精品解析：广东省东莞市虎门汇英学校2025-2026学年八年级上学期数学第四次教学质量自查试题

2025-2026学年八年级上学期数学第四次教学质量自查试题 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在多个领域具有重要的应用前景，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米，此键长用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 4. 无论x取何值时，下列分式总有意义的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知点与点关于y轴对称，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 下列计算正确的是（　 ） A. B. C. D. 7. 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？ 如果可以，带哪块去合适？（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意一块 8. 下列各式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，平分，交边上的高于点F．已知，则的长度是（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 10. 如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 分解因式：___________ 12. 如果多项式是完全平方式，则______． 13. 若，n为正整数，则______． 14. 如图，用四个如图1所示的长为m、宽为n的长方形拼成一个如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的周长与小正方形的周长的差等于_____． 15. 如图，是的角平分线，于点，点为的中点，若，，则有下列结论：；；；．其中正确的是 ________ ． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 一套住房的部分结构如图所示（单位：），这套房子的主人打算将卧室铺设500元的地板，客厅铺设100元的地砖，浴室和厨房铺设80元的地砖，求购买所需地板和地砖共多少元？ 17. 解下列关于x的分式方程：． 18. 如图，海岸上有A，B两个观测点，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，如果海岛C，D所在海岸的距离，相等，那么从观测点A看海岛C，D的视角与从观测点B看海岛C，D的视角是否相等？请你说明理由． 四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，小区有一块三角形空地，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路，隔开，E是的中点．经测量． （1）求的长； （2）求的度数和小路的长． 20. 河南泡泡玛特创始人设计名为Labubu的潮玩玩偶，风靡全球消费市场．某商场第一次用1200元购进一批“Labubu玩偶，很快售完；该商场第二次购进该“Labubu”玩偶时，进价提高了，同样用1200元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“Labubu”玩偶每件的进价是多少钱？ 21. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，点A，C分别在x轴的负半轴和第四象限． （1）直接写出a的值； （2）若，，的面积为3，求点C的坐标． 五．解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. （1）先化简再求值，其中． （2）已知，求和的值． 23. 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，则． （1）【初步感知】 如图1，根据以上条件，容易发现与的数量关系为： ； （2）【类比解答】 如图2，在中，是的角平分线，于E，若，，通过上述构造全等的方法，可求得的度数为 ； （3）【拓展应用】 ①如图3，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； ②如图4，在中，，，点F在线段上，，，垂足为E，与相交于点D．若的面积为36，请直接写出的长 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期数学第四次教学质量自查试题 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；依次进行选择即可． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 2. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在多个领域具有重要的应用前景，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米，此键长用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将表示成的形式，其中，为整数即可． 【详解】解：∵原数中，左边第一个非零数字1前面有9个0，且， ∴，即选项A符合题意． 【点睛】科学记数法就是将数据表示成的形式，其中，为整数，确定a、的值是解题关键． 3. 在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．模型中三角形架子是其主要结构，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：依题意，在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构， 这种设计的原理是三角形具有稳定性， 故选：A． 4. 无论x取何值时，下列分式总有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式总有意义的条件是分母不为零，需判断各选项分母是否恒不为零，若分母无论x取何值都不为零，则该分式总有意义． 【详解】解：∵分式总有意义的条件是分母不为0 对于选项A，∵， ∴，即无论x取何值，分母都不为0，该分式总有意义 对于选项B，当时，分母，分式无意义 对于选项C，当时，分母，分式无意义 对于选项D，当时，分母，分式无意义 ∴总有意义的是选项A. 5. 已知点与点关于y轴对称，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称点的性质，解题的关键是根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出x、y的值，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， 故选A． 6. 下列计算正确的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，完全平方公式，积的乘方、平方差公式，根据相应的运算法则解答即可． 【详解】解：A项，，原计算错误，故选项A不符合题意； B项，，计算正确，故选项B符合题意； C项，，原计算错误，故选项C不符合题意； D项，，原计算错误，故选项D不符合题意； 故选：B． 7. 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？ 如果可以，带哪块去合适？（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意一块 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：由图形可知，号有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形；号没有完整的边或角，号只有一个完整的角，根据全等三角形的判定方法，号和号都不可以作出与原三角形全等的三角形， 故选：． 8. 下列各式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简分式的判断，分式的定义．根据分式的定义可判断A，D，再根据分子，分母没有公因式的分式是最简分式，判断B，C，即可． 【详解】解：A、是分数，故A不符合题意； B、是最简分式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、不是分式，故D不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在中，，平分，交边上的高于点F．已知，则的长度是（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到，从而得出，再利用含30度角的直角三角形，得到，再证明是等边三角形，得到即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ， ∵平分， ， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 10. 如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，，从而可得，再根据图中阴影部分的面积等于的面积求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴图中阴影部分的面积等于， 故选：B． 二．填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 分解因式：___________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分解因式，熟练应用提公因式法分解因式是解题关键． 根据提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如果多项式是完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．根据完全平方式的结构特点进行解答即可． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 13. 若，n为正整数，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，根据同底数幂的乘法法则进行计算，然后再根据指数相等列出方程求解即可． 【详解】解：（为正整数）， ∴， 解得：， 故答案为：16． 14. 如图，用四个如图1所示的长为m、宽为n的长方形拼成一个如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的周长与小正方形的周长的差等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的周长和列代数式，先得出大正方形的边长为，小正方形的边长为，再分别表示出大正方形和小正方形的周长，再相减即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的周长为，小正方形的边长为， ∴， 故答案为：． 15. 如图，是的角平分线，于点，点为的中点，若，，则有下列结论：；；；．其中正确的是 ________ ． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线及高线的性质，根据角平分线的定义可判定；根据角平分线的定义及垂直的定义求得，，再由即可判定；根据三角形中线的性质即可判定；根据已知条件判定不出，由此即可解答；熟知三角形的角平分线、中线及高线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴，故正确； ∵为的中点， ∴，故 正确； ∵为斜三角形，为直角三角形， ∴与不全等， ∴不能够判定正确； 故答案为：． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 一套住房的部分结构如图所示（单位：），这套房子的主人打算将卧室铺设500元的地板，客厅铺设100元的地砖，浴室和厨房铺设80元的地砖，求购买所需地板和地砖共多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，分别求出卫生间面积，厨房面积，客厅面积，卧室的面积为，即可求所需的花费，理解题意，能够根据图形列出正确的代数式是解题的关键． 【详解】解：∵浴室的面积为，厨房的面积为，客厅的面积为，卧室的面积为， ∴购买所需地板和地砖共 （元）． 17. 解下列关于x的分式方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边同乘以得：， 整理得：， 解得：或， 检验：当时，， 当时，， 所以是分式方程的根，是分式方程的增根， 故原方程的解为． 18. 如图，海岸上有A，B两个观测点，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，如果海岛C，D所在海岸的距离，相等，那么从观测点A看海岛C，D的视角与从观测点B看海岛C，D的视角是否相等？请你说明理由． 【答案】相等， 理由如下： 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴视角相等． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定定理．证明得到，再由角度的和差计算即可证明． 【详解】略 四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，小区有一块三角形空地，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路，隔开，E是的中点．经测量． （1）求的长； （2）求的度数和小路的长． 【答案】（1）9m （2）90°；7.5m 【解析】 【分析】（1）由根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，从而，进而，再用勾股定理可求得的长； （2）由点E是的中点，可得 【小问1详解】 ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴在中，； 【小问2详解】 由（1）可得， ∵在中，点E是的中点， ∴， 即小路的长为7.5 m． 【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 20. 河南泡泡玛特创始人设计名为Labubu的潮玩玩偶，风靡全球消费市场．某商场第一次用1200元购进一批“Labubu玩偶，很快售完；该商场第二次购进该“Labubu”玩偶时，进价提高了，同样用1200元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“Labubu”玩偶每件的进价是多少钱？ 【答案】第一次购进的“Labubu”玩偶每件的进价是20元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；设第一次购进的“Labubu”玩偶每件的进价是x元，则第二次购进时每件的进价为元，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：设第一次购进的“Labubu”玩偶每件的进价是x元，则第二次购进时每件的进价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解； 答：第一次购进的“Labubu”玩偶每件的进价是20元． 21. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，点A，C分别在x轴的负半轴和第四象限． （1）直接写出a的值； （2）若，，的面积为3，求点C的坐标． 【答案】（1）a的值为3 （2）点C的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）作轴于点，求得，据此列式计算即可求解； （2）先求得，作轴于点，作交的延长线于点，证明四边形是矩形，证明，得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：作轴于点， ∵与轴所夹的锐角为，即， ∴， ∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知， 如图， ∵的面积为3， ∴， ∵， ∴， 作轴于点，作交的延长线于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 五．解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. （1）先化简再求值，其中． （2）已知，求和的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，整式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）将原式利用完全平方公式及平方差公式展开并合并同类项，然后代入已知数值计算即可； （2）利用完全平方公式将原式变形后即可求解． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2）∵， ∴，， ∴， ∴． 23. 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，则． （1）【初步感知】 如图1，根据以上条件，容易发现与的数量关系为： ； （2）【类比解答】 如图2，在中，是的角平分线，于E，若，，通过上述构造全等的方法，可求得的度数为 ； （3）【拓展应用】 ①如图3，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； ②如图4，在中，，，点F在线段上，，，垂足为E，与相交于点D．若的面积为36，请直接写出的长 ． 【答案】（1） （2） （3） ①．理由如下： 延长，交于点F． ∵， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ②6 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，由条件证得是解题的关键． （1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据互余得出的度数，进而利用角平分线的定义和三角形的内角和解答即可； （3）①延长，交于点F，根据证明解答即可； ②过F作交的延长线于H，交于G，根据①的结论得出，进而利用三角形面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：① 略 ②过F作交的延长线于H，交于G， ∴是等腰三角形， 由①可知， ∵的面积为36， ∴， ∴， 故答案为：6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $