专题04勾股定理的应用同步专项训练(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题04勾股定理的应用同步专项训练 【题型01 勾股定理应用:求梯子滑落高度】............................3 【题型02 勾股定理应用:求旗杆高度】................................4 【题型03 勾股定理应用:求小鸟飞行距离】............................5 【题型04 勾股定理应用:求大树折断前的高度】........................6 【题型05 勾股定理应用:解决水杯中筷子问题】........................7 【题型06 勾股定理应用:解决航海问题】..............................8 【题型07 勾股定理应用:求河宽】....................................9 【题型08 勾股定理应用:求台阶上的地毯长度】.......................10 【题型09 勾股定理应用:判断汽车是否超速】.........................11 【题型10 勾股定理应用:判断是否受台风影响】.......................12 【题型11 勾股定理应用:选址使到两地距离相等】.....................13 【题型12 勾股定理应用:求最短路径】...............................14 ★知识梳理★ ➷知识点01:常见应用场景及解题技巧 ✹1. 梯子滑动问题✹ 模型：梯子长度（斜边）不变，滑动前后形成两个直角三角形。 技巧：设滑动距离为 x，用 x 表示新的直角边长度，根据勾股定理列方程求解。 公式：若梯子长 c，初始底端距墙 a，顶端距地 b，底端外滑 x 后顶端下滑 y，则 (a+x)2+(b−y)2=c2。 ✹2. 旗杆 / 大树折断问题✹ 模型：折断部分、未折断部分和地面构成直角三角形。 技巧：设折断处到地面的高度为 x，则折断部分长度为总高度减去 x，利用勾股定理列方程。 ✹3. 小鸟飞行 / 最短路径问题 平面：两点之间线段最短，直接用勾股定理求斜边。 立体（如台阶、长方体）：将立体表面展开为平面，连接两点的线段为最短路径，再用勾股定理计算。 台阶地毯：将台阶的水平和垂直投影分别求和，即为地毯长度（本质是平移转化）。 ✹4. 水杯中筷子问题✹ 模型：筷子在水杯中形成直角三角形，杯底到杯口的高度和杯底直径为直角边，筷子长度为斜边。 技巧：利用勾股定理求筷子在杯内的最大 / 最小长度，或筷子露出杯口的长度。 ✹5. 航海 / 方位问题✹ 模型：方位角（如北偏东）形成直角三角形，南北、东西方向的距离为直角边，实际航行距离为斜边。 技巧：先画方位图，确定直角边，再用勾股定理求距离或判断位置。 ✹6. 河宽 / 不可直接测量距离问题✹ 模型：构造直角三角形，将不可测距离设为未知边，用可测边作为直角边求解。 技巧：选两个观测点，测量已知距离，利用勾股定理计算河宽或建筑物高度。 ✹7. 判断汽车是否超速 / 是否受台风影响✹ 模型：利用勾股定理计算最短距离（如汽车到测速点的距离、城市到台风路径的距离）。 技巧：计算出最短距离后，与限速或影响半径比较，判断是否超速或受影响。 ✹8. 选址使两地距离相等✹ 模型：利用线段垂直平分线的性质，结合勾股定理列方程求解。 技巧：设选址点到某点的距离为 x，根据 “到两地距离相等” 的条件，用勾股定理建立方程。 ➷知识点02:通用解题步骤 1.建模：将实际问题抽象为直角三角形，明确直角边和斜边。 2.设元：将未知量设为 x，用 x 表示其他相关线段。 3.列方程：根据勾股定理列出方程。 4.求解：解方程并检验结果是否符合实际意义。 ➷知识点03:核心技巧与注意事项 1.勾股数：熟记常见勾股数（如 3,4,5；5,12,13）及其倍数，简化计算。 2.分类讨论：当边长未明确是直角边还是斜边时，需分类讨论。 3.方程思想：未知量设元，利用勾股定理列方程是解决复杂问题的关键。 【题型1.勾股定理应用:求梯子滑落高度】 【典例】如图，一个长为10米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的长为8米，如果梯子的顶端A沿墙下滑2米到点C处，那么梯子底端B将外移到D，则线段BD的长为 米． 【跟踪专练1】如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 【跟踪专练2】在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【跟踪专练3.】在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【题型2.勾股定理应用:求旗杆高度】 【典例】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是 ． 【跟踪专练1】将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． (1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； (2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 【跟踪专练3】如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【题型3.勾股定理应用:求小鸟飞行距离】 【典例】如图①所示，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则小鸟至少飞行了 ． 【跟踪专练1】如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【跟踪专练3】如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【题型4.勾股定理应用:求大树折断前的高度.】 【典例】如图，木杆垂直于地面，大风将木杆在离地面5米P处吹断，木杆上段斜搭在地面上，其顶部Q落在离木杆底端12米处，则木杆折断之前高度为 米． 【跟踪专练1】《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【跟踪专练2】某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆，被大风从离地面的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C是否会落在与它的底部A的距离为的快车道上？说明理由． 【跟踪专练3】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【题型5.勾股定理应用:解决水杯中筷子问题】 【典例】平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是 尺． 【跟踪专练1】今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（  ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈尺） A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺 【跟踪专练2】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，，求的长． 【跟踪专练3】如图，一株水草立于湖水中，此时测得尺，随后将水草拉至与水面齐平时，测得尺．试求湖水有多深? 【题型6.勾股定理应用:解决航海问题】 【典例】已知，一轮船以4海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以3海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距 海里． 【跟踪专练1】一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【跟踪专练2】如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 【跟踪专练3】如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【题型7.勾股定理应用:求河宽】 【典例】为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为 米． 【跟踪专练1】如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【跟踪专练2】为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 【跟踪专练3】（1）等边三角形的边长为2，求它的中线长，并求出其面积； （2）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的体育馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得，如图所示，求A，B之间的距离． 【题型8.勾股定理应用:求台阶上地毯长度】 【典例】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费 元． 【跟踪专练1】如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A．65 B．85 C．90 D．150 【跟踪专练2】树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【跟踪专练3】某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【题型9.勾股定理应用:判断汽车是否超速】 【典例】为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 【跟踪专练1】县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？ （填“是”或者“否”） 【跟踪专练2】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【跟踪专练3】如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【题型10.勾股定理应用:判断是否受台风影响】 【典例】如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【跟踪专练1】如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【跟踪专练2】如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【跟踪专练3】如图，在一条东西方向的铁路南边的处有一所学校，铁路上有、两处观测点，观测点距离学校（即），观测点距离学校（即），且与恰好互余．若火车在行驶过程中会对周围范围内有噪声影响，请你判断火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校是否会有噪声影响？请说明理由． 【题型11.勾股定理应用:选址使到两地距离相等】 【典例】.在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ． 【跟踪专练1】某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【跟踪专练3】如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且.测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【题型12.勾股定理应用:求最短路径】 【典例】课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从处快速到达图书馆处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若，，则标牌上“■”处的数字是 ． 【跟踪专练1】如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是多少．（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ 【跟踪专练3】著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04勾股定理的应用同步专项训练 【题型01 勾股定理应用:求梯子滑落高度】............................3 【题型02 勾股定理应用:求旗杆高度】................................6 【题型03 勾股定理应用:求小鸟飞行距离】...........................10 【题型04 勾股定理应用:求大树折断前的高度】.......................13 【题型05 勾股定理应用:解决水杯中筷子问题】.......................15 【题型06 勾股定理应用:解决航海问题】.............................18 【题型07 勾股定理应用:求河宽】...................................21 【题型08 勾股定理应用:求台阶上的地毯长度】.......................24 【题型09 勾股定理应用:判断汽车是否超速】.........................26 【题型10 勾股定理应用:判断是否受台风影响】.......................29 【题型11 勾股定理应用:选址使到两地距离相等】.....................32 【题型12 勾股定理应用:求最短路径】...............................35 ★知识梳理★ ➷知识点01:常见应用场景及解题技巧 ✹1. 梯子滑动问题✹ 模型：梯子长度（斜边）不变，滑动前后形成两个直角三角形。 技巧：设滑动距离为 x，用 x 表示新的直角边长度，根据勾股定理列方程求解。 公式：若梯子长 c，初始底端距墙 a，顶端距地 b，底端外滑 x 后顶端下滑 y，则 (a+x)2+(b−y)2=c2。 ✹2. 旗杆 / 大树折断问题✹ 模型：折断部分、未折断部分和地面构成直角三角形。 技巧：设折断处到地面的高度为 x，则折断部分长度为总高度减去 x，利用勾股定理列方程。 ✹3. 小鸟飞行 / 最短路径问题 平面：两点之间线段最短，直接用勾股定理求斜边。 立体（如台阶、长方体）：将立体表面展开为平面，连接两点的线段为最短路径，再用勾股定理计算。 台阶地毯：将台阶的水平和垂直投影分别求和，即为地毯长度（本质是平移转化）。 ✹4. 水杯中筷子问题✹ 模型：筷子在水杯中形成直角三角形，杯底到杯口的高度和杯底直径为直角边，筷子长度为斜边。 技巧：利用勾股定理求筷子在杯内的最大 / 最小长度，或筷子露出杯口的长度。 ✹5. 航海 / 方位问题✹ 模型：方位角（如北偏东）形成直角三角形，南北、东西方向的距离为直角边，实际航行距离为斜边。 技巧：先画方位图，确定直角边，再用勾股定理求距离或判断位置。 ✹6. 河宽 / 不可直接测量距离问题✹ 模型：构造直角三角形，将不可测距离设为未知边，用可测边作为直角边求解。 技巧：选两个观测点，测量已知距离，利用勾股定理计算河宽或建筑物高度。 ✹7. 判断汽车是否超速 / 是否受台风影响✹ 模型：利用勾股定理计算最短距离（如汽车到测速点的距离、城市到台风路径的距离）。 技巧：计算出最短距离后，与限速或影响半径比较，判断是否超速或受影响。 ✹8. 选址使两地距离相等✹ 模型：利用线段垂直平分线的性质，结合勾股定理列方程求解。 技巧：设选址点到某点的距离为 x，根据 “到两地距离相等” 的条件，用勾股定理建立方程。 ➷知识点02:通用解题步骤 1.建模：将实际问题抽象为直角三角形，明确直角边和斜边。 2.设元：将未知量设为 x，用 x 表示其他相关线段。 3.列方程：根据勾股定理列出方程。 4.求解：解方程并检验结果是否符合实际意义。 ➷知识点03:核心技巧与注意事项 1.勾股数：熟记常见勾股数（如 3,4,5；5,12,13）及其倍数，简化计算。 2.分类讨论：当边长未明确是直角边还是斜边时，需分类讨论。 3.方程思想：未知量设元，利用勾股定理列方程是解决复杂问题的关键。 【题型1.勾股定理应用:求梯子滑落高度】 【典例】如图，一个长为10米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的长为8米，如果梯子的顶端A沿墙下滑2米到点C处，那么梯子底端B将外移到D，则线段BD的长为 米． 【答案】2 【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后所构成的两直角三角形即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴BD=OD-OB=8-6=2（米）， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，利用图形培养同学们解决实际问题的能力，由已知观察题目的信息抓住不变量是解题以及学好数学的关键． 【跟踪专练1】如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理；在中，利用勾股定理，求出，在中，利用勾股定理求出，再求和即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴在中，， 即， ∵， ∴在中， ∴， ∴， ∴， ∴两个书柜之间的距离为2.2米； 故选：B． 【跟踪专练2】在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 【跟踪专练3.】在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1)绳子的总长度为 (2)滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“绳子总长度固定”的条件是解题关键． （1）利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可进一步求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，，，， 则 故绳子的总长度是． 答：绳子的总长度为； （2）解：滑块B向左滑动了 ， 据（1）知绳子总长为 物体C上升高度为． 答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 【题型2.勾股定理应用:求旗杆高度】 【典例】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键．设，表示出，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设秋千绳索， ，， ， ， 在中，，即， 解得， 秋千绳索的长度是． 故答案为：． 【跟踪专练1】将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，得，再结合勾股定理得，故，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】如图，连接． 依题意， ∵， ∵在中，， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． (1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； (2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 【答案】(1)旗杆的高度为12米 (2)测量长度有误差（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）设旗杆的高度为，根据勾股定理进行求解即可； （2）根据可能产生误差的原因，作答即可． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为， 由勾股定理，得：， 解得； 答：旗杆的高度为12米； （2）解：产生误差的原因可能是测量长度有误差（答案不唯一）． 【跟踪专练3】如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 【题型3.勾股定理应用:求小鸟飞行距离】 【典例】如图①所示，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则小鸟至少飞行了 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理解决实际问题，根据题意，画出示意图，如图②所示，其中表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示，则，其中，则．在中，由勾股定理，得．即可求得，从而得到答案，读懂题意，构造直角三角形，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示： 则， ， ， 在中，，由勾股定理得， 则小鸟至少飞行了 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【答案】鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如答图， 设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得， 设的长为，则， 解得． 答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇． 【跟踪专练3】如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【答案】小鸟飞行的最短路程为10米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接． ∵米，米，米， ∴米，米，米， 在中，(米)， 故小鸟飞行的最短路程为10米． 【题型4.勾股定理应用:求大树折断前的高度.】 【典例】如图，木杆垂直于地面，大风将木杆在离地面5米P处吹断，木杆上段斜搭在地面上，其顶部Q落在离木杆底端12米处，则木杆折断之前高度为 米． 【答案】18 【分析】此题考查了勾股定理应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：根据题意可得，， ∴（米）， ∴折断前高度为（米）． 故答案为：18． 【跟踪专练1】《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度是尺， 故选：． 【跟踪专练2】某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆，被大风从离地面的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C是否会落在与它的底部A的距离为的快车道上？说明理由． 【答案】会，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用和实数的大小比较，解题的关键是正确求出的长度．先根据线段的和差求出的长度，再由勾股定理求出的长度，与5进行大小比较即可． 【详解】解：根据题意，m，， 则， ∴， 又∵， ∴倒下的电线杆顶部会落在与它的底部A距离5m的快车道上． 【跟踪专练3】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆在距离地面处折断 (2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度． （2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解． 【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． （2）解：， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 【题型5.勾股定理应用:解决水杯中筷子问题】 【典例】平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是 尺． 【答案】4 【分析】本题考查了解决水池中荷花问题（勾股定理的应用），设水池的深度为h尺，利用勾股定理，列出关于h的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为h尺，则： ， 解得：， 所以，水池的深度是4尺． 故答案为：4． 【跟踪专练1】今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（  ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈尺） A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设尺，则：尺， 在中，， ∴， 解得， ∴尺，尺， 即这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺， 故选：C． 【跟踪专练2】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得， 解得，即． 【跟踪专练3】如图，一株水草立于湖水中，此时测得尺，随后将水草拉至与水面齐平时，测得尺．试求湖水有多深? 【答案】8尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则尺，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设为x尺． ∵尺， ∴（尺）． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． 答: 水深8尺． 【题型6.勾股定理应用:解决航海问题】 【典例】已知，一轮船以4海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以3海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距 海里． 【答案】10 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了8海里和6海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了，海里， 根据勾股定理得：（海里）． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 【跟踪专练1】一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用．先求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于， 根据题意得，，海里，海里， ， 在中，根据勾股定理得， （海里）， 故此时与灯塔的距离为海里． 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 【答案】它们航行两小时后，相距． 【分析】本题考查解决航海问题（勾股定理的应用）． 根据题意可得，，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ∴， ∴它们航行两小时后，相距． 【跟踪专练3】如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，构建直角三角形是解题的关键．过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离，根据题意可求得，从而得到海里，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得到海里，最后利用勾股定理求得，即可判断． 【详解】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险， 理由如下：过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离， 由题意可知，，海里， ， ， ， 海里， ，， 海里， 在中，由勾股定理得 ， 渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 【题型7.勾股定理应用:求河宽】 【典例】为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为 米． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故答案为：24． 【跟踪专练1】如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 【跟踪专练2】为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 【答案】A、B两点之间的距离是． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（），从而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算． 题目中是直角三角形且，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即．要求、两点间的距离即求的长度，已知，，需将已知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出的长度． 【详解】解：是直角三角形且， 和为直角边，为斜边． 根据勾股定理可得：． ，，将其代入上述公式，可得： ， ， 由于线段长度为正数，得： ． 故A、B两点之间的距离是． 【跟踪专练3】（1）等边三角形的边长为2，求它的中线长，并求出其面积； （2）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的体育馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得，如图所示，求A，B之间的距离． 【答案】（1）中线，；（2）． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的实际应用，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，，再由勾股定理求解高，最后由三角形面积公式即可求解； （2）先证明为等腰直角三角形，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，为等边的中线，， ∴，， ∴由勾股定理得:， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：． 【题型8.勾股定理应用:求台阶上地毯长度】 【典例】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费 元． 【答案】8160 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费元， 故答案为：8160． 【跟踪专练1】如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A．65 B．85 C．90 D．150 【答案】B 【分析】勾股定理求出，平移的性质推出防滑毯的长为，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解： 由图可知：， ∵米，米， ∴米， 由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米）， ∴至少需防滑毯的长为：（米）， ∵防滑毯宽为5米 ∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和． 【跟踪专练2】树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 【跟踪专练3】某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【答案】需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可． 【详解】解：如图，由题意可得，， 利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【题型9.勾股定理应用:判断汽车是否超速】 【典例】为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【跟踪专练1】县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？ （填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 【跟踪专练2】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 【跟踪专练3】如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 【题型10.勾股定理应用:判断是否受台风影响】 【典例】如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    【跟踪专练2】如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得，在中，， ， ， 市受到台风影响的时间持续． 【跟踪专练3】如图，在一条东西方向的铁路南边的处有一所学校，铁路上有、两处观测点，观测点距离学校（即），观测点距离学校（即），且与恰好互余．若火车在行驶过程中会对周围范围内有噪声影响，请你判断火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校是否会有噪声影响？请说明理由． 【答案】火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而等面积法求得，与比较大小，即可求解． 【详解】解：火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响，理由如下， 如图，过点作于点， ∵与恰好互余，即， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响． 【题型11.勾股定理应用:选址使到两地距离相等】 【典例】.在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ． 【答案】15 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用，再结合勾股定理求出即可． 【详解】解：设，则， ， ， 故， 解得；． 故答案为：15． 【跟踪专练1】某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 【跟踪专练3】如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且.测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【答案】少千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、根据勾股定理构建方程是解题的关键； 设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米． 【题型12.勾股定理应用:求最短路径】 【典例】课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从处快速到达图书馆处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若，，则标牌上“■”处的数字是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握利用勾股定理计算直角三角形的边长，再通过路程差计算少走的距离是解题的关键． 先在直角三角形中用勾股定理求出的长度，再计算绕行路程与直线路程的差，得到少走的距离． 【详解】解：∵草地为长方形， ∴，为直角三角形 ∵在中，斜边，直角边， ∴根据勾股定理，另一条直角边 ∵行人若不穿越草地，需走的路程为 ， ∴比直接穿过草地少走的距离为 ． ∴标牌上“■”处的数字是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是多少．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题．先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短， ； 如图2所示，， 如图3所示，， ∵， ∴蚂蚁所行的最短路线为cm． 故选：B． 【跟踪专练2】你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， 即这根木条的长至少． 【跟踪专练3】著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)10 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【详解】（1）如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． （2）解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 【点睛】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $