6.3.1 平面向量基本定理 同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.1 平面向量的基本定理 【基础巩固】 1．若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ） ①和 ②和 ③和 ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解析】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 2．在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，向量不共线，则以向量为一组基底， ， 所以，则. 故选：D. 3．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C. 4．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】B 【解析】因为，，， 所以， 因为，，三点共线，所以存在唯一的，使得， 即， 即，解得：. 故选：B. 5．（多选）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABC 【解析】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC.    6．如图，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，连接，若，则_____. 【答案】 【解析】由是线段的中点，可得， 又由是线段的中点，可得， 所以 ， 即， 故答案为： 7．已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则__________.，的最小值为__________. 【答案】2；4 【解析】由题可得， 因为共线，所以， 所以，当且仅当即时等号成立. 故答案为：2；4 8．如图所示，在中，为边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（两点不重合）． (1)用，表示； (2)若，，求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）在中，由， 又，所以 所以 （2）因为，又， 所以，， 所以 又D，E，F三点共线，且A在线外， 所以有：，即 【能力拓展】 9．如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】设且，则， 又，则， 由共线，则，可得， 所以. 故选：B 10．如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下： (1)若P在A点，因为，所以； (2)若P在B点，因为，所以； (3)若P在C点，因为，所以； (4)若P在D点，因为，所以； (5)若P在E点，因为，所以； (6)若P在F点，因为，所以. 所以的最大值为， 根据对称性，可知的最小值为， 故的取值范围是. 故选：C. 11．在中，分别是线段上的点，且，是线段上的三个动点，且，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 如图所示，设，可知， 设，可知， 设，可知， 则，即， 因为，所以， 可得，所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值是． 故答案为：． 【素养提升】 12．在中，. (1)如图一，若，用，表示，你能得出什么结论?并加以证明. (2)如图二，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点P，Q. ①用，表示； ②设，，求的最小值. 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 所以 . 结论：如图：在直线上，若，则. 证明如下： 因为在直线上，所以存在实数，使， 所以，整理得， 若，则. （2）①若，，则，， 因为三点共线，设， 则， 因为三点共线，设， 则， 因为与不共线，所以，解得， 所以. ②因为，， 所以，， 所以， 因为三点共线，所以，则， 所以， 当且仅当即时，取到最小值. 第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.1 平面向量的基本定理 【基础巩固】 1．若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ） ①和 ②和 ③和 ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ） A． B．1 C． D． 3．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点， 且，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A．1 B．0 C．3 D．2 5．（多选）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 6．如图，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，连接， 若，则_______. 7．已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则__________.，的最小值为__________. 8．如图所示，在中，为边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（两点不重合）． (1)用，表示； (2)若，，求的值． 【能力拓展】 9．如图，在中，已知，，P是线段与的交点， 若，则的值为（ ） A． B． C．1 D． 10．如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．在中，分别是线段上的点，且，是线段上的三个动点，且，则的最小值是_____． 【素养提升】 12．在中，. (1)如图一，若，用，表示，你能得出什么结论?并加以证明. (2)如图二，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点P，Q. ①用，表示； ②设，，求的最小值. 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $