7.3同底数幂的除法(第2课时）导学案2025-2026学年苏科版七年级数学下册

《7.3同底数幂的除法（第2课时）》导学案 【教学内容分析】 同学们，上一节课我们已经学习了同底数幂除法的第1课时，掌握了正整数指数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m、n为正整数，且m>n）。同时，我们也熟悉了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算，这些知识为我们本节课拓展幂的指数范围、学习零指数幂和负整数指数幂奠定了坚实基础。 本节课我们将重点学习同底数幂的除法（第2课时），核心是突破“被除数指数大于除数指数”的限制，引入零指数幂和负整数指数幂的概念及运算法则，完善同底数幂除法的知识体系。我们将通过具体实例，经历“观察—猜想—验证—归纳”的过程，理解零指数幂和负整数指数幂的意义，掌握其运算方法，能熟练运用法则进行混合运算，培养严谨的推理能力和规范的运算习惯。 通过本节课的学习，我们将把幂的指数从正整数拓展到非负整数、负整数，能灵活运用同底数幂的除法法则解决各类幂运算问题，准确区分零指数幂、负整数指数幂与正整数指数幂的运算差异，避免常见运算错误，体会“分类讨论”和“转化”的数学思想，为后续学习科学记数法的拓展、整式除法等知识做好铺垫。 【学习目标】 1. 能回忆同底数幂除法（第1课时）、其他幂运算法则，准确理解零指数幂和负整数指数幂的意义，明确其取值范围（底数不为0）。 1. 能通过具体运算实例，推导零指数幂和负整数指数幂的运算法则，验证法则的合理性，掌握a⁰=1（a≠0）、a⁻ⁿ=（a≠0，n为正整数）的核心公式。 1. 能熟练运用零指数幂、负整数指数幂的法则，结合已学幂运算法则进行混合运算，规范书写运算过程，准确判断运算的正确性。 【学习重点】 1. 理解零指数幂和负整数指数幂的意义，牢记核心公式：a⁰=1（a≠0）、 a⁻ⁿ=（a≠0，n为正整数）。 1. 能熟练运用零指数幂、负整数指数幂的法则进行运算，掌握运算规范，正确处理符号问题。 1. 能灵活运用同底数幂除法的完整法则（涵盖正整数、零、负整数指数幂）进行混合运算，区分不同指数幂的运算特点。 【学习难点】 1. 理解零指数幂和负整数指数幂的推导逻辑，明确“a⁰=1（a≠0）”  “a⁻ⁿ=（a≠0）”的合理性，避免出现“0⁰有意义” “a⁻ⁿ是负数”等错误认知。 1. 正确处理负整数指数幂的运算，尤其是底数为负数、字母的负整数指数幂，避免符号错误和法则混淆。 1. 能灵活运用零指数幂、负整数指数幂与其他幂运算法则进行混合运算，杜绝运算顺序、法则使用错误。 【课前预习·自主探索】 1. 回忆已学幂的运算，填空： （1）7⁶ ÷ 7⁶ = ________（7≠0）；（2）10⁸ ÷ 10⁸ = ________（10≠0）；（3）a⁵ ÷ a⁵ = ________（a≠0）；（4）9⁵ ÷ 9⁸ = ________（9≠0）。 1. 结合同底数幂除法法则（第1课时），思考下列问题： （1）当m=n时，aᵐ ÷ aⁿ（a≠0）的结果是什么？结合除法的意义（被除数=除数×商），猜想a⁰（a≠0）的意义：________； （2）当m<n时，例如9⁵ ÷ 9⁸（9≠0），无法直接用“指数相减”得到正整数指数幂，结合分数的意义，尝试转化为正整数指数幂的形式： 9⁵ ÷ 9⁸ = 9⁵/(9⁵×9³) =，猜想a⁻ⁿ（a≠0，n为正整数）的意义：________； （3） 总结：零指数幂和负整数指数幂的存在，使同底数幂除法法则 aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ（a≠0）的适用范围拓展为________。 1. 尝试根据猜想，计算下列各式（注意底数不为0）： （1）5⁰ = ________；（2）(−3)⁰ = ________；（3）a⁰ = ________（a≠0）； （4）2⁻³ = ________； （5）(−4)⁻² = ________； 1. 猜想：对于任意a≠0，n为正整数，a⁰ = ________，a⁻ⁿ = ________，你的猜想依据是________。 【课堂探究·合作交流】 探究一：零指数幂的意义与法则 1. 