小升初思维拓展：表面积相关问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初思维拓展：表面积相关问题 1．在一个底面直径为6厘米，高为10厘米的圆柱体的上下两个面的中心打通一个棱长为2厘米的长方体小孔，求打孔后的几何体的体积及表面积． 2．从图样上剪下半径为30厘米的扇形，做成一个圆锥．圆锥的底面直径是20厘米． （1）求剪下的扇形的圆心角． （2）求圆锥的表面积． 3．把十九个棱长为1厘米的正方体重叠起来，拼成一个立体图形，如图1所示，求这个立体图形的表面积． 4．把14个（1×1×2）立方厘米的小长方体摆成如下图所示的样子，然后把露出表面的都涂上颜色，则被染上颜色的面积是多少？ 5．如图所示是由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、3米、5米。现在要在表面涂刷油漆，刷油漆的面积是多少平方米？ 6．如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？ 7．下图是一个珠宝箱的直观图，它的下部是一具棱长为20厘米的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个珠宝箱的表面积和体积． 8．一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？ 9．如图是个柱体，高是20厘米，底面是一个半径为10厘米，圆心角为270°的扇形，求这个柱体的表面积和体积。 10．从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案) 11．如图，有一个盛了蓝色油漆的长方体容器，容器上方没有盖子。它的底面是一个长15厘米，阔10厘米的长方形，蓝色油漆深20厘米。一支长方体金属柱的底面是一个边长5厘米的正方形，高100厘米，把它垂直插至容器底部，使金属柱的底面与容器的底面紧贴著，当中并没有油漆溅出。再把铁柱垂直拿起。那么铁柱表面有多少平方厘米是蓝色的？ 12．如图所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米，1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积？（包含底面积） 13．如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米? 14．一个长方体，如果高截掉2厘米，表面积就减少了32平方厘米，剩下的正好是一个正方体，原来长方体的体积和表面积分别是多少？ 15．用棱长是1厘米的立方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米? 16．一个圆柱体的体积是立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ () 17．图中的立体图形是由14个棱长为5cm的立方体组成的，求这个立体图形的表面积？ 18．有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体一共能锯多少个？这些小正方体表面积和是多少？ 19．下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？ 20．建造一个长方体游泳池，长30米，宽10米，深1.6米，池的四壁和底面用瓷砖铺砌，如果每平方米用瓷砖25块，共需要多少块？ 21．如图是用3个正方体木块堆成的多面体，其中最下面的正方体的棱长为10厘米，而上面的两个正方体下底面的4个顶点分别是其下面正方体。上底面各边的中点。那么这个多面体的表面积是多少平方厘米？ 22．一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ 23．用棱长是2厘米的正方体拼成如图所示的立体图形，问：该图形的表面积是多少平方厘米？ 24．在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。 25．下图是4×4×4正方体，如果将其表面涂成黄色，那么其中一面、两面、三面被涂成黄色的小正方体各有多少块？ 26．一个正方体木块，棱长是4分米，沿水平方向将它锯成2份，竖直方向也锯成2份，每一块又锯成3小块，共得到大大小小的12个长方体（如图）。这12个小长方体的表面积总和是多少？ 27．一个正方体的棱长是一个一位数，表面的每个正方形的面积是一个两位数，整个表面积是一个三位数，且若将正方形面积的两位数中两个数码调换一下，则恰好是三位数的十位与个位上的数码。求这个正方体的体积。 28．如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积。 29．有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图：圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 30．如果一个小正方体的表面积是6平方厘米，由27个这样的小正方体组成一个大正方体，大正方体的表面积是多少平方厘米？ 31．如图8-4，用4个大小相同的立方体拼成图中的形状．如果用涂料涂立方体中的一个侧面需用工料费3元，那么涂完图中的所有表面，共需要工料费多少元? 32．圆柱形的售报亭的高与底面直径相等，如图所示，开有一个边长等于底面半径的正方形售报窗口。问：窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱侧面面积的几分之几？ 33．如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积． 34．一个长方体（长宽高均为整数厘米），切成1厘米的小正方体后，表面涂红，未被涂色的有24块，且长＞宽＞高≥3，求2面涂色的小正方体数量。 35．如图是一个棱长为8厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个小一点的正方体，表面积比原来增加多少平方厘米？ 36．把一个长方体截去一个高为8厘米的长方体后，剩下的部分是一个正方体。正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米。求原来长方体的体积。 37．有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是209平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？ 38．把一根长8分米的长方体木料，正好锯成4个一样的正方体，表面积一共增加了多少平方分米？ 39．把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？ 40．如图，将一个正方体切成8个小正方体后，表面积增加了216平方厘米，原来正方体的体积是多少立方厘米？ 41．把一个长方体切成3个正方体，这3个正方体表面积之和比原来的长方体表面积大8平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 42．把正方体的六个表面都分成9个相等的正方形.现用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染的颜色不同，问：用红色染成的正方形个数最多有几个？ 43．一个正方体切成1厘米的小正方体后，表面涂红，已知2面涂色的小正方体数量比1面涂色的少60块，求未被涂色的小正方体数量。 44．将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为多少平方厘米？ 45．如下图，把16个边长为2厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积. 46．如下图，是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中间向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞.接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米，求最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？ 47．一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前大正方体表面积的倍，则在切割成的小正方体中，棱长为1的小正方体的所有可能的个数之和是（    ）。 A．168 B．182 C．216 D．248 48．如图所示，一个的立方体，在一个方向上开有的孔，在另一个方向上开有的孔，在第三个方向上开有的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？ 49．有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．体积：242.6立方厘米    表面积：316.92平方厘米 【详解】 答：所求几何体的体积为242.6立方厘米，表面积为316.92平方厘米． 2．（1）120°      （2）1256平方厘米 【详解】设扇形的圆心角为n，则扇形的弧长为；这弧长恰为圆锥的底面周长，从而，解得n=120°． ． 答：扇形的圆心角是120°，圆锥的表面积是1256平方厘米． 3．54平方厘米 【分析】如果一个立体图形没有被“挖洞”的问题，那么它的表面积应该是从上、下、左、右和前、后六个方向看到的平面图形的面积的总和．而此立方体图形，从前后、上下、左右分别看到的图形分别如图2所示． 【详解】由于此立体图形的三个面的投影的面积分别是10平方厘米，8平方厘米，9平方厘米，所以此立体图形表面积为（10+8+9）×2=54（平方厘米）． 【点睛】在求表面积时，可以用“投影法”，即立体图形在六个面上的投影面积总和来求解，而不必去一个一个地数小正方体的个数． 4．54平方厘米 【详解】从前面看这个图形，该染上颜色的面积是1×6=6（平方厘米）；同理，从后面看这个图形，也该染上6平方厘米的面积．从左边看，要染上的面积是2×6=12（平方厘米）；从右边看，也要染上12平方厘米的面积．从上边俯视，要染上的面积是2×9=18（平方厘米）．所以被染上颜色的面积是6+6+12+12+18=54（平方厘米）． 5．190平方米 【分析】刷油漆的面积即是立体图形表面积，立体图形的表面积等于大正方体的表面积，加中间正方体4个侧面的面积，再加上面小正方体4个侧面的面积。 【详解】5×5×6＋3×3×4＋1×1×4 ＝150＋36＋4 ＝190（平方米） 答：刷油漆的面积是190平方米。 6．100平方米 【分析】 该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是平方米，从上面观察到的面积是平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是平方米。 【详解】（12＋22＋42）×4＋42 ＝21×4＋42 ＝84＋16 ＝100（平方米） 答：模型涂刷油漆的面积是100平方米。 7．表面积：2942平方厘米   体积：11140立方厘米 【分析】这是一个由两个基本几何体组成的形体，因此将它拆分成两个部分分别来求体积和表面积．这两个部分为：上部的半圆柱体、下部的正方体． 【详解】（1）先求这个珠宝箱的表面积： 将这个几何体的表面积分成两上部分：一部分是圆柱表面积的一半，另一部分是正方体的5个面的面积之和． 由于正方体的棱长为20厘米，从而圆柱底面半径为10厘米，高为20厘米，因此圆柱的表面积为，可得第一部分的表面积为1884÷2=942（平方厘米）；而第二部分的表面积为：；故此珠宝箱的表面积为942+2000=2942（平方厘米）． （2）再求这个珠宝箱的体积： 第一部分的体积为；第二部分的体积为；故此珠宝箱的体积为3140+8000=11140（立方厘米）． 答：这个珠宝箱的表面积为2942平方厘米，体积为11140立方厘米． 8．1252 【详解】截去一个小正方体，表面积不变． 只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少． 所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体（如图所示）， 这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多． 剩下部分的表面积最小是： 15×15×6-7×7×2=1252． 想想为什么不是15×15×6-7×7-8×8. 9．表面积为1813平方厘米，体积为4710立方厘米 【分析】底面圆心角是一个270°的扇形，用270°除以360°可以先求出这个扇形占圆的。根据圆柱的体积公式“圆柱的体积＝底面积×高”先求出完整圆柱的体积，然后乘即可求出这个柱体的体积。 这个柱体的表面积包括了上下两个圆、完整圆柱侧面积的、两个长方形，依次求出每部分的面积然后相加即可求出这个柱体的表面积。 【详解】 表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：这个柱体的表面积为1813平方厘米，体积为4710立方厘米。 10．592；632；648；672 【详解】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米； 按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米； 按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米； 按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米． 11．505平方厘米 【分析】根据题意，先求出油漆的体积是15×10×20＝3000（立方厘米），放入金属柱子后，容器中油漆的底面积是15×10－5×5＝125（平方厘米），油漆的高度是3000÷125＝24（cm），铁柱表面积＝一个底面积＋四个长方形的面积，代入数据计算即可。 【详解】放入柱子后， 油漆高：15×10×20÷（15×10－5×5） ＝3000÷125 ＝24（cm） 铁柱表面是蓝色的面积： 5×5＋5×24×4 ＝25＋480 ＝505（cm2） 答：铁柱表面有505平方厘米是蓝色。 12．10.5π平方米 【分析】这个物体的表面积为最大的圆柱的表面积加上上面两个小圆柱的侧面积。 【详解】1.52π×2＋1.5×2×π×1＋1×2×π×1＋0.5×2×π×1 ＝4.5π＋3π＋2π＋π ＝10.5π（平方米）。 答：这个物体的表面积为10.5π平方米。 13．24 【详解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(31)(41)(51)9刀，而原正方体一个面的面积1l1(平方米)，所以表面积增加了92118(平方米)．原来正方体的表面积为616(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为618=24(平方米)． 14．原来长方体的体积是96立方厘米，表面积是128平方厘米。 【分析】一个长方体高截掉2厘米后剩下的正好是一个正方体，由此可知原来这个长方体的长与宽相等，即4个侧面完全一样。根据表面积就减少了32平方厘米，即可知道减少的4个侧面的面积为32平方厘米，因此用32平方厘米除以4先求出减少的一个侧面的面积，再除以高2厘米，即可求出这个长方体的长与宽。加上2厘米就是这个长方体原来的高。最后根据长方体的表面积公式和体积公式即可求解。 【详解】长： （厘米） 高：（厘米） 体积： （立方厘米） 表面积： （平方厘米） 答：原来长方体的体积是96立方厘米，表面积是128平方厘米。 15．46平方厘米 【详解】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成． 该图形的表面积等于个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米． 16．16 【详解】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积． (法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径． 可知，圆柱体的高为(厘米)，所以增加的表面积为(平方厘米)； (法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为厘米，所以侧面长方形的面积为平方厘米，所以增加的表面积为平方厘米． 17．1050平方厘米 【详解】用透视法观察 上、下两个面的面积相等 4个侧面的每个侧面面积为6个小正方形面积 底面棱长5×3=15  上、下两个面的面积=15×15×2=450 4个侧面面积=4×6×5×5=600 总面积=450+600=1050（平方厘米） 18．240个；1440平方厘米 【分析】分别求出长、宽、高里面各有多少个1厘米，然后相乘，就是可以锯成小正方体的个数； 先根据正方体的表面积公式求出一个正方体的面积，再乘上正方体的个数，就是正方体的表面积之和。 【详解】10÷1＝10（个） 6÷1＝6（个） 4÷1＝4（个） 10×6×4＝240（个） 1×1×6×240＝1440（平方厘米） 答：一共能锯240个，这些小正方体表面积和是1440平方厘米。 19．48平方厘米 【详解】从图中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个．另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积也是分别相同的．因为小正方体的棱长是1厘米，所以 上面的表面积为1×1×9=9（平方厘米） 前面的表面积为1×1×8=8（平方厘米） 左面的表面积为1×1×7=7（平方厘米） 几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=18+16+14=48（平方厘米） 答：几何体的表面积是48平方厘米． 20．10700块 【分析】长30米，宽10米，深1.6米，因此可以先求出池的四壁和底面的面积之和。已知每平方米用瓷砖25块，因此再用池的四壁和底面的面积之和乘25，即可求出共需要多少块瓷砖。 【详解】 （块） 答：共需要10700块瓷砖。 21．900平方厘米 【分析】根据题意，最下面的正方体的棱长是10厘米，则左下方的正方体的一个面的面积是10×10＝100平方厘米，因为上面的两个正方体下底面的4个顶点分别是其下面正方体上底面各边的中点，所以可得中间的正方体的一个面的面积是100÷2＝50平方厘米，最上边的正方体的一个面的面积是50÷2＝25平方厘米，而这个图形的表面积是最下面的大正方体的6个面的面积，加上中间的正方体的4个面的面积，再加上最上面的小正方体的四个面的面积之和，据此即可解答问题。 【详解】10×10＝100（平方厘米） 100÷2＝50（平方厘米） 50÷2＝25（平方厘米） 100×6＋50×4＋25×4 ＝600＋200＋100 ＝900（平方厘米） 答：这个多面体的表面积是900平方厘米。 22．18平方米 【详解】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数。 原正方体表面积：1166(平方米)，一共锯了(21)(31)(41)6次， 6112618(平方米)。 23．184平方厘米 【分析】根据图形可以数得该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成的，因此可以知道这个立体图形的表面积是由多少个边长为2厘米的正方形组成。再乘每个面的面积即可解答。 【详解】（9＋7＋7）×2 ＝23×2 ＝46（个） 2×2×46 ＝4×46 ＝184（平方厘米） 答：该图形的表面积是184平方厘米。 24．214平方分米 【分析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面．这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分： 上下方向：大正方体的两个底面； 侧面：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面。 【详解】上下方向： 5×5×2＝50（平方分米） 侧面： 5×5×4＝100（平方分米） 4×4×4＝64（平方分米） 这个立体图形的表面积为： 50＋100＋64＝214（平方分米） 答：这个立体图形的表面积为214平方分米。 25．一面被涂成黄色的小正方体有24块，两面被涂成黄色的小正方体有24块，三面被涂成黄色的小正方体有8块 【分析】三面涂色：位于正方体顶点处，正方体有8个顶点，因此三面涂色的小正方体有8块。 两面涂色：位于棱上（非顶点）。每条棱有4个小正方体，减去2个顶点，每条棱有4－2＝2个两面涂色的。正方体有12条棱，故两面涂色的小正方体有12×2＝24块。 一面涂色：位于面的中心（非棱非顶点）。每个面4×4，去掉外围一圈，每边剩4－2＝2个，每个面一面涂色的小正方体有2×2＝4个。正方体有6个面，因此一面涂色的小正方体有6×4＝24块。 【详解】4－2＝2（面） 12×2＝24（块） 2×2＝4（面） 6×4＝24（块） 答：一面被涂成黄色的小正方体有24块，两面被涂成黄色的小正方体有24块，三面被涂成黄色的小正方体有8块。 26．224平方分米 【分析】由图可以看出，经过这样的切割后这个正方体木块的表面积一共增加了的面数，然后根据正方体木块棱长是4分米来进行求解即可。 【详解】增加的面数：（1＋1＋2）×2 ＝4×2 ＝8（个） 每个面的面积：4×4＝16（平方分米） 现在表面积总和：（8＋6）×16 ＝14×16 ＝224（平方分米） 答：这12个小长方体的表面积总和是224平方分米。 27．343 【分析】现根据题目条件进行验证排除，棱长是1、2、3时，每个面的面积是一位数，不满足题意； 棱长是4时，表面积是两位数，不满足题意； 棱长是5、6、7、8、9时，每个面的面积是两位数，表面积是三位数，满足题意。再根据若将正方形面积的两位数中两个数码调换一下，则恰好是三位数的十位与个位上的数码，即可找到正方体额棱长，然后根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长解决。 【详解】由题意可知，这个正方体的棱长可能是是5、6、7、8、9， 正方体棱长 5 6 7 8 9 正方体面积 25 36 49 64 81 正方体表面积 150 216 294 384 486 由表格可知只有棱长为7时才满足题意。 体积：7×7×7 ＝49×7 ＝343 答：这个正方体的体积是343。 28．24π；668.64 【详解】（1）先求表面积，表面积可分为外侧表面积和内侧表面积。 外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆，所以，外侧表面积为：(平方厘米)； 内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为： (平方厘米)， 所以，总表面积为：(平方厘米)。 （2）再求体积，计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，用原立方体的体积减去这个体积即可。 挖出的几何体体积为：(立方厘米)； 所求几何体体积为：(立方厘米)。 29．307.72平方厘米 【详解】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为： 6π×10＋π×（6÷2）2×2＋4π×5 ＝60π＋18π＋20π ＝98π ＝307.72（平方厘米） 答：一共需涂307.72平方厘米。 30．54平方厘米 【分析】根据小正方体的表面积是6平方厘米即可求出小正方体的棱长是多少厘米。由27个这样的小正方体组成一个大正方体，则大正方体的棱长是小正方体棱长的3倍。最后再根据正方体的表面积公式“正方体表面积＝棱长×棱长×6”即可解决。 【详解】解：设小正方体的棱长是x厘米。 6x2＝6 解得x＝1 因此小正方体的棱长是1厘米。 27＝3×3×3 因此大正方体的棱长是3厘米。 大正方体的表面积：3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 答：大正方体的表面积是54平方厘米。 31．54 【详解】图中的立体图形共有3+3+4+4+2+2＝18个面需要涂色，那么共需18×3＝54元工料费． 32． 【分析】如图：设底面圆的半径为R。∠AOB＝60°，弧AB为圆周长的，所以圆柱侧面ABCD部分为整个圆柱侧面的，而窗口高为R是圆柱高2R的一半，所以窗口部分挖去的圆柱面部分的面积是圆柱侧面面积的。由此得解。 【详解】设底面圆的半径为R。由图可见，三角形OAB是等边三角形，∠AOB＝60°，弧AB为圆周长的，所以圆柱侧面ABCD部分为整个圆柱侧面的，而窗口高为R是圆柱高2R的一半，所以窗口部分挖去的圆柱面部分的面积是圆柱侧面面积的。事实上也可以直接计算： 窗口柱面挖去面积：R×RR2 圆柱侧面面积：s＝2πR×2R＝4πR2 所以　 答：窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱侧面面积的。 33．表面积785.12（平方厘米）,体积为668.64（立方厘米）． 【分析】本题考点 不规则图形的表面积及体积．大正方形减去右边图形就是我们要求的体积．打通部分可看为两个小圆柱，两个小长方形和一个大长方形共五部分组成，这样计算体积非常容易，但在计算表面积时要考虑公共面． 这道题是人大附中分班考试题目． 【详解】解：外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-×22×2=536-8． 内侧表面积为：16×4×3+2×（4×4-×22）+2×2×2×3=192+32-8+24=224+16． 总表面积=224+16+536-8=760+8=785.12（平方厘米）． 计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可． 挖出的几何体体积为：4×4×4×3+4×4×4+2×π×22×3=192+64+24π=256+24π． 所求几何体体积为：10×10×10- （256+24π）=668.64（立方厘米）． 34．36块 【分析】内部长方体体积（a－2）（b－2）（c－2）＝24，且a＞b＞c≥3，24＝2×2×2×3，可能的整数解：a－2＝4，b－2＝3，c－2＝2（即a＝6，b＝5，c＝4）。 2面涂色小正方体位于棱上，数量为4×[（a－2）＋（b－2）＋（c－2）]＝4×（4＋3＋2）＝36块。 【详解】设原长方体的长宽高分别为a，b，c，则长方体体积（a－2）（b－2）（c－2）＝24 24＝2×2×2×3 a－2＝4，b－2＝3，c－2＝2 a＝6，b＝5，c＝4 4×（4＋3＋2）＝36块 答：2面涂色的小正方体有36块。 35．384平方厘米 【分析】由图可知，将正方体木块沿虚线切成8个小正方体，需要切3刀，每切一次，就增加2个大正方体的面，所以一共增加6个大正方体的面，所以表面积比原来增加的面积就是6个正方形面积和。 【详解】3×2×8×8＝384（平方厘米） 答：表面积比原来增加384平方厘米。 36．1800立方厘米 【分析】正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米，即截去的高为8厘米的长方体的侧面积为320平方厘米。由于剩下的部分是一个正方体，因此截去的长方体每个侧面的面积相等。用320平方厘米除以4，即可求出一个侧面的面积。再除以8，即可求出剩余的这个长方体的长与宽。长加上8厘米即可求出这个长方体的高。最后再根据“长方体体积＝长×宽×高”即可求解。 【详解】320÷4÷8 ＝80÷8 ＝10（厘米） 10×10×（10＋8） ＝100×18 ＝1800（立方厘米） 答：原来长方体的体积是1800立方厘米。 37．374立方厘米 【分析】设这个长方形的长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米。前面和上面的面积之和是209平方厘米，因此，即。将209分解质因数，。它的长、宽、高都是质数，因此只可能是。由此即可解决。 【详解】解：设这个长方形的长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米。 即 因为a、b、c都是质数， 因此 体积： （立方厘米） 答：这个长方体的体积是374立方厘米。 38．24平方分米 【分析】锯成4个，需要锯3次，锯3次则增加6个面，小正方体的棱长：8÷4＝2分米， 表面积增加：2×2×6＝24平方分米 【详解】（4－1）×2＝6 8÷4＝2（分米） 2×2×6＝24（平方米） 答：表面积一共增加了24平方分米。 39．108 【详解】设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况． 当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设，那么分成的小正方体个数为 ，为了使小正方体的个数尽量少，应使最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当时它们的和最小，此时共有 个小正方体． 当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是．由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令，此时共有个小正方体． 因为，所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体． 40．216立方厘米 【分析】观察图形可知，将大正方体切成8个下正方体后，看似增加了很多面，但是可以合在一起来分析，从图中可知切成如图8个小正方体只需要切3次，则增加3×2＝6个大面，因为表面积增加了216平方厘米，所以每个大正方形面积为216÷6＝36（平方厘米），所以原正方体棱长为36＝6×6，所以大正方体体积为6×6×6＝216（立方厘米） 【详解】3×2＝6 216÷6＝36（平方厘米） 36＝6×6 6×6×6＝216（立方厘米） 答：原来正方体的体积是216立方厘米。 41．28平方厘米 【分析】切成3个正方体需要切2次，切2次增加4个面，所以每个小正方形的面积：8÷4＝2（平方厘米），则每个小正方体的表面积：2×6＝12（平方厘米），所以长方体的表面积：12×3－8＝28（平方厘米） 【详解】（3－1）×2＝4 8÷4＝2（平方厘米） 2×6＝12（平方厘米） 12×3－8＝28（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是28平方厘米。 42．很明显，一个面上最多有5个方格可以染成红色，如图（a）所示.当一个面染成5个红色方格以后，与这个面有公共边的四个面，就不能再有同样的染法，但这个面的对面仍可染成5个红色方格，因此，至多有两个面可以染成5个红色的方格，其余四个面，每一个面的四个拐角处的方格不能染红，一个面至多如图（b）染上四个红格，但有公共边的两个面，不能都染成（b），只能有一组对面染成（b），另一组对面染成（c）.采用以上步骤染成红色方格共有： 5×2＋4×2＋2×2=22个.这是最多的红色方格数. 【详解】略 43．125块 【分析】设正方体棱长为n，则： 2面涂色数量：12（n－2） 1面涂色数量：6 根据题意：6－12（n－2）＝60，化简得－2（n－2）－10＝0，可知n－2＝5，n＝7。 未涂色数量：＝125块。 【详解】设正方体棱长为n 6－12（n－2）＝60 －2（n－2）－10＝0 n＝7 ＝125块 答：未被涂色的小正方体有125块。 44．216平方厘米 【分析】根据题意，前后橡皮泥的体积相等，则需根据表面积先求出各正方体的棱长：54÷6＝9＝3×3；96÷6＝16＝4×4；150÷6＝25＝5×5；可得总体积为3×3×3＋4×4×4＋5×5×5＝216（立方厘米）。因为216＝6×6×6，所以新的大正方体的棱长为6厘米，所以变面积为6×6×6＝216平方方厘米。 【详解】54÷6＝9＝3×3 96÷6＝16＝4×4 150÷6＝25＝5×5 3×3×3＋4×4×4＋5×5×5＝216（立方厘米） 216＝6×6×6 6×6×6＝216（平方厘米） 答：大正方体的表面积为216平方厘米。 45．从前、后、左、右、上、下六个方向分别看这堆积木形成的形体表面. 从前看有7个边长为2厘米的小正方形； 从后看有7个边长为2厘米的小正方形； 从左看有9个边长为2厘米的小正方形； 从右看有9个边长为2厘米的小正方形； 从上看有9个边长为2厘米的小正方形； 从下看有9个边长为2厘米的小正方形； 因此，这堆积木的表面积是： 22×（7＋7＋9＋9＋9＋9）=200（平方厘米）. 【详解】略 46．正方体在挖小洞之前的表面积为6×22，挖了小洞之后面积不但没有减少，反还要加上三个小洞的侧面积的和.三个小洞各有四个侧面，每个侧面的面积分别是： 因此总的表面积为： 【详解】略 47．B 【分析】先求出这个棱长为6的大正方体表面积：6×6×6＝216，体积是：6×6×6＝216。切割后若这些小正方体的表面积之和是切割前大正方体表面积的倍，因此可求出切割后小正方体表面积总和是：216×＝720。一个棱长为6的正方体可以切割成棱长为1～5的小正方体，可以假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（63－53）÷13＝91 （个），这时表面积总和是：52×6＋12×6×91＝696≠720，所以不可能有棱长为5的小正方体；然后，依次分棱长为4、3、2、1的小正方体分类讨论，列方程组解答即可。 【详解】 大正方体表面积：6×6×6＝216， 体积：6×6×6＝216 切割后小正方体表面积总和是：216×＝720 ①假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（63－53）÷13＝91 （个），这时表面积总和是：52×6＋12×6×91＝696≠720，所以不可能有棱长为5的小正方体； ②棱长为4的小正方体最多为1个，此时，不可能有棱长为3的小正方体，剩下的只能是切割成棱长为2的小正方体或棱长为1的小正方体。设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个， 则：解得： ③设棱长为3的小正方体有x个，棱长为2的小正方体有y个，棱长为1的小正方为z个，则： 则：解得： 因此当x＝0时，y＝24，z＝24； 当x＝1时，y＝19.5，z＝33（不合题意舍去）； 当x＝2时，y＝15，z＝42； 当x＝3时，y＝10.5，z＝51（不合题意舍去）； 当x＝4时，y＝6，z＝60； 当x＝5时，y＝1.5，z＝69（不合题意舍去）； 当x＝6时，y＝﹣3，z＝78（不合题意舍去）； 当x＝7时，y＝﹣7.5，z＝87（不合题意舍去）； 所以，棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个。 即56＋24＋42＋60＝182（个） 故答案为：B 48．100；204 【详解】求体积： 开了的孔，挖去，开了的孔， 挖去；开了的孔， 挖去， 剩余部分的体积是：． (另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图： 得到总体积为：． 求表面积： 表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为，内部的面积可以分为前 后、左右、上下三个方向，面积分别为、 、，所以总的表面积为 ． (另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数： 前后方向： 上下方向： 左右方向： 总表面积为． 总结：“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！ 49．56 【详解】(平方米)． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $