10.1.3　古典概型 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

10.1.3　古典概型 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第十章“概率”中的10.1.3节内容。核心内容包括：概率的定义；古典概型的概念与两大特征；古典概型的概率公式推导；列举法（列表法、树状图法）在古典概型中的应用；“有放回抽样”与“无放回抽样”的概率计算差异；古典概型与实际问题的结合（如选择题得分概率、抽样问题等）。 内容解析 本节是概率知识体系的核心基础内容，承接了前序课程中随机事件、样本空间等概念，通过对具体试验（如掷骰子、抽扑克牌、抽签等）的分析，归纳出古典概型的本质特征，建立起概率计算的基本模型。其核心价值在于让学生从“试验估计概率”过渡到“模型计算概率”，体会数学抽象与建模的思想，为后续更复杂的概率问题（如几何概型、条件概率等）的学习奠定基础。 从知识关联看，古典概型是概率学习的入门模型，通过它能帮助学生理解概率的本质——随机事件发生可能性的量化度量，同时连接了数学抽象、数学运算等核心素养，是“用数学方法解决随机问题”的重要载体。 从学习意义看，通过探究古典概型的定义与公式，学生能掌握概率计算的基本方法，提升逻辑推理与数据分析能力；通过解决实际问题，体会概率在生活中的应用价值，培养用数学眼光分析问题的习惯。 教学目标 1. 理解概率的定义，能通过生活实例归纳古典概型的两大特征（有限性、等可能性），准确表述古典概型的定义，达到数学抽象核心素养水平一的要求。 2. 掌握古典概型的概率公式，能熟练运用列举法（列表法、树状图法）计算样本点总数及事件包含的样本点数，求解简单古典概型的概率，达到数学运算核心素养水平一的要求。 3. 区分“有放回抽样”与“无放回抽样”的差异，能解决不同抽样方式下的古典概型问题，理解抽样方式对概率计算的影响。 4. 能运用古典概型知识解决实际问题（如选择题得分概率、抽球问题、排列组合相关概率等），体会概率的实际应用价值，提升逻辑推理与数学建模素养。 目标解析 1. 能准确说出概率的定义，明确古典概型“有限性”和“等可能性”的含义，能判断一个随机试验是否为古典概型。 2. 给定古典概型问题，能通过列举法不重不漏地列出所有样本点，计算样本点总数和事件包含的样本点数，并利用公式求出概率。 3. 针对“有放回”与“无放回”抽样问题，能正确分析样本空间的构成，区分有序与无序样本点，准确计算对应概率。 4. 在实际情境中，能将问题转化为古典概型模型，结合列举法或排列组合知识求解概率，并能对结果进行合理解释。 达成上述目标的标志是： 1. 能独立判断常见随机试验是否为古典概型，准确推导古典概型的概率公式。 2. 能熟练运用列表法、树状图法列举样本点，解决抽球、掷骰子、选择题等基础古典概型问题，计算结果准确。 3. 能区分“有放回”与“无放回”抽样的样本空间差异，正确求解复杂古典概型（如分层抽样、排列组合相关）的概率。 4. 能结合实际问题解释概率的意义，如“随机选一道单选题答对的概率为”，并能根据概率结果作出简单决策。 本节内容的学习对象是高一学生，学生已具备以下知识基础： 1. 掌握随机事件、样本空间、样本点等基本概念，能列举简单试验的样本空间。 2. 具备基本的排列组合思想（如分步计数、分类计数），能解决简单的计数问题。 3. 具有一定的观察、归纳能力，能从具体实例中总结共同特征。 学生的认知特点：高一学生对具体实例的接受度较高，但对抽象概念的理解需要借助具象支撑；在古典概型的识别中，容易忽略“等可能性”这一核心特征；在列举样本点时，容易出现重漏现象；对“有放回”与“无放回”抽样的样本空间差异理解不深刻，计算时易混淆；在复杂问题中，难以快速将实际问题转化为古典概型模型。 基于以上分析，确定本节课的：教学重点：1. 古典概型的概念与两大特征；2. 古典概型的概率公式及应用；3. 列举法（列表法、树状图法）的运用。教学难点：1. 古典概型中“等可能性”的判断；2. 样本点的不重不漏列举；3. “有放回”与“无放回”抽样的概率计算差异；4. 实际问题向古典概型模型的转化。 知识点一　概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示． 知识点二　古典概型的概念 如果试验具有以下两个特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 知识点三　古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝． 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 导入新知1：校园抽奖活动中的概率谜题 学校社团节设置了抽奖摊位，抽奖规则明确如下：抽奖箱内有6个完全相同的小球，小球上分别标注数字1至6，其中标注1、2、3的小球对应“一等奖”，标注4、5的小球对应“二等奖”，标注6的小球对应“三等奖”。同学甲参与抽奖时，随机摸出1个球，想知道自己抽中一等奖的可能性大小；同学乙观察抽奖规则后，认为该规则存在不公平之处，觉得“一等奖”和“三等奖”的中奖机会差距过大，想要验证自己的判断是否正确。本节课我们将结合这个校园抽奖场景，带着相关疑问，探究概率的基础计算与公平性判断方法，解决同学甲和乙的困惑，掌握概率相关的基础知识点。 1. 这个抽奖试验中，所有可能的结果有多少种？每种结果出现的可能性相同吗？ 2. 中一等奖的可能性该如何用具体数值衡量？ 3. 怎样判断这个抽奖规则是否公平？公平的标准是什么？ 设计意图 1. 贴近生活实际：抽奖是学生校园生活中常见的活动，能快速吸引学生注意力，激发参与兴趣，让学生感受到概率知识并非抽象概念，而是存在于日常场景中。 2. 统领核心内容：通过问题1，引导学生发现试验的“有限性”和“等可能性”，自然引出古典概型的两大特征；问题2直接指向古典概型概率公式的探究需求，让学生带着“量化可能性”的目标进入新知学习；问题3则为后续运用古典概型解决实际问题（判断规则公平性）埋下伏笔，贯穿“定义—公式—应用”的整节课逻辑。 3. 激发求知欲：学生既希望算出自己中奖的概率，也想验证抽奖规则是否公平，这种贴近自身利益的疑问能驱动学生主动思考，迫切想要掌握相关知识解决问题，提升课堂参与的主动性。 导入新知2：奶茶店集章兑换中的选择困境 某奶茶店推出集章兑换活动，活动规则为：消费1杯奶茶可获得1枚随机印章，印章共有4种图案，分别记为A、B、C、D。集齐任意2种不同图案的印章可兑换小礼品，集齐4种图案的印章可兑换大额优惠券。 1. 小明已收集到A图案印章，再消费2次，能集齐2种不同图案（即第二次获得非A图案）的可能性有多大？ 2. 若奶茶店调整规则，第二次消费后可选择“保留原有印章并重新抽1枚”（类似有放回）或“直接兑换新印章”（类似无放回），两种方式下，集齐2种不同图案的概率会不一样吗？哪种方式更划算？ 设计意图 1. 贴近生活实际：喝奶茶、集章兑换是学生群体中流行的消费场景，熟悉的情境能降低学生的认知门槛，让学生快速代入问题，感受概率与生活决策的紧密联系。 1. 统领核心内容：问题1聚焦古典概型的基本计算，引导学生分析试验的样本空间与事件包含的样本点，紧扣“有限性” “等可能性”特征和概率公式；问题2自然引出“有放回”与“无放回”抽样的差异，精准对接本节课的教学难点，同时为列举法（树状图、列表法）的应用提供了实际载体，贯穿整节课的知识脉络。 1. 激发求知欲：“哪种方式更划算”的决策性问题，能激发学生的探究欲，让学生意识到掌握概率知识可以帮助自己做出更合理的选择，从而主动投入到古典概型的特征、公式及抽样差异的学习中，提升知识应用的主动性。 1.情景导入 问题1：抛掷一枚质地均匀的骰子的所有可能结果是什么?哪种结果的可能性较大? 问题2：有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率有多大？ 【设计意图】设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。 问题3：你能从上面两个实验中发现这两个试验有什么共同的特点? 【设计意图】利用问题情境探究得出古典概型的定义,培养学生探索的精神。 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小．对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示． 我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计．但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值．能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢? 思考 在10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验．它们的共同特征有哪些? 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 2.新知初探 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classicalmodelsofprobability)，简称古典概型． 下面我们就来研究古典概型． 思考 考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小? (1)一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件“抽到男生”； (2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件“恰好一次正面朝上”． 对于问题(1)，班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型． 抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小．因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量．显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点， 而事件“抽到男生”包含18个样本点．因此，事件A发生的可能性大小为． 对于问题(2)，我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间， 共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型． 事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小．因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量． 因为，所以事件B发生的可能性大小为． 一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的个样本点，则定义事件A的概率 ． 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 法国数学家拉普拉斯(P．—S．Laplace，1749—1827)在1812年把该式作为概率的一般定义，现在我们称它为概率的古典定义． 1、 应用新知 例7单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少? 解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为．考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型．设“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以．所以，考生随机选择一个答案，答对的概率． 【变式】（多选题）某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（    ） A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是 D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 【答案】ABC 【知识点】计算古典概型问题的概率 【解析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项. 【详解】甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为， 随机事件“若能得3分”中有基本事件，故“能得3分”的概率为，故A正确. 乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件， 分别为：， 随机事件“能得5分”中有基本事件，故“能得5分”的概率为，故B正确. 丙同学随机选择选项（丙至少选择一项）， 由A、B中的分析可知共有基本事件种，分别为： 选择一项：； 选择两项：； 选择三项或全选：，， 随机事件“能得分”中有基本事件， 故“能得分”的概率为，故C正确. 丁同学随机至少选择两个选项，有C的分析可知：共有基本事件11个， 随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为， 故D错. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）. 【感悟提升】　求解古典概型问题的一般思路 (1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)． (2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性． (3)计算样本点总个数n及事件A包含的样本点个数k，求出事件A的概率． P(A)＝＝. 思考 在标准化考试中也有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有一个选项是正确的)．你认为单选题和多选题哪种更难选对?为什么? 例8抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果． (1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； (2)求下列事件的概率： “两个点数之和是5”； “两个点数相等”； “Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”． 解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果．用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组表示这个试验的一个样本点． 因此该试验的样本空间，其中共有36个样本点． 由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型． （2）因为，所以，从而； 因为，所以，从而；因为， 所以，从而． 【变式】投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数，我们称其为正实验；若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数，我们称其为负实验；若两次面向上的点数相等，我们称其为无效．那么一个人投掷该骰子两次后出现无效的概率是 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先算出基本事件的总数，再计算随机事件中基本事件的个数，根据公式可求概率. 【详解】由题意掷一枚质地均匀的骰子两次，所得的结果数为种， 两次面向上的点数相等我们称其为无效，则无效的结果数有6种， 一个人投掷该骰子两次后出现无效的概率是． 故选：C. 【感悟提升】 判断一个试验是古典概型的依据 解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式，但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下问题： (1)试验必须具有古典概型的两大特征—有限性和等可能性. (2)计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点. 思考 在例8中，为什么要把两枚骰子标上记号?如果不给两枚散子标记号，会出现什么情况?你能解释其中的原因吗? 如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点．这样，和的结果将无法区别． 当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间，且， 则．其中，事件“两个点数之和是5”的结果变为，这时． 思考 同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢? 可以发现，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，和发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此是错误的． 归纳 求解古典概型问题的一般思路： （1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)； （2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率． 例9袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率： (1)“第一次摸到红球”； (2)“第二次摸到红球”； (3)“两次都摸到红球”． 解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表10.1-2表示． 表10.1-2 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 ✕ (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) ✕ (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) ✕ (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) ✕ (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) ✕ (1)第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1、2行)，即 ，所以． (2)第二次摸到红球的可能结果也有8种(表中第1、2列)，即 ，所以． (3)事件包含2个可能结果，即，所以． 如果同时摸出2个球，那么事件AB的概率是多少? 【变式】书架上有《西游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》4本名著，按任意顺序摆放，求下列事件的概率： (1)《西游记》摆在两端； (2)《西游记》和《水浒传》不相邻； (3)《西游记》和《水浒传》之间相隔一本书； (4)《西游记》或《水浒传》摆在两端； (5)《三国演义》摆在《红楼梦》的左边且这两本书不相邻． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】（1）设《西游记》为，《水浒传》为，《三国演义》为，《红楼梦》为，按顺序摆放的所有可能情况用树状图表示，再利用古典概型的概率求解； （2）由（1）中的树状图知事件包含的样本点有12个，再利用古典概型的概率求解； （3）由（1）中的树状图知事件包含的样本点有8个，再利用古典概型的概率求解； （4）由（1）中的树状图知事件包含的样本点有20个，再利用古典概型的概率求解； （5）由（1）中的树状图知事件包含的样本点有6个，再利用古典概型的概率求解. 【详解】（1）（1）设《西游记》为，《水浒传》为，《三国演义》为，《红楼梦》为，按顺序摆放的所有可能情况用树状图表示，如图所示： 由树状图，得4本书的摆放顺序共有24种可能的情况，即样本空间共含有24个样本点． 记事件表示“《西游记》摆在两端”，则由树状图知事件包含的样本点有12个，故《西游记》摆在两端的概率． （2）解：记事件表示“《西游记》和《水浒传》不相邻”，则由（1）中的树状图知事件包含的样本点有12个，故《西游记》和《水浒传》不相邻的概率． （3）解：记事件表示“《西游记》和《水浒传》之间相隔一本书”，则由（1）中的树状图知事件包含的样本点有8个，故《西游记》和《水浒传》之间相隔一本书的概率． （4）解：记事件表示“《西游记》或《水浒传》摆在两端”，则由（1）中的树状图知事件包含的样本点有20个，故《西游记》或《水浒传》摆在两端的概率． （5）解：记事件表示“《三国演义》摆在《红楼梦》的左边且这两本书不相邻”，则由（1）中的树状图知事件包含的样本点有6个，故《三国演义》摆在《红楼梦》的左边且这两本书不相邻的概率． 【感悟提升】 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便． 例10从两名男生(记为和)、两名女生(记为和)中任意抽取两人． (1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间． (2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率． 解：设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点． (1)根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间 不放回简单随机抽样的样本空间 按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间 ． (2)设事件“抽到两名男生”， 则对于有放回简单随机抽样，．因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．因此． 对于不放回简单随机抽样，．因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．因此． 因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以，因此． 【变式】一个盒子中装有4个编号依次为1､2､3､4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为. (1)写出试验的样本空间； (2)设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”，事件B=“编号”，分别求事件A，B，AB发生的概率. 【答案】(1)见详解； (2)，，. 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）用列举法写出样本空间计算即可； （2）根据事件的运算及古典概型计算即可. 【详解】（1）由题意可知所有可能的结果共有16种，样本空间为{， }； （2）由题意可知事件A=，共三个结果，故， 事件B=，共六个结果，故， 事件包含的结果有一个，故. 【感悟提升】　“有放回抽取”和“无放回抽取”的概率 1.“有放回抽取”和“无放回抽取”的概率求解问题是初学者特别容易出错的，而且也是特别经典的题型，学习时要注意区分是“有放回抽取”还是“无放回抽取”． 2.“有放回”是指抽取物体时，每次抽取之后，都把抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的； 3.“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，把抽取的物体放到一边，并不放回原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体总数较前一次被抽取的物体总数少． 4.若无特殊说明，“无放回抽取”应为一次取出相应的元素，在求解对应的样本点总个数时要注意对事件性质的确认，一次取出的元素之间无顺序的差异性．而“无放回抽取”中的“逐个抽取”，取出的结果则有先后顺序之分． 1.（25-26高二上·山东济宁·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子，先后抛掷两次，将落地时面朝上的点数分别记为，则的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【详解】连续抛两次骰子样本总量为， 由点数均为正整数，可得 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，不符合题意舍去， 所以满足题设条件的样本点有， 即的概率， 故选：C. 2.（25-26高一上·上海普陀·期末）从数字2，3，4，5，6中一次性随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率. 【详解】从数字2，3，4，5，6中一次性随机抽取两个数，包含的基本事件为: ，，，，，，，，，共种， 则两个数都是奇数包含的基本事件为， 所以两个数都是奇数的概率为. 故选：B. 3.（25-26高三上·江苏苏州·期末）一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则 ． 【答案】/ 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】根据不放回和放回的不同方式特点，结合古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】当标签的选取是不放回的，共有方式， 其中事件A有共4种方式， 所以； 当标签的选取是放回的，共有方式， 其中事件A有，5种方式， 所以, 所以. 故答案为： 4.（25-26高一上·北京·期末）从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可. 【详解】从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，用集合表示为： ，共种情况， 其中符合所取两个数之和为5，共种情况， 所以所取两个数之和为5的概率是. 故选：B 5.（25-26高一上·北京·期末）从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可. 【详解】从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，用集合表示为： ，共种情况， 其中符合所取两个数之和为5，共种情况， 所以所取两个数之和为5的概率是. 故选：B 6.（2026高二上·云南·学业考试）为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将4罐这种饮料装成一箱，其中2罐是中奖饮料，若从一箱中随机一次性抽出2罐饮料（每罐饮料被抽出的概率相等），则抽出的饮料中有中奖饮料的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，设中奖的2罐为，不中奖的2罐为，再列举求概率即可． 【详解】根据题意，设中奖的2罐为，不中奖的2罐为， 从一箱中随机一次性抽出2罐饮料， 则有共6种情况， 符合题意的有5种， 抽出的饮料中有中奖饮料的概率． 故选：A． 7.（25-26高三上·湖南长沙·月考）从数字4，5，6，7，8中随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率. 【详解】从4，5，6，7，8这五个数中任取两个数， 包含的基本事件有：，，，，，，，，，共个； 则这两个数都是奇数包含的基本事件有：，共个； 所以这两个数都是奇数的概率是. 故选：B 8.（25-26高二上·广东汕尾·期末）现有7个红色研学纪念勋章盲盒，其中3个放有“彭湃故居”纪念勋章．甲、乙两名学生先后从中各任取一个盲盒，则乙领到“彭湃故居”纪念勋章的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先把甲的抽取结果分为两种互斥情况，再分别计算两种情况下乙的概率，最后合并计算总概率，即可得到乙抽到目标勋章的总概率. 【详解】情况1：甲先抽到了“彭湃故居”纪念勋章（概率为 ），此时剩下6个盲盒， 其中2个是“彭湃故居”纪念勋章，则乙抽到的概率为 ； 情况2：甲没抽到“彭湃故居”纪念勋章（概率为 ），此时剩下6个盲盒， 其中3个是“彭湃故居”纪念勋章，则乙抽到的概率为 ； 所以（乙抽到）. 故选：D 9.（25-26高三上·安徽阜阳·月考）袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】分析可知取出的2张卡片上的数字分别为1，2或2张卡片上的数字都是3，结合古典概型运算求解. 【详解】由题意知：取出的2张卡片上的数字分别为1，2或2张卡片上的数字都是3， 所求概率. 故选：A. 10.（多选题）（25-26高三上·辽宁·期末）从1，2，3，4，5中有放回随机抽取一个数字（可以重复），连续抽取6次，得到一组数据1，5，1，4，5，2，则（    ） A．这组数据的平均数为3 B．这组数据的极差为1 C．这组数据的方差为3 D．继续随机抽取2个数字，则它们均为3的概率为 【答案】ACD 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、有放回与无放回问题的概率 【分析】对于ABC，由平均数，极差，方差计算方法可得答案；对于D，由题设可计算概率． 【详解】对于A，平均数，故A正确； 对于B，显然这组数据的极差为，故B错误； 对于C，这组数据的方差为： ，故C正确； 对于D，连续抽取两个数共有种可能，这两个数均为3仅一种可能，故，故D正确. 故选：ACD. 1.（25-26高一上·江西吉安·期末）班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先求出样本空间的样本数和恰好2人都是男生的样本个数，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】由题知班上有5名数学爱好者，其中3人是男生， 记这3人为，其余2人为， 从5人中选取人有：，共有10种情况， 恰好2人都是男生有，共3种情况， 所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率为. 故选：A. 2.（2026·山东·一模）已知盒中有10张纸条，分别写着1~10共10个数字，随机抽出一张，则恰好抽到3的倍数或抽到4的倍数的概率是（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概率模型直接计算即可. 【详解】随机抽出一张，则恰好抽到3的倍数或抽到4的倍数的数有：，共5张， 所以，根据古典概型，恰好抽到3的倍数或抽到4的倍数的概率是. 故选：A 3.（25-26高二上·四川成都·期末）从1到20，这个数中任取一个数，这个数能被2整除或被3整除的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】1到20，这20个数中能被2整除的有个，能被3整除的个，能同时被和整除的有个，所以能被2整除或被3整除的有个，由此可求出能被2整除或被3整除的概率. 【详解】1到20，这20个数中能被2整除的有个； 能被3整除的有，共个； 能同时被和整除的有，共个，所以能被2整除或被3整除的有个. 因此，从1到20，这个数中任取一个数，这个数能被2整除或被3整除的概率为. 故选：A. 4.（2026·陕西宝鸡·一模）在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）．现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，共有8种可能，然后再考虑能打结的有几种，即可解题. 【详解】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，所以共有8种可能. 先固定中间，有如图所示的四种情形， 这四种情形只有最后一种可以拉成结（可利用头发实验）， 将这四种情形翻转得到另外四种情形， 所以共有两种情形可以拉成结，故所求概率为. 故选：B 1.知识清单： （1）核心概念：概率的定义、古典概型的两大特征（有限性、等可能性）； （2）核心公式：古典概型概率公式； （3）关键方法：列举法（列表法、树状图法）、“有放回”与“无放回”抽样的概率计算； （4）核心思想：数学抽象（从具体试验到古典概型模型）、数形结合（用列表/树状图列举样本点）。 2.方法归纳： （1）古典概型解题步骤：① 判断是否为古典概型；② 列举样本点，计算n(Ω)和n(A)；③ 代入公式计算概率； （2）样本点列举技巧：两步试验用列表法，多步试验用树状图法，避免重漏； （3）抽样问题处理：明确抽样方式，区分有序与无序样本点。 3.常见误区： （1）忽略古典概型的“等可能性”特征，错误计算概率； （2）列举样本点时出现重漏，导致结果错误； （3）混淆“有放回”与“无放回”抽样的样本空间，计算失误； （4）将无序问题当作有序问题处理，或反之。 课本238页练习， 课本243页习题10.1第6、7、8题. 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 练习（第238页） 1．判断下面的解答是否正确，并说明理由． 某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用y表示命中，用n表示没有命中，那么试验的样本空间，因此事件“两次射击都命中”的概率为0.25． 1．不正确．如果每次命中目标的概率不等于0.5，那么样本空间中的四个样本点就不是等可能的，不符合古典概型特征． 2．从52张扑克牌(不含大小王)中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率： (1)抽到的牌是7；(2)抽到的牌不是7；(3)抽到的牌是方片； (4)抽到J或Q或K；(5)抽到的牌既是红心又是草花；(6)抽到的牌比6大比9小； (7)抽到的牌是红花色；(8)抽到的牌是红花色或黑花色． 2．（1）设事件“抽到的牌是7”，则． （2）设事件“抽到的牌不是7”，则． （3）设事件“抽到的牌是方片”，则． （4）设事件“抽到J或Q或K”，则． （5）设事件“抽到的牌既是红心又是草花”，则． （6）设事件“抽到的牌比6大比9小”，则． （7）设事件“抽到的牌是红花色”，则． （8）设事件“抽到的牌是红花色或黑花色”，则． 3．从0～9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率： (1)这个数的平方的个位数字为1；(2)这个数的四次方的个位数字为1． 3．设“取到的数的平方的个位数字为1”，“取到的数的四次方的个位数字为1”，试验的样本空间为，这10个样本点是等可能的，其中，， 所以，． 1. 本节课通过生活实例导入，引导学生自主归纳古典概型的特征与概率公式，符合高一学生的认知规律，学生参与度较高，但在“等可能性”的判断上仍有部分学生存在困难，后续需通过更多实例强化理解。 1. 列举法是古典概型解题的关键，学生在复杂问题中仍容易出现样本点重漏，需加强列表法、树状图法的专项训练，强调“有序列举”与“无序列举”的一致性。 1. “有放回”与“无放回”抽样的差异是教学难点，通过对比例题学生基本能掌握，但在实际应用中仍需提醒学生先明确抽样方式，再构建样本空间。 1. 后续教学可增加更多与生活实际结合的古典概型问题（如抽奖、游戏公平性判断等），进一步提升学生的数学应用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $