD∥AB ∴.∠ADC=180°-60°=120 综上所述，∠ADC的度数可能是60°或120. D 0 C D M G 1A60 C BA660 0 BAH N B 解图1 解图2 图3 尝试解：如解图3，BM≤BC+CM, 当B,C,D三点共线时，BM取得最大值，为15. 过点D作DH⊥AB,过点M作MN⊥AB,过点B作BG⊥ AD,垂足分别是点H,N,G. BD=BC+CD=20=AB.AG=GD= 2AD=5, .BG=√AB-AG=5√15 由S△m=2AD·BG=2AB·DH, 得DH=AD·BC_5I5 AB 2 易知△BMN∽△BDH,BDDH205√5 BM MN 15 MN 2 33 ·Mwsl5 8P,即点M到AB的距离为15， 8 拓展①BP= 20d 【解法提示】如解图4，过点D作 d2+300 DH⊥AB于点H,连接BD交CP于点I,连接DP,设BP= x,由题意得DI=BM:子易得△BP~△BD别品 BI BP d mGBM-茶AM=20- d xDIF =AD-AIF BD2-B.10-(20-东)2=E-（2),即100-400+ =-(…20 d 2x x =d+300,x=F+300 20d2 即BP= 20d d+300 H P 解图4 ②a的余弦值为5+7 8 【解法提示】如解图5，过点D作 DE⊥AB,垂足为E,过点C作CF⊥DE的延长线，垂足为 F,作CG⊥AB,垂足为G,连接DG,过点D作DH⊥DG,交 AB于点H,连接AC.设AG=x,则BG=20-x.:AC2-AG2= BC-BG(102)2-x2=102-(20-x),解得x=2 G=VC-c-5易得△AE兰△Dc, ·BG=5 从而可得△ADH≌△CDG,DG=DH,AM=CG-=57 EG.·AH+HE+EG+BG=AB,.HE=EG=Y.:4E、 4H+HB=25+57 AE 5+7 4 ,.C0sa= AD8 解图5 5.解：(1).0P∥EF, ∴.∠P0F=180°-∠EFC=100°， .∠Q0F=∠P0F-∠POQ=40°. .AB∥CD,∴.∠AQ0=∠Q0F=40° .∠PQ0=90°-∠P0Q=30°， ∴.∠AQP=∠AQ0-∠P00=10° (2)如解图1，过点P作PM∥AB. .AB∥CD,..AB∥CD∥PM. .∠AQP=∠QPM,∠POC=∠OPM. .∠0PQ=∠OPM+∠QPM=90°， 34 ∴.∠POC+∠AQP=90°. (3)①：0PEF, .∠POC=∠EFC=a, .∠E0F=180°-60°-a=120°-. .·EO恰好平分∠AEF, ∴.∠AEO=∠OEF. ,·AB∥CD, .∴.∠AE0=∠EOF=∠OEF. .∠E0F+∠OEF+∠OFE=180°. .2×(120°-a)+a=180°，解得a=60. ②∠AC0的度数为60- 2a或150°-1 α【解法提 示1如解图1，∠Ac0=∠c0F=7∠00=×(180-60 1 2;如解图2，：P0/EF,∠POF=∠EFC= -a)=60- a,.∠Q0F=60°+a.0G平分∠Q0F,.∠G0F= 7∠Q0F=30°+2a.AB/CD,∠AG0=180-∠G0R =1s02综上所述，∠4c0=60或L460=150 1 1 A E G B AE、 G QB P-M CO D F O D 解图1 解图2 6.(1)证明：，AD∥BC,∠ABC=90°， ∴.∠DAB=180°-∠ABC=90°. 又.DH⊥BC,即∠DHB=90°， ∴.四边形ABHD为矩形， .DH=AB=2√5，∠DHC=90°. .·∠C=30°， .CD=2DH=43. .PM=43,..PM=CD. ∠Q=∠DHC, 在△PQM和△CHD中， ∠QPM=∠C, PM=CD, .∴.△PQM≌△CHD(AAS). (2)解：①：PM=4W5,∠QPM=30°，∠Q=90°， .PQ=PM·cos∠QPM=6. 如解图1，过点D作DT⊥QA,交QA的延长线于点T. .·∠QPM=30°，∠BPD=90°， .∴.∠TPD=60° DT=AD·sin∠7PD=3 2 边PQ平移扫过的面积为P0·DT=6x3, =95. 2 ~边PQ旋转扫过的面积为50mx6 =5m, 360 ∴.边PQ扫过的面积为9√3+5π. ②由(1)可得BH=AD=3,DH=AB=25. .BK=9-4V3,∴.KH=BH-BK=43-6. 在Rt△POM中，∠QPM=30°，PM=4W3, ..QM 2PM=23,P0= 2PM=6 T A(P 、.D A D(P B H K Q M 解图1 解图2 如解图2，当点P平移到与点D重合时， 设DQ交BC于点E,连接DK .'∠HIPE=∠OPM,∠PIE=∠POM. 、EPH即EH_25 △PHE△POM,OMP0256,EM=2. .:EH-KH=8-4√3>0，.此时点K在△PQM内 .·△PQM右移的速度为每秒1个单位长度， .在△PQM右移的过程中，点K在△PQM区域（含边界） 内的时长为(43-6)秒 在Rt△DCH中. .·∠DHC=90°，∠C=30°， ∴.∠IDC=60°，CH=√3DH=6 BH=3,∴.BC=9. .BK=9-43,.CK=BC-BK=43,..CD=CK. .∠C=30°， ∴.∠CDK=∠CKD=75 .∠DH=∠CDK-∠HDC=15° ∴.∠QPK=∠QPM-∠KDH=15°. .·△PQM旋转的速度为每秒5°， ∴.在△PQM旋转的过程中，点K在△PQM区域（含边界） 内的时长为15°÷5°=3（秒）， 点K在△PQM区域（含边界）内的时长为45-6+3= (43-3)秒 ③CF的长为60-124 9-d 【解法提示】BE=d,∴.EH=I3 dI,CE=BH+HC-BE=3+6-d=9-d.由(1)可得DH=AB= 25,.在Rt△DEH中，DE=DH+E=(25)2+13-dI =d-6d+21.:∠EDF=∠C,∠DEF=∠CED,.△DEF △CED.-Dg-6+21 -,..CF=BC-BE- CE 9-d EF=9-d- d2-6d+2160-12d 9-d 9-d 7.(1)证明：由折叠可得∠CDB=∠ADB,∠C=∠BC'D. 'AB=AD,∴.∠ADB=∠ABD, ∴.∠CDB=∠ABD,∴.AB∥CD. 又：∠ABC=90°， .∠C=90°， .∠BC'D=90°，.BC'⊥AD (2)解：①如解图，连接DE.由(1)知∠C=90°. .AB=AD,AE⊥BD. .∴.∠DAE=∠BAE. 又·AE=AE, .△ADE≌△ABE(SAS), .DE=BE,∠ADE=∠ABE=90°. BC:CE=8:3,CD=3, 3 在Rt△DEC中，CD+CE2=DE2, 即3+（号DE)2=DE, 1 9 解得DE= 4.CE=- 4 8 15 BG=3 CE=6,BE=DE= ∠EAB+∠AEB=∠DBC+∠AEB=90°， .∴.∠EAB=∠DBC. 又.·∠C=∠ABE=90°， .△EAB△DBC, 15 提器g号 6=3, 解得宁 BE 1 ∴.tan∠DAE=tan∠BAE= AB 2 ②由折叠及AE⊥BD易得FC'=EC= 4 如解图，作FG⊥AB交AB于点G. 由①易得FG=FC=, 1 135 SAM-2AB.FC=16 (3)解：令CD=2k,AB=5k,CE=x,DE=BE=y 由(2)①知cD+0E=E品器 (2k)+三，中y2整理，得3-2y-5m=0, 解得3或产-1（不符合题意，舍去）， y 5y 即CE:BE=3:5. 35专题十一 三角形、四边形综合题(10年7考) 类型1动点问题(10年3考) 1.【原创】如图，已知∠AOB=90°，点C,D分别在射线OA,OB上，点P在∠AOB的平分线上，PC= PD,且点P到OB的距离为4. (1)点P到OA的距离为 (2)请证明：OC+OD的长为定值. (3)若N为CD的中点，直接写出点N与点P的最大距离. (4)如图2，若0D=2. ①尺规作图：过点O作直线CD的垂线，垂足为M(保留作图痕迹，不写作图过程)； ②在①的条件下，求OM的长 图1 图2 172 2如图1和图2，在△ABC中，AB=AC,BC=8,mC=子点K在AC边上，点M,N分别在AB,BC边 上，且AM=CN=2,点P从点M出发沿折线MB-BN匀速移动，到达点N时停止，而点Q在AC边 上随点P移动，且始终保持∠APQ=∠B. (1)当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离： (2)若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长； (3)设点P移动的路程为x,当0≤x≤3及3<x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式 子表示)； (4)在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M 到B再到N共用时36秒若AK-},请直接写出点K被扫描到的总时长。 图1 图2 173 类型2旋转问题(10年4考：2023.26) 3.(2023河北26题13分)如图1和图2，平面内，在四边形ABCD中，AB=8,BC=2√/11，CD=12, DA=6,∠A=90°，点M在AD边上，且DM=2.将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到 MA',∠A'MA的平分线MP所在直线交折线AB-BC于点P,设点P在该折线上运动的路径长为 x(x>0),连接A'P. (1)若点P在AB上，求证：A'P=AP. (2)如图2，连接BD. ①求∠CBD的度数，并直接写出当n=180时，x的值； ②若点P到BD的距离为2，求tan∠A'MP的值 (3)当0<x≤8时，请直接写出点A'到直线AB的距离（用含x的式子表示） D M B P B 图1 图2 备用图 174 4.(2021河北26题12分)在一平面内，线段AB=20,线段BC=CD=DA=10,将这四条线段顺次首尾 相接.把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角a(ax>0)到某一位置时，BC,CD将会跟 随出现到相应的位置. 论证如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O,求证：A0=10. 发现当旋转角a=60时，∠ADC的度数可能是多少？ 尝试取线段CD的中点M,当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离 拓展①如图2，设点D与点B的距离为d,若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P,直接写出 BP的长（用含d的式子表示）； ②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值. D A660 —B A 图1 图2 备用图1 备用图2 175 类型3平移问题(2022.26) 5.已知直线AB∥CD,直线EF与AB,CD分别交于点E,F,∠EFC=a(0°<a<90°).将一个直角三角板 OPQ按如图1所示放置，使点Q,0分别在直线AB,CD上，∠P=90°，∠POQ=60°，OP∥EF, (1)若ax=80°，分别求∠QOF与∠AQP的度数 (2)求∠POC+∠AQP的度数. (3)将直角三角板OPQ沿AB向右平移 ①如图2，当点Q与点E重合时，若E0恰好平分∠AEF,求的值； ②作∠FOQ的平分线OG,交直线AB于点G,在整个平移过程中，直接写出∠AG0的度数（用含α 的式子表示) B A E(Q)B A E B Pe CO F D CO F D 图1 图2 备用图 176 6.(2022河北26题12分)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，∠C=30°，AD=3,AB= 2√3，DH⊥BC于点H.将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与点A重合，点B 在PM上，其中∠Q=90°，∠QPM=30°，PM=4√3. (1)求证：△PQM≌△CHD. (2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D 逆时针旋转（图3），当边PM旋转50时停止. ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积； ②如图2，点K在BH上，且BK=9-4√3.若△PQM右移的速度为每秒1个单位长度，绕点D旋转 的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长 ③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ,PM分别交BC于点E,F,若BE=d,直接写出CF的长（用 含d的式子表示). A(P)D D(P) B H E站H\F Q M 图1 图2 图3 177 类型4折叠问题 7.【原创】如图，已知四边形ABCD,AB=AD,∠ABC=90°，连接BD,将△BCD沿BD所在的直线折叠 得到△BC'D,且点C在AD上 (1)如图1，求证：BC'⊥AD (2)如图2，作AE⊥BD交BC于点F,交BC于点E,且BC:CE=8:3,CD=3. ①求tan∠DAE的值； ②求△ABF的面积. (3)若AE⊥BD,且交BC于点E,DC:AB=2:5,求CE:BE的值. C D 图1 图2 178