小组合作，根据同底数幂除法法则（第1课时）和除法的意义，推导零指数幂的法则： （1）计算：8⁵ ÷ 8⁵（8≠0），结合两种方法推导： 方法一（同底数幂除法法则）：8⁵ ÷ 8⁵ = 8⁵⁻⁵ = 8⁰； 方法二（除法的意义）：8⁵ ÷ 8⁵ = (8×8×8×8×8) ÷ (8×8×8×8×8) = 1； （2）同理，计算：b⁶ ÷ b⁶（b≠0），推导过程： ________________________________________________________________________ 1. 结合推导结果，小组讨论： （1）零指数幂a⁰（a≠0）的结果是什么？________________ （2）为什么要强调“a≠0”？0⁰有意义吗？________________ 1. 归纳总结：零指数幂的法则 文字语言：任何不等于0的数的0次幂都等于1； 符号语言：a⁰ = 1（a≠0） 注意：0⁰无意义；运算时需先判断底数是否为0，再计算零指数幂，避免出现“0⁰=1”的错误。 探究二：负整数指数幂的意义与法则 1. 小组合作，根据同底数幂除法法则和分数的意义，推导负整数指数幂的法则： （1）计算：7⁴ ÷ 7⁶（7≠0），结合两种方法推导： 方法一（同底数幂除法法则）：7⁴ ÷ 7⁶ = 7⁴⁻⁶ = 7⁻²； 方法二（分数的意义）：7⁴ ÷ 7⁶ = 7⁴/(7⁴×7²) =； （2）同理，计算：c³ ÷ c⁷（c≠0），推导过程： ________________________________________________________________________ 1. 结合推导结果，小组讨论： （1）负整数指数幂a⁻ⁿ（a≠0，n为正整数）的结果与正整数指数幂有什么关系？________________ （2）负整数指数幂的结果是负数吗？为什么？________________ 1. 归纳总结：负整数指数幂的法则 文字语言：任何不等于0的数的−n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数； 符号语言：a⁻ⁿ =（a≠0，n为正整数） 注意：底数a≠0，n为正整数；负整数指数幂的结果不一定是负数，符号由底数的符号决定（与指数奇偶性无关）；可将负整数指数幂转化为正整数指数幂的倒数进行计算，简化运算。 探究三：零指数幂、负整数指数幂的综合应用 1. 小组合作，运用法则计算下列各式，注意书写规范，结合已学幂运算法则进行混合运算： （1）(−5)⁰ （2）3⁻² （3）(−2)⁻³ （4）a⁰ × a⁻⁴（a≠0） （5）(b³)⁻²（b≠0） 计算过程及结果： （1）________________________________________________________________________ （2）________________________________________________________________________ （3）________________________________________________________________________ （4）________________________________________________________________________ （5）________________________________________________________________________ 1. 讨论：计算时容易出现哪些错误？如何避免？ 示例错误1：0⁰ = 1（错误原因：忽略“a≠0”的前提，0⁰无意义，正确应为________________） 示例错误2：2⁻³ = −8（错误原因：混淆负整数指数幂与负数的乘方，负整数指数幂表示倒数，而非负数，正确应为________________） 示例错误3：(−3)⁻² = −1/9（错误原因：负数的负整数指数幂，先判断底数符号，再计算倒数，正确应为） 【课堂练习·巩固提升】 1. 判断下列计算是否正确，对的打“√”，错的打“×”并改正： （1）(−6)⁰ = 1 （ ） 改正：________________ （2）0⁰ = 1 （ ） 改正：________________ （3）4⁻² = −16 （ ） 改正：________________ （4）(a⁻³)² = a⁻⁵（a≠0） （ ） 改正：________________ 1. 填空： （1）7⁰ = ________ （2）(−2)⁰ = ________（3）3⁻¹ = ________ （4）(−5)⁻² = ________ （5）a⁰ × a⁻³ = ________（a≠0） （6）(b⁻²)³ = ________（b≠0） 1. 计算下列各式（结果化为正整数指数幂的形式）： （1）(−8)⁰ （2）5⁻³ （3）(−4)⁻² × (−4)⁰ （4）(x²)⁻³ ÷ x⁻⁴（x≠0） （5）(mn)⁻² ÷ m⁻³（m≠0，n≠0） 1. 解决问题： 已知一个微型零件的长度为 2×10⁻³ cm，一个标准零件的长度为 2×10⁰ cm，求标准零件的长度是微型零件长度的多少倍（结果化为正整数）。 【参考答案】 【课前预习·自主探索】 1. （1）1；（2）1；（3）1；（4） 1. （1）1，a⁰=1（a≠0）；（2）a⁻ⁿ= · （a≠0，n为正整数）；（3）a≠0，m、n为整数（m、n可正、可零、可负） 1. （1）1；（2）1；（3）1；（4） · ；（5） 1. 1， · ；同底数幂除法法则和分数的意义，当m=n时，aᵐ÷aⁿ=a⁰=1（a≠0）；当m<n时，aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ=a⁻ⁿ= · （a≠0，n为正整数） 【课堂探究·合作交流】 探究一： 1. （2）方法一（同底数幂除法法则）：b⁶ ÷ b⁶ = b⁶⁻⁶ = b⁰；方法二（除法的意义）：b⁶ ÷ b⁶ = (b×b×b×b×b×b) ÷ (b×b×b×b×b×b) = 1； 1. （1）1；（2）因为当a=0时，0ᵐ ÷ 0ⁿ（m=n）无意义，所以a≠0；0⁰无意义； 1. 文字语言：任何不等于0的数的0次幂都等于1；法则适用的条件是底数a≠0，0⁰无意义，运算时需先判断底数是否为0。 探究二： 1. （2）方法一（同底数幂除法法则）：c³ ÷ c⁷ = c³⁻⁷ = c⁻⁴；方法二（分数的意义）：c³ ÷ c⁷ = c³/(c³×c⁴) = · ； 1. （1）a⁻ⁿ等于aⁿ的倒数；（2）不一定是负数，符号由底数的符号决定，例如(−2)⁻²= · （正数），(−2)⁻³= · （负数）； 1. 文字语言：任何不等于0的数的−n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数；法则适用的条件是底数a≠0，n为正整数，可将负整数指数幂转化为正整数指数幂的倒数计算。 探究三： 1. （1）(−5)⁰ = 1（因为−5≠0）；（2）3⁻² = 1/3² = · ；（3）(−2)⁻³ = 1/(−2)³ = · ；（4）a⁰ × a⁻⁴ = 1×a⁻⁴ = · （a≠0）；（5）(b³)⁻² = b³×(−2) = b⁻⁶ = · （b≠0）； 1. 错误原因1：忽略“a≠0”的前提，0⁰无意义；错误原因2：混淆负整数指数幂与负数的乘方，负整数指数幂表示倒数；错误原因3：负数的负整数指数幂，先计算底数的n次幂，再取倒数，符号由底数符号决定。 【课堂练习·巩固提升】 1. （1）√；（2）×，改正：0⁰无意义；（3）×，改正：4⁻² = · ；（4）×，改正：(a⁻³)² = a⁻⁶； 1. （1）1；（2）1；（3） · ；（4） · ；（5）a⁻³；（6）b⁻⁶； 1. （1）(−8)⁰ = 1；（2）5⁻³ = · ；（3）(−4)⁻² × (−4)⁰ = · × 1 = · × 1 = · ；（4）(x²)⁻³ ÷ x⁻⁴ = x⁻⁶ ÷ x⁻⁴ = x⁻² = · （x≠0）；（5）(mn)⁻² ÷ m⁻³ = m⁻²n⁻² ÷ m⁻³ = m⁻²⁺³n⁻² = m× · = · （m≠0，n≠0）； 1. 解：根据题意，求倍数用除法，列式为：(2×10⁰) ÷ (2×10⁻³) = (2÷2) × (10⁰ ÷ 10⁻³) = 1×10⁰⁻(−3) = 1×10³ = 1000，答：标准零件的长度是微型零件长度的1000倍。 学科网（北京）股份有限公司 $