小升初思维拓展：图形的分与合（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初思维拓展：图形的分与合 1．小龙的妈妈在街上卖边角布料的地摊上，买回了一块形状是等腰直角三角形的绸布，想用它来做长方形的窗帘，为了不把布剪的太碎，裁剪的块数就要尽可能的少，请问小龙的妈妈应该怎样剪拼呢？ 2．如图所示的多边形是由一个三角形和三个长方形组成的。已知三个长方形的面积分别是12平方厘米、4平方厘米和6平方厘米。三角形面积是多少平方厘米？ 3．下图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？ 4．请把下面的图形分成形状、大小都相同的块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”个字． 5．下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分。如果分三部分呢？ 6．在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块． 7．如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形． 8．将一张正方形纸片，横着剪刀，竖着剪刀，裁成尽可能大的形状大小一样的张长方形纸片。再把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片。如果小正方形边长为厘米，那么大正方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由。 9．如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作：按上述规则完成5次操作以后，剪去所得小正方形的左角。问：当展开这张正方形纸片后，共有多少个小洞孔？ 10．一整块大豆腐长40厘米，宽20厘米．厨师准备把它切成一些长5厘米，宽4厘米的小块，而且每次只能沿着直线切，如果不允许移动豆腐的位置，那么厨师至少要切几次？ 11．将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○． 12．一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？ 13．如下图长方形的长、宽分别为120厘米、90厘米，正中央开有小长方形孔，长为80厘米，宽为10厘米，要拼成面积为100平方厘米的正方形．问如何切分，能使划分的块数最少． 14．右图是一个的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整． 15．正六边形的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积． 16．下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形． 17．请把图中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形． 18．星星有一些长8厘米、宽6厘米的拼板，要用这些拼板拼成一块实心正方形拼板，最少需要多少块拼板？画出相应的图形。（不能裁剪，不能重叠，不能中空） 19．如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)． 20．下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分． 21．有一块长8米、宽3米的长方形地毯，现在要把它移到长6米、宽4米的新房间里．请找出一种剪裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪裁的块数尽可能地少，应怎样剪拼？ 22．用下面的3个图形，拼成右边的大正方形． 23．如图，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞．现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么办？ 24．把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成为一个正方形． 25．把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形． 26．用若干个2×2和3×3的小正方形能不能拼成一个11×11的大正方形，请你说明理由！ 27．如图，用一块边长18厘米的正方形硬纸片，在四个角上截去4个相同的小正方形（图中阴影部分），然后把四边形折合起来，做成一个没有盖的长方体纸盒．截去的4个相同的小正方形的边长是多少厘米时，长方体纸盒的容积最大？ 28．观察图，ABCDEF是正六边形，O是它的中心，画出线段PQ后，就把正六边形ABCDEF分成了两个形状、大小都相同的五边形．能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？ 29．如图，四边形是平行四边形，，，，高，弧，分别以，为半径，弧，分别以，为半径，阴影部分的面积为多少？（取3） 30．三种塑料板的型号如图： () () () 已有型板30块，要购买、两种型号板若干，拼成正方形10个，型板每块价格5元，型板每块价格为4元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买、两种板要花多少元？ 31．如下图两个正方形的边长分别是和()，将边长为的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形． 32．如图，它是由个边长为厘米的小正方形组成的． ⑴ 请在原图中沿正方形的边线，把它划分为个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗． ⑵ 分割后每个小图形的周长是       厘米． ⑶ 分割后个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差 厘米． 33．如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？ 34．将图分成大小、形状都相同的四块，使得每一块中都有A、B、C、D． 35．如图，长方形的面积是2平方厘米，，是的中点。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 36．把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等． 37．如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 【详解】要使裁剪的块数少，就要充分利用等腰直角三角形的特点，还要尽可能多的让长方形的边与三角形的边重合，假设拼好的长方形以为长，现在要把△补到△的位置上，这就要求这两个三角形完全一样，显然，只要取、分别为、的中点即可．所以首先连接的中点和的中点，将△沿剪开，再按顺时针方向旋转180°即可． 2．9平方厘米 【分析】将整个图形补成一个长方形，如图．根据③是6平方厘米，④是4平方厘米，这两个长方形的宽相等，面积之比就是长的比，可知③、④面积之比＝长之比＝3∶2。①和②是两个宽相等，面积之比就是长之比，也是③、④面积之比，即①、②面积之比是3∶2。其中②的面积是12平方厘米，按比分配可知①的面积是18平方厘米，而三角形的面积是①的一半，可知三角形的面积是9平方厘米． 【详解】6∶4＝3∶2 12÷2×3＝18（平方厘米） 18÷2＝9（平方厘米） 答：三角形面积是9平方厘米。 3．不能 【分析】将40个小正方形想剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成20个1×2的长方形，将其黑白相间染色后，发现有21黑，19白，黑白格数不等，而1×2的小矩形一次覆盖黑白格各一个，所以不能将它裁剪成20个相同的长方形。 【详解】答：根据分析可知，因为黑白格数不等，而1×2的小矩形一次覆盖黑白格各一个，所以不能将它裁剪成20个相同的长方形。 【点睛】此题主要考查学生对长方体特征以及图形拼接的理解与认识。 4． 【详解】如下图所示： 答案不唯一． 5．（答案不唯一） 【详解】从形状，面积两方面综合考虑，很容易就能得到答案。 6． 【详解】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O和正方形水池的中心A．过O、A画一条直线，这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)． 7． 【详解】实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的2倍，设十字形面积是5个平方单位，长方形的长为长度单位，宽为长度单位，那么有，即，由勾股定理可知：所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是3和1的斜边．它恰是两个对角顶点的连线．剪拼方法如右图所示，甲拼在甲′位置，乙拼在乙′位置，就可得符合题意的图形． 假若沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的4片是4个全等多边形，这时两条直线都经过十字形的中心，并且互相垂直．剪开的这4个图形其中一个绕中心旋转也和另一个重合．由此我们便得到一个重要结论：对于一个正方形来讲，如果从中心沿角的两边切开，得到整个图形的，这个的图形若绕中心旋转一定和另外的的图形重合．对于一个正三角形来讲，如果从中心沿角的两边切开，得到整个图形的，这个的图形若绕中心旋转一定也和另外的的图形重合．一般情况：对于一个正边形，如果从它的中心沿的角的两边剪开，得到整个图形的，这个的图形若绕中心旋转角，一定也和另一个图形重合． 8．平方厘米；见详解 【分析】大正方形纸片被横着裁成5份，竖着裁成7份，所以裁成的长方形纸片的长宽比为7∶5，若将这样的纸片切割成尽可能大的正方形纸片，则正方形纸片边长应该为长方形纸片长、宽的公因数，而 7和5的公因数只有1，所以长方形纸片的宽是小正方形纸片的边长的5倍， 然后可以求出长方形纸片的宽，进而求出原来的大正方形的边长，最后求面积。 【详解】长方形纸片的宽是小正方形纸片的边长的5倍，长方形纸片的长是小正方形纸片的边长的7倍； 2×5＝10（厘米） 所以长方形纸片宽10厘米； 大正方形纸片边长： 10×7=70（厘米） 70×70＝4900（平方厘米） 答：大正方形纸片的面积应为4900平方厘米。 【点睛】本题将平面图形的切割问题与公因数的问题相结合，关键是找出小正方形的边长与长方形的长和宽的关系。 9．256个 【分析】对已经过五次操作且剪去左下角的纸片做一次操作，得到的纸片有1个洞孔；再进行一次操作，得到的纸片上有1×4＝4个洞孔。按照这个方法继续做操作，我们发现规律：从第二次开始，每经过一次操作，得到的纸片上的洞孔数是操作前洞孔数的4倍，据此解答。 【详解】1×4×4×4×4 ＝16×4×4 ＝256（个） 答：当展开这张正方形纸片后，共有256个小洞孔。 【点睛】本题关键是要找出从第二次开始，每经过一次操作，得到的纸片上的洞孔数是操作前洞孔数的4倍，据此解答即可。 10．至少要切11次． 【详解】试题分析：首先分别用大豆腐的长除以小块的长，再减去1，求出纵切的次数；然后用用大豆腐的宽除以小块的宽，再减去1，求出横切的次数；最后把纵切、横切的次数求和，求出厨师至少要切几次即可． 解：因为40÷5=8，8﹣1=7（次）， 所以纵切需要切7次； 又因为20÷4=5，5﹣1=4（次）， 所以横切需要切4次； 所以厨师至少要切： 7+4=11（次）． 答：厨师至少要切11次． 点评：此题主要考查了图形拆拼问题的应用，解答此题的关键是分别求出纵切、横切的次数是多少． 11． 【详解】图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：(块)，而且分割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是，而且上面的部分是对称的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点． 12． 【详解】由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如右上图所示． 本题若死守三角形面积等于底高的一半，则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角形各边中点，将原三角形分成面积相等的四部分，问题即可解决． 13． 【详解】切分前面积为(平方厘米)，应与拼成后的正方形面积相等．拼成后正方形的边长厘米．因为：．假设上图切成两块如下左图，然后将右块向上平移10厘米，再向左平移20厘米，就拼成了一个正方形，切分线不可能是直线，一定是折线段．切分后的两块类似阶梯形，然后由两个阶梯互相啮合，组成一个正方形． 14． 【详解】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同．方格纸一共有(个)小格，所以分成的两块每块有(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进． 15．2 【详解】 采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是： (平方米) 16． 【详解】直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，边长正好为3，所以边分成两段，找到的三等分点，现在，，，，所以还要找到的中点，连接，就把梯形分成完全相同的两部分．如右上图． 17．把图分成四个大小相等、形状相同的图形如下图： 【详解】试题分析：（1）第一个图共12个小方格，要分成四个大小相等，形状相同的图形，每个图形应由12÷4=3个小方格组成；通过观察，画图即可； （2）第二个图共12个三角形，要分成四个大小相等，形状相同的图形，每个图形应由12÷4=3个三角形组成；进而分析画出即可； 解：把图分成四个大小相等、形状相同的图形如下图： 点评：此题应结合题意，根据各图的特点，进行分析，然后试画，进而得出问题答案． 18．作图如下： 12块 【分析】根据正方形的特点，边长相等，则找需要找出8厘米和6厘米的最小公倍数，就是正方形边长最小的情况。再用正方形的边长分别除以长方形的长和宽，再相乘即可得出拼板的块数。 【详解】[8，6]＝24            24÷8＝3（块）           24÷6＝4（块）           3×4＝12（块）          作图如下： 答：最少需要12块拼板。        19． 【详解】要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了． 20． 【详解】要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟”形． 21． 【详解】地毯的面积为平方米，新房间的面积为平方米，两者虽然长、宽不相等，但面积相等．通过对比不难发现：地毯的长比房间的长多2米，房间的宽比地毯的宽多1米，因此，我们可以把地毯看做由12个(平方米)的小长方形组成的大长方形，如左下图所示，要达到题目的要求，只要使原地毯的长缩短一小格．即减少2米，使原地毯的宽增加一小格，即增加1米，我们可以沿对角线的方向，把它剪成阶梯形的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如中间图，然后把它们错位互相拼接在一起，即阴影部分先向上平行移动1米，再向右平行移动2米． 22． 【详解】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了． 23．如图所示： 【详解】试题分析：这两个图形都是中心对称图形，找出两个图形的对称中心，过这两个中心做直线，即可把纸片分成面积相等的两部分． 解：如图所示： 点评：解答本题需结合图形，利用中心对称图形的性质即可解决问题． 24． 【详解】不管分其中的哪一块，最后拼得正方形的面积与图中两块面积和相等，甲面积(平方厘米)；乙面积(平方厘米)． 所以甲面积乙面积(平方厘米)，也就是最后拼得正方形的边长为10厘米．甲、乙两图形各有一边是10厘米，可视为正方形的一条边，然后把乙剪成三块拼成的正方形，即可． 25． 【详解】总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图． 26．见解析 【分析】 将2×2和3×3的小正方形沿格线摆在上图的任何位置，然后根据数的奇偶性进行解答即可。 【详解】如上图所示，将2×2或3×3的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有77个，是奇数，所以只用2×2和3×3的小正方形，不可能拼成11×11的大正方形。 【点睛】这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法。染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案，这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法，常常数的奇偶性联系在一起。 27．3cm   432cm3 【分析】和一定，差小积大 V=abh ==2h=6 【详解】设高为x，则V=（18－2x）（18－2x）·x，18－2x=18－2x=4x，x=3，所以12×12×3=432． 28．根据分析画图如下： 【详解】试题分析：不论把六边形平均分成几部分，六边形的六条边必须在分成的每一部分的外沿，其他边不可能在六边形的外边，只能处在六边形的内部，从这个角度来计算，分成的每一部分保留的六边形原来边的条数是： 图（2），分成6个形状、大小都相同的正三角形，含有原来边的条数是：6÷6=1条，相当于1条边的长度，所以连接它的中心O，和六个顶点，即可符合要求； 图（3）分成3个形状、大小都相同的四边形，含有原来边的条数是：6÷3=2条，相当于2条边的长度，这就有两种可能，一是：相邻的两条边的长度，二是：相邻的3条边，其中两条边的长度各取一半，所以只有前者才可满足条件． 图（4）把正六边形ABCDEF分成3个形状、大小都相同的五边形，含有原来边的条数是：6÷3=2条，相当于2条边的长度，这就有两种可能，一是：相邻的两条边的长度，二是：相邻的3条边，其中两条边的长度各取一半，所以只有后者才可满足条件． 解：根据分析画图如下： 点评：本题要从平均分成的每一部分图形的特征和规律入手，找到每一部分图形保留原有的边的长度． 29．2平方厘米 【分析】四边形ABCD是平行四边形，则AB＝CD，AD＝CB，对角也相等。弧，分别以，为半径，扇形ABE和扇形CDF是以A为圆心角，半径为10厘米的扇形，这个扇形的圆心角的度数是30°，则这两个扇形就是的圆。则×圆的面积。同理，弧，分别以，为半径，则×圆的面积。 根据这个数量关系，计算这三个图形的面积，代入数据计算即可得解。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2（平方厘米） 答：阴影部分的面积为2平方厘米。 30．192 【详解】要使花的钱尽可能的少，已有30个型板最好能用上，而价格较贵的型板尽可能少用，因为型与型的面积都为3，所以在拼成的的正方形中，除了型外，余下的面积应能被3整除．有或能被3整除知，只能用4块型板或1块型板，考虑尽可能多地使用型板，有如下图1、图2 的拼法： 图1                  图2 图1的拼法要花(元)，图2的拼法要花(元)，因为只有30块型板，所以在10快的正方形中，图2的拼法只能有4块，剩下6块用图1拼法，共需：(元) 31． 【详解】拼成大正方形的面积应是，设边长，则有等式，又因为将边长为的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线为大正方形边长，如图⑴，一定有，而，则：，所以，由此可以确定，然后将绕中心旋转到位置，即可把正方形切成符合要求的4块．如图⑵与图⑶．这种分法同时确保图⑶的中间部分就是边长为的小正方形．这是因为： ⑴中心四边形的角即边长为的正方形的四个角，∠，∠，∠，∠，又因为各边长度相等．因此中心四边形是正方形． ⑵中心正方形的边长． 因此，中间部分是边长为的正方形． 32．；8；22 【详解】⑴ 因为总共有个小正方形，所以分成个大小形状相同的图形后每个图形应该有(个)小正方形，如图． ⑵ 每个小图形的周长为厘米． ⑶个小图形的周长和：(厘米)，原图形的周长：(厘米)，所以相差(厘米)． 33． 【详解】首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转、、之后，得到一些新的切分线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是，即含有9个小正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转、、便得到其他三块，如右上图． 34．根据分析，分割如下： 【详解】试题分析：因为每一块中都要带有A、B、C、D各一个．根据A、B、C、D的位置特点，先把A、B、C、D划分出四个部分，再根据A、B、C、D的位置特点将中图形划分出四个完全相同的四个图形即可． 解：根据分析，分割如下： 点评：此题主要考查图形的划分，要结合A、B、C、D的位置特征进行划分． 35．平方厘米 【分析】连接CF，过E作EP∥BC交DG于P，根据长方形对角线平分长方形的面积，可以求出三角形BCD的面积，根据平行线的性质，可以求出DP和GP的比以及EP和CG的比，再根据F是DG中点，求出FP和FG的比，再根据平行线的性质，求出EP和GB的比以及EF和BF的比，从而得到BG与CG的比，再根据等高三角形面积比等于底边长的比，先求出△BCE的面积，再进一步求出△CEF和△BCF的面积，同理再求出三角形CFG的面积，阴影部分的面积就等于△CEF和△CFG的面积和，据此计算。 【详解】连接CF，过E作EP∥BC交DG于P， 因为BD是长方形ABCD的对角线， 所以S△BCD＝S长方形ABCD＝1（cm2）， 因为EP∥CG， 所以DP∶GP＝DE∶CE＝1∶2，PE∶CG＝1∶3， 因为DF＝FG，将DG看作6份， 则DF＝FG＝3份，DP＝2份，PG＝4份， 所以PF∶GF＝（4－3）∶3＝1∶3， 又因为EP∥BG， 所以EP∶BG＝EF∶BF＝PF∶GF＝1∶3， 所以BG∶CG＝1∶1， 因为CE∶CD＝2∶3， 所以S△BCE＝S△BCD＝（cm²）， 又因为EF∶BF＝1∶3， 所以S△CEF＝S△BCE＝×＝（cm²），S△BCF＝S△BCE＝×＝（cm²） 又因为BG＝CG， 所以S△CFG＝S△BCF＝×＝（cm²）， 所以S阴影＝S△CEF＋S△CFG＝＋＝（cm²） 答∶阴影部分的面积是平方厘米。 36． ⑴ ⑵ ⑶ 【详解】连接正方形的对角线，把正方形分成了4个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它们分成4个小等腰直角三角形和4个等腰梯形．(如图⑴所示)，出于分成正方形、长方形面积相等的要求考虑：分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和长方形了(如图⑵、⑶所示)． 37． 【详解】分割的方法不唯一，如图所示． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $