6.2.2 课时2 排列的综合问题 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.2 课时2 排列的综合问题 【基础巩固】 1．已知张卡片的正、反两面分别写有数字；；；．将这张卡片排成一排，则可构成不同的四位数的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分两步完成，第一步先排张卡片的顺序有种；第二步再排每一张卡的正反面有种，所以一共有种结果. 故选：A. 2．甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕西，丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】先安排甲乙，分别在甘肃、贵州两省中人选一处，方法数有种，然后安排丙丁，在三省中任选两处并考虑顺序，方法数有种，最后安排戊，在三省中任选一处，方法数有种，根据分步乘法计数原理，这五人不同的选择共有种. 故选：B. 3．由1，2，3，4，5，6，7，8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，且满足 3 和 4 相邻，则这样的八位数有（ ）个. A．432 B．257 C．216 D．504 【答案】D 【解析】第一步，排1，5，7三个数，有种不同的排法； 第二步，排2，6，8三个数，有种不同的排法； 第三步，将3和4作为一个整体插入，有种不同的排法， 根据分步乘法计数原理，组成的不同的八位数共有个. 故选：D. 4．甲、乙等人站成一排，若甲和乙之间恰好有人，且甲不在两端，则不同排法共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】从左向右看，若甲和乙之间恰好有人，且甲不在两端，有两种情况： 乙站第一个位置，甲站第四个位置，有种，甲站第二个位置，乙站第五个位置，有种，共有种. 故选：B 5．（多选）学校要安排一场文艺晚会的个节目的演出顺序，第个节目和最后个节目已确定，其余个节目中有个音乐节目，个舞蹈节目，个曲艺节目，则（ ） A．若要求个音乐节目排在一起，则有种不同的排法 B．若要求曲艺节目甲必须在曲艺节目乙的前边，则有种不同的排法 C．若要求个舞蹈节目不能排在一起，则有种不同的排法 D．若要求音乐节目、舞蹈节目、曲艺节目分别相邻演出，则有种不同的排法 【答案】BC 【解析】对A：先将个音乐节目全排列，有种排法； 再把音乐节目捆绑和舞蹈、曲艺看作个节目，进行全排列，有种排法， 所以共有种排法，A错误； 对B：先从个位置中选个位置排好音乐和舞蹈节目，有种排法； 再排曲艺节目，只有一种排法，所以共有种排法，B正确； 对C：先排音乐和曲艺节目，有种排法； 再把个舞蹈节目排在空位中，有种排法，所以共有种排法，C正确； 对D：先把它们各自排列并捆绑，各自有种排法， 再把它们看做三个元素进行全排列，有种排法，所以共有种排法，D错误． 故选：BC. 6．徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有______． 【答案】 【解析】若安排的人中没有甲，安排方法有种， 若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，则安排的方法有种， 所以总的方法数有种. 故答案为： 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有______种． 【答案】 【解析】先将“射”和“御”“捆绑”视为一个元素，再与“乐”和“数”一起排列， 有种不同的次序，再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中间不能排），有种不同的次序，最后将“射”和“御”交换位置，有种不同排序，根据分步乘法计数原理可知“六艺”讲座不同的次序共有种． 故答案为：. 8．现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； 【答案】见解析 【解析】(1)由题意可得共种不同的站法． (2)先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． 【能力拓展】 9．设是的任一排列，是到的映射，且满足，记数表．若数表的对应位置上至少有一个不同，就说是两张不同的数表．则满足条件的不同的数表的张数为（ ） A．张 B．张 C．张 D．张 【答案】C 【解析】对于的一个排列，有个映射满足，而共有个排列，所以满足条件的数表共有张. 故选：C． 10．（多选）某单位安排名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法； 若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法．故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确． 间接法：(1)不管条件限制共有种不同的排法．当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法；当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确． (2)从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法， 其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的， 故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确. 故选：ABD 11．如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌子的个座位（座位序号为）上座谈，要求同一班级的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐号座位，则同班级的另一个人不能坐号座位）也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为__________种. 【答案】 【解析】假设三个不同班级的各两名代表分别为、、， 若号座位只有两个不同班级的代表，则同一班级的在号座位， 则号座位需为另一同班级的两名代表，此时号座位为同一班级的两名代表，不符合题意，故号座位必须是个不同班级的代表，有种方法； 则号座位只有种就坐方法，因此所有可能坐法为. 故答案为：. 【素养提升】 12．设，且.对的一个排列，如果当时，有，则称（，）是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对的一个排列，只有两个逆序， ，则排列的逆序数为.记为的所有排列中逆序数为的全部排列的个数. (1)求的值； (2)判断与的大小，并说明理由； (3)求的表达式（用表示）. 【答案】见解析 【解析】(1)记为排列的逆序数，对于的所有排列有： ，所以， (2)，由题意可知，逆序数为的排列，只能将中的任意相邻的两个数字调换位置得到的排列， 所以， 只需在排列的倒数第三个位置；在排列的倒数第二个位置； 在排列的最后一个位置；故， 因为，且，所以 (3)由(2)可知：，即，所以， ，，， 累加得：， 由(1)知，所以 ， 故 第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2 课时2 排列的综合问题 【基础巩固】 1．已知张卡片的正、反两面分别写有数字；；；．将这张卡片排成一排，则可构成不同的四位数的个数为（ ） A． B． C． D． 2．甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕西，丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．由1，2，3，4，5，6，7，8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，且满足 3 和 4 相邻，则这样的八位数有（ ）个. A．432 B．257 C．216 D．504 4．甲、乙等人站成一排，若甲和乙之间恰好有人，且甲不在两端，则不同排法共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（多选）学校要安排一场文艺晚会的个节目的演出顺序，第个节目和最后个节目已确定，其余个节目中有个音乐节目，个舞蹈节目，个曲艺节目，则（ ） A．若要求个音乐节目排在一起，则有种不同的排法 B．若要求曲艺节目甲必须在曲艺节目乙的前边，则有种不同的排法 C．若要求个舞蹈节目不能排在一起，则有种不同的排法 D．若要求音乐节目、舞蹈节目、曲艺节目分别相邻演出，则有种不同的排法 6．徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有______． 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有______种． 8．现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； 【能力拓展】 9．设是的任一排列，是到的映射，且满足，记数表．若数表的对应位置上至少有一个不同，就说是两张不同的数表．则满足条件的不同的数表的张数为（ ） A．张 B．张 C．张 D．张 10．（多选）某单位安排名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（ ） A． B． C． D． 11．如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌子的个座位（座位序号为）上座谈，要求同一班级的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐号座位，则同班级的另一个人不能坐号座位）也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为__________种. 【素养提升】 12．设，且.对的一个排列，如果当时，有，则称（，）是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对的一个排列，只有两个逆序， ，则排列的逆序数为.记为的所有排列中逆序数为的全部排列的个数. (1)求的值； (2)判断与的大小，并说明理由； (3)求的表达式（用表示）. 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $