小升初思维拓展：长度和角度（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初思维拓展：长度和角度 1．三角形是直角三角形，阴影的面积比阴影的面积小，，求的长度． 2．如右图，三角形中，，，求. 3．直角三角形放在一条直线上，斜边长厘米，直角边长厘米．如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕点转动，到达位置Ⅱ，此时，点分别到达，点；再绕点转动，到达位置Ⅲ，此时，点分别到达，点．求点经到走过的路径的长． 4．如图，在直线上两个相距l厘米的点A和B上各有一只青蛙．A点的青蛙沿直线跳往关于B点的对称点Al，而B点的青蛙跳往关于A点的对称点Bl；然后A1点的青蛙跳往关于Bl点的对称点A2，Bl点的青蛙跳往关于Al点的对称点B2．如此跳下去，两只青蛙各跳了7次后，原来在A点的青蛙跳到的位置距离B点有多少厘米? 5．有一个长20厘米，宽15厘米的长方形，沿两条平行于长方形边界的直线将其划分成3个或4个小长方形．问这些小长方形周长之和最大是多少厘米? 6．一个矩形长33厘米，宽32厘米，用正方形如下图分割，已知最小正方形边长为1厘米，第二个小正方形边长为4厘米，请在图中填出其余正方形的边长. 7．如图所示，8个同样大小的小长方形拼成了一个大长方形．已知大长方形的周长是84厘米，求小长方形的周长． 8．把一个正方形分成甲、乙两部分，比较甲、乙两部分周长的长短． 9．如图所示，五条线段依次首尾相连组成一个五角星。∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5等于多少度？ 10．四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的多少倍． 11．如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？ 12．用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示．已知外面大正方形的周长是厘米，里面小正方形的面积是平方厘米，每块长方形条砖的长是多少厘米，宽是多少厘米？ 13．图中，阴影图形的总面积是 131 平方厘米. 其中DH⊥GF ,EK⊥GF. GH=KF=6厘米，DH=EK=DE=7厘米.又AB=8 厘米，BC=10 厘米，则∠ABC的度数是多少？ 14．梯形ABCD的中位线EF长15厘米（见图），∠ABC=∠AEF=90°，G是EF上的一点．如果三角形ABG的面积是梯形ABCD面积的1/5，那么EG的长是几厘米？ 15．如图，正方形的树林每边长1000米，里边有白杨树和榆树．小明从树林的西南角走入树林，碰见一株白杨树就往正北走，碰到一株榆树就往正东走，最后他走到了东北角上．问小明一共走了多少米的距离? 16．如下图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7. 求上底AB与下底CD的长度之比. 17．图中标出的10个角的度数总和是多少？ 18．如图，有一个八边形，任意相邻的两条边都互相垂直．为确定这个八边形的周长，最少需要知道其中几条边的长度? 19．如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和形区域乙和丙．甲的周长为厘米，乙的边长是甲的周长的倍，丙的周长是乙的周长的倍，那么丙的周长为多少厘米？长多少厘米？ 20．如图，阴影部分是正方形，最大的长方形的周长是多少厘米? 21．如图，平行，且，，，求的长． 22．有若干张相同的长方形硬纸片，长和宽都是整数，且长比宽长7厘米。如果把这些纸片按图1所示排成一排，总长度是495厘米；如果按图2所示排列，总长度是299厘米。那么按图3所示排列，总长度是多少厘米？ 23．如图，长方形ABCD的长和宽分别是15厘米和12厘米，三角形FDC、三角形BEC和四边形AECF面积相同，求EA的长度。 24．如图17所示，正方形的面积是27平方厘米，在正方形内有两条平行于对角线段把正方形的面积平均分成三份，求图中这两条线段的长是多少厘米？ 25．如图，∠A＝∠B＝60°，且AB＝24，BD＝16，AC＝8，而且三角形CDE的面积等于四边形ABEC的面积。请问：DE的长度是多少？ 26．一个人从某点出发步行，前进20米就向右转15度，再前进20米又向右转15度，……，这样走了一圈后回到了出发点．那么当他回到出发点时一共走了多少米? 27．如图，，，被分成个面积相等的小三角形，那么？ 28．如图，一条直线上放着一个长和宽分别为和的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是．让这个长方形绕顶点顺时针旋转后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点到达点的位置．求点走过的路程的长． 29．三个边长为1的正方形并排放在一起，成为1×3的长方形。求证：。 30．用若干个边长都是厘米的平行四边形与三角形(如下图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？ 31．如图，已知扇形的面积是半圆面积的倍，则角的度数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．12.53 【详解】由于阴影的面积比阴影的面积小，根据差不变原理，直角三角形面积减去半圆面积为，则直角三角形面积为()， 的长度为()． 2．10：9 【详解】根据燕尾定理得 所以 3． 【详解】由于为的一半，所以，则弧为大圆周长的，弧为小圆周长的，而即为点经到的路径，所以点经到走过的路径的长为(厘米)． 4．1093 【详解】两只青蛙各跳一次，距离增加为原来的3倍，所以A7B7＝37×1＝2187(寸)，而且A7在右，B7在左(跳奇数次时，A点的青蛙在左．跳偶数次时，B点的青蛙在左)． 显然有B7A＝BA7，所以BA7＝(B7A7－AB)÷2＝(2187－1)÷2＝1093，即答案为1093． 5．150 【详解】本题共有如下三种不同的方法： 有方法一分出的3个小长方形的周长之和为20+20+20+20+20+20+15+15＝150厘米； 方法二分出的3个小长方形的周长之和为15+15+15+15+15+15+20+20＝130厘米； 方法三分出的4个小长方形的周长之和为15+15+15+15+20+20+20+20＝140厘米． 所以，这些小长方形周长之和最大为150厘米． 6．解：设如图中第③个小正方形边长为x，则其余每个正方形的边长都可以用x的代数式表达出来，如图所示.   再由大长方形的长为33厘米可得关系式：   2x＋1+x+11=33       3x=21        x=7（厘米）.   于是图中所有正方形的边长均可将x＝7代入，得如图所填的值.   还可以用大正方形的宽为32厘米来验证所求值的正确性：   2x+1+x+1+x+2=15+8+9=32（厘米）. 【详解】略 7．30 【详解】我们称小长方形的短边为宽，长边为长，有8宽+4长＝84，又 3宽＝2长，所以 8宽+6宽＝84，所以宽＝6，长＝9． 于是小长方形的周长为2×(9+6)＝30(厘米)． 8．甲的周长大于乙的周长． 【解析】略 9．180度 【分析】 三角形的内角和为180度。如图所示：在三角形ABC中，∠1是三角形的一个外角，∠A＋∠B＋∠2＝180度，∠1＋∠2＝180度，所以，∠A＋∠B＝∠1，也就是三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和，这是三角形的外角性质。 在题干图中，标记出∠6和∠7，根据三角形外角和进行计算图中各角之和。 【详解】做如图所示∠6，∠7。根据三角形的外角性质可知： ∠6＝∠2＋∠4 ∠7＝∠1＋∠3； 则∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝180度。 答：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5等于180度。 10．2 【详解】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵，∴，∴． 解法二：作于，于． ∵，∴，∴， ∴，∴，∴． 11．6.4 【详解】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形中，边上的高， ∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理，． ∴正方形与长方形面积相等． 长方形的宽(厘米)． 12．18；24 【详解】外面大正方形的边长为厘米，里面小正方形的边长为厘米，从图中可以看出，长方形的宽为厘米，长方形的长为厘米． 13．90° 【详解】已知 DE // GF ,HK=7 厘米， DEFG 是个梯形，它的面积=（7+19）×7=91 （平方厘米），因此，三角形 ABC 的面积=131-91=40 （平方厘米）.作AP⊥BC 于 P ，则三角形 ABC 的面积=40=AP×BC=AP×10 ，所以 AP=8 厘米 =AB ，因此 P 点与 B 点重合，因此 AB=BC, 即∠ABC=90°. 14．6厘米 【详解】梯形ABCD的面积等于EF×AB，而三角形ABG的面积等于EG×AB，因此三角形ABG和梯形ABCD的面积比等于EG与EF的比．由题目的条件，三角形ABG的面积是梯形ABCD的面积的，即EG是EF的．因为EF长15厘米，EG的长就是：15×＝6(厘米). 答：EG长6厘米 15．2000 【详解】小明往正北走路程可能分许多段．不管是多少段，各段距离的和正好是正方形南北方向的一条边长1000米；同样小明往正东方向走若干段距离的和也正好是东西方向的一条边长1000米． 所以，小明一共走了1000+1000＝2000(米)． 16．3∶14 【详解】因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等． 三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比： AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积=（10-7）∶（7×2）= 3∶14 答：上底AB与下底CD的长度之比是3∶14． 17．1080° 【分析】首先直接分析内角不容易，转换分析外角和为720°，再根据互补即可求解。 【详解】依题意可知如图所示： 首先观察这个图形的外角和是走2圈，走一圈外角和为360°，2圈即是720°。 那么外角分别是180°－∠1＝∠a。 所有的外角就是180°×10－（∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10）＝720° 所有内角和为1800°－720°＝1080°。 答：内角和为1080°。 18．3 【详解】我们利用例4的方法，放一只小虫使它沿八边形的边缘爬行一周回到原出发点，有向左的长度等于向右的长度，向下的长度等于向上的长度，而爬行一周的路程即为图形的周长，所以只用量出向上，向左的长度，在下图中(实际小虫是在八边形的边上爬行，而不是沿示意线爬行)，即为AB，ED，AG的长度． 显然只用量出3条线段的长度，即可求出八边形的周长． 19．2 【详解】乙的周长实际上是正方形的周长(我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移)，同样的，丙的周长也就是正方形的周长．由于，，所以丙的周长为厘米， (厘米)． 20．30 【详解】设正方形的长为x厘米，则长方形的长为9－x+6＝15－x厘米，而宽为x厘米，所以长方形的周长为2×(x+15－x)＝30厘米． 显然，当x不大于6时，长方形的周长恒为30厘米，那么最大的长方形的周长也是30厘米． 21．10 【详解】由金字塔模型得，所以 22．200厘米 【分析】图1是由几个长方形的长连接起来的，如果长方形硬纸片是偶数张的话，最后的总长度是偶数，反之最后的总长度是奇数，495是奇数，则长方形硬纸片是奇数张。图1的排列方式比图2的排列方式少了196厘米，对比图1是全是长连接起来，图2是连续的一个长和一个宽连接，一个长比一个宽长7厘米，则图2中有个28张竖起来的，第一张是竖着放的，所以横着放的要么是27张，要么是28张，如果是28张，最后的总张数是偶数张，不符合题意。则只能是27张。27张的总长度是495厘米，平均每张长方形的长是9厘米，宽就是2厘米。按照图3所示摆放，一竖两横就是3张为一个整体，55张里面有18组这样的整体余1张，且这1张是竖着放的。则每个整体的长＝每个长方形硬纸片的长＋每个长方形硬纸片的宽，最后的总长度＝18×每个整体的长＋宽＝18×（长＋宽）＋宽。 【详解】495－299＝196（厘米） 196÷7＝28（张） 28×2－1 ＝56－1 ＝55（张） 495÷55＝9（厘米） 9－7＝2（厘米） 55÷3＝18（组）……张（张） 9＋2＝11（厘米） 18×11＋2 ＝198＋2 ＝200（厘米） 答：总长度是200厘米。 23．4厘米 【分析】有题可知长方形ABCD的长和宽分别是15厘米和12厘米，因此可以先求出长方形ABCD的面积。三角形FDC、三角形BEC和四边形AECF面积相同，因此用长方形的面积再除以3即可求出三角形BEC的面积，然后根据“三角形的高＝面积×2÷底”即可求出BE的长度，再用12厘米减去BE的长度即可求出EA的长度。 【详解】三角形BEC的面积： 15×12÷3 ＝180÷3 ＝60（平方厘米） BE：60×2÷15 ＝120÷15 ＝8（厘米） EA：12－8＝4（厘米） 答：EA的长度为4厘米。 24．6厘米 【详解】如答图4所示 以一条线段BC为边作一个新的正方形ABCD．由于原正方形的面积是27平方厘米，所以，从而，从而BC=6（厘米）．显然这两条平行线段的长度是相等的，因此它们的长度均为6厘米． 25．14 【分析】分别延长AC、BE交于点F，∠A＝∠B＝60°，怎可以求出CF与AF的比，又因为再根据三角形CDE的面积等于四边形ABEC的面积，从而利用面积关系即可推论得出BE与BD的比，进而即可求出DE的长度是多少。 【详解】延长AC、BE交于点F，由已知条件可知，三角形ABF是一个等边三角形， 则AF＝BF＝AB＝24， ， 那么三角形CDF的面积＝三角形ABF的面积， ， 则三角形CDF的面积＝三角形BCF的面积＝×三角形ABF的面积＝三角形ABF的面积， S△CDE＝×（S△ABF﹣S△CDF）＝×（S△ABF﹣S△ABF）＝S△ABF， S△BCD＝S△BCF﹣S△CDF＝S△ABF﹣S△ABF＝S△ABF， S△BCE＝S△BCD﹣S△CDE＝S△ABF﹣S△ABF＝S△ABF， ＝＝＝， DE＝16×（1﹣）＝14. 答：DE的长度是14. 【点睛】此题难度较大，需要做出辅助线，利用等边三角形的特点，以及三角形的面积与底的关系，即可逐步求解。 26．480 【详解】这个人转了一圈回到原出发点，则转了360°，于是转了360÷15＝24次，所以共走了24×20＝480(米)． 27．24 【详解】由题意可知，，所以，；又，所以，同样分析可得，所以． 28．6π 【详解】 因为长方形旋转了三次，所以点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)． 这三段路程分别是： 第1段是弧，它的长度是()； 第2段是弧，它的长度是()； 第3段是弧，它的长度是()； 所以点走过的路程长为：()． 29．见解析 【分析】仔细分析，要证∠1＋∠2＋∠3＝90∘，由于∠3＝45°，所以，只需证明∠1＋∠2＝45°就可以解决问题。 【详解】由于∠3＝45°，如下图所示； 再拼上一个单位正方形DFKM，则三角形AKC为等腰直角三角形，又直角三角形KCF与AHD全等，所以∠KCF＝∠2，∠1＋∠2＝45°，因此∠1＋∠2＋∠3＝90°。 【点睛】根据题目的要求，对题中所给出的条件进行转化，充分利用辅助线是解决此类问题的关键。 30．39 【详解】大平行四边形上、下两边的长为厘米，观察上边，每厘米有两个平行四边形的边，，所以有三角形个，小平行四边形个． 31．60 【详解】设半圆的半径为1，则半圆面积为，扇形的面积为．因为扇形的面积为，所以，，得到，即角的度数是60度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $