8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

8.6.3 平面与平面垂直(第1课时)平面与平面垂直的判定 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第八章“立体几何初步”中的8.6.3节“平面与平面垂直”第1课时。内容包括：二面角及其平面角的概念、画法与记法；平面与平面垂直的定义；平面与平面垂直的判定定理；利用定义和判定定理证明平面与平面垂直；求简单二面角的平面角。 内容解析 本节是空间垂直关系的核心内容，是在学生学习了直线与直线垂直、直线与平面垂直以及空间平行关系的基础上，对空间位置关系的进一步拓展与深化。其核心是通过“空间问题平面化”的思想，将平面与平面的垂直关系转化为线面垂直、线线垂直的关系，体现“类比” “转化与化归”的数学思想。 从知识关联看，二面角是刻画两个相交平面位置关系的关键概念，是定义平面与平面垂直的基础；平面与平面垂直的判定定理则搭建了线面垂直与面面垂直的桥梁，完善了空间垂直关系的逻辑体系。本节内容不仅是后续学习平面与平面垂直性质的前提，也是解决立体几何综合问题的重要工具，连接了空间图形的直观感知与逻辑推理。 从学习意义看，通过本节课的学习，学生能进一步掌握空间问题的解决方法，提升几何直观、空间想象和逻辑推理能力，体会定义数学对象的基本思想（如类比直线垂直定义二面角），为数学抽象、逻辑推理等核心素养的培养提供重要载体。 教学目标 1. 通过实例直观感知二面角的概念，理解二面角及其平面角的定义，掌握二面角平面角的一般作法，会求简单二面角的平面角。 2. 类比直线与平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的定义，掌握平面与平面垂直的判定定理。 3. 能运用定义和判定定理证明空间中两个平面互相垂直，体会“线面垂直”到“面面垂直”的转化思想。 4. 经历“直观感知—操作确认—抽象概括”的探究过程，提升空间想象能力和逻辑推理能力，感受数学与生活的联系。 目标解析 1. 能准确描述二面角的棱、面，规范书写二面角的记法；能在具体图形中作出二面角的平面角，并通过解三角形求出其大小（如直角、特殊锐角）。 2. 明确平面与平面垂直的定义本质是“所成二面角为直二面角”，能准确表述判定定理的条件与结论，并能用符号语言表示（若，，则）。 3. 针对正方体、三棱锥、四棱锥等常见几何体，能找到一个平面内垂直于另一个平面的直线，进而证明面面垂直；能结合定义，通过证明二面角为直角来判定面面垂直。 4. 能模仿“类比直线垂直定义二面角—构造平面角刻画二面角大小—定义面面垂直—推导判定定理”的逻辑过程，体会定义数学概念的合理性与严谨性。 达成上述目标的标志是： 1. 能在教室墙面与地面、正方体相邻面等实例中识别二面角，准确指出其棱、面，并作出平面角；能解决“棱长为的正方体中，相邻两个面所成二面角的大小”等简单问题。 2. 能清晰阐述“直二面角”与“面面垂直”的关系；能独立完成“正方体中相邻面垂直” “圆柱的轴截面与底面垂直”等简单证明。 3. 面对复杂几何体（如三棱锥中，底面，，证明平面平面），能通过分析找到关键的线面垂直关系，规范书写证明步骤。 4. 能总结出“面面垂直判定的核心是找线面垂直” “二面角平面角的作法关键是‘垂直于棱’ ”等规律，主动运用转化思想解决问题。 学生在之前的学习中，已经掌握了直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义和判定定理，熟悉“空间问题平面化”的解决思路，具备一定的几何直观能力和推理论证能力，能使用图形和数学语言表述简单的空间位置关系。 但学生的思维仍以形象思维为主，对抽象的二面角概念缺乏深入理解，容易混淆“二面角”与“平面角”的概念；在将面面垂直转化为线面垂直时，难以快速找到合适的直线；对定义数学对象的严谨性认识不足，可能忽略二面角平面角定义中“垂直于棱” “在两个半平面内”等关键条件。此外，学生尚未形成完整的空间垂直关系网络，对“线线垂直—线面垂直—面面垂直”的转化逻辑掌握不够熟练，需要教师在教学中通过实例引导、分步探究逐步突破。 基于以上分析，确定本节课的 教学重点：平面与平面垂直的判定定理及应用；二面角及其平面角的概念与作法。教学难点：二面角平面角的构造与证明；平面与平面垂直判定定理的形成过程；线面垂直与面面垂直的转化应用。 知识点一　二面角的概念 1．定义及有关概念 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)相关概念：这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． (3)图形：如图所示． (4)记法：二面角α－AB－β或P－AB－Q或α－l－β或P－l－Q. 2．二面角的平面角 (1)定义：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． (2)大小及范围：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°． [提示]　二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的． 知识点二　两个平面互相垂直的定义及判定 定理 1．两个平面互相垂直的定义 (1)一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)图形：如图所示． (3)表示：平面α与β垂直，记作α⊥β． 2．两平面垂直的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． (2)符号语言：若a⊂α，a⊥β，则α⊥β． (3)作用：证两平面垂直． [提示]　有助于判断面面垂直的结论 (1)m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥β. (2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β. (3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β. 导入新知1：折叠雨伞中的空间奥秘 实物展示：教师手持一把可折叠雨伞，先将雨伞完全撑开，让学生仔细观察伞面与伞柄、伞骨构成的空间图形；再缓慢收拢雨伞，引导学生重点关注伞面之间的角度变化，以及伞柄与地面的垂直关系。雨伞作为日常必备用品，其撑开与收拢的过程中，藏着丰富的空间几何知识，尤其是直线与平面垂直、空间角的相关奥秘。本节课，我们就借助折叠雨伞这一熟悉的物品，结合观察与思考，探究空间中直线与平面垂直的判定及空间角的描述方法。 1. 当雨伞完全撑开时，任意两个相邻伞面所在的平面相交，形成的“空间角”和我们平面几何中的角有什么不同？该如何描述这个“角”的大小？ 2. 伞柄垂直于地面时，撑开的伞面与地面是否垂直？如果伞柄倾斜，伞面还能与地面保持垂直吗？这背后蕴含着怎样的数学规律？ 生活中我们总希望雨伞能稳定站立（伞柄垂直地面），此时伞面与地面的垂直关系，能否通过伞柄与地面、伞柄与伞面的关系来判定？ 设计意图 1. 贴近生活：雨伞是学生日常必备物品，其折叠与撑开的过程直观可见，能快速拉近数学与生活的距离，消除学生对立体几何的陌生感。 1. 统领全文：通过“相邻伞面形成的空间角”自然引出二面角的概念，借助“伞柄与地面垂直时伞面与地面垂直”的现象，铺垫平面与平面垂直的判定定理，完美契合本节课“二面角—面面垂直定义—面面垂直判定”的知识主线。 1. 激发求知欲：连续的递进式提问，从“描述角的大小”到“判定平面垂直”，层层递进，让学生在熟悉的场景中发现未知的数学问题，主动产生“如何用数学语言刻画这些现象” “背后的规律是什么”的探究欲望。 导入新知2：门窗开合的空间逻辑 门窗开合是生活中常见的场景，房门开关时与墙面相交形成变化的角，完全关闭时房门与墙面垂直；窗户推拉或平开时，其所在平面与墙体也存在特定的空间关系。这一日常场景中，藏着空间角、直线与平面垂直的核心逻辑，本节课将由此探究相关数学知识。 1. 打开的房门与墙面相交形成的角，随着门的开合其大小不断变化，这个角是平面角吗？我们该用什么数学概念来定义它？ 2. 当房门完全关闭时，房门所在平面与墙面垂直，此时门轴（棱）与地面、墙面的关系是什么？若门轴不垂直于地面，房门还能与墙面保持垂直吗？ 3. 装修时，工人如何确保安装的窗户所在平面与墙体垂直？能否通过某个简单的垂直关系来快速判定？ 设计意图 1. 生活共鸣：门窗是学生每天都会接触的物体，其开合过程中的空间关系直观且熟悉，能让学生快速进入学习状态，感受“生活处处有数学”。 1. 统领全文：以“房门与墙面形成的空间角”引入二面角的概念，通过“房门关闭时的垂直关系”关联直二面角与面面垂直的定义，再以“装修工人安装窗户的判定方法”引出面面垂直的判定定理，精准覆盖本节课核心知识，实现“从生活现象到数学概念，再到定理应用”的逻辑串联。 1. 激发求知欲：从学生熟悉的“关门、装窗户”场景出发，提出“如何定义空间角” “如何判定平面垂直”等问题，让学生意识到生活中的常见操作背后蕴含着严谨的数学逻辑，进而产生探索“空间垂直关系判定方法”的强烈欲望，为后续的新知探究奠定良好的情感基础。 像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义．那么，该如何定义呢?不妨回顾一下直线与平面垂直、 直线与直线垂直的定义过程． 在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直．所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础． 在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况．类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直． 如图8.6-21，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(dihedral angle)．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为，面分别为，的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在，内(棱以外的半平面部分)分别取点，，将这个二面角记作二面角． 如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或． 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面． 思考 如图8.6-22，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”， 是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？ 如图8.6-23，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角． 的大小与点在上的位置有关吗？为什么？ 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角的取值范围是． 观察 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数． 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上． 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面与垂直，记作． 如图8.6-24，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直． 在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质．先研究平面与平面垂直的判定． 观察 如图8.6-25，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面．这种方法说明了什么道理？ 这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直．类似的结论也可以在长方体中发现．如图8. 6-26，在长方体中，平面经过平面的一条垂线，此时，平面垂直于平面． 一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理： 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直． 例7 如图8.6-27所示，在正方体中，求证：平面平面． 分析：要证平面⊥平面，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面经过平面的一条垂线即可．这需要利用，是正方形的对角线． 证明：是正方体， 平面， ． 又，， 平面， 又平面， 平面平面． 【变式】如图，在正方体中，判断平面与平面是否垂直，并说明你的理由． 【答案】见详解. 【知识点】证明面面垂直 【分析】根据面面垂直的判定，只要证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面即可得解. 【详解】平面与平面垂直. 如连接，根据是正方体， 所以，又底面， 所以，又和相交， 所以平面， 所以，同理，， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 证明平面与平面垂直的两个常用方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是： ①找出两相交平面的平面角； ②证明这个平面角是直角； ③根据定义，这两个相交平面互相垂直． (2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是： 例8 如图8.6-28，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点．求证：平面平面． 分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直．在本题中，由题意可知，，，从而平面，进而平面平面． 证明：平面，平面，． 点是圆周上不同于的任意一点，是的直径，，即． 又，平面，平面，平面． 又平面，平面平面． 【变式】如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点），直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，则以下四个命题正确的是（　　） A．PB⊥AC B．OC⊥平面PAB C．MO∥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC 【答案】CD 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明面面垂直、证明线面垂直、证明线面平行 【详解】利用反证法思想说明AB错误；由直线与平面平行的判定判断C；由平面与平面垂直的判定判断D． 【解答】解：对于A，假设PB⊥AC，由已知可得AC⊥PA， 又PA∩PB＝P，平面，∴AC⊥平面PAB，而平面，则AC⊥AB，与∠CAB是锐角矛盾，故A错误； 对于B，∵点C是圆周上的任意一点，∴OC与AB不一定垂直， 若OC⊥平面PAB，则OC一定与AB垂直，故B错误； 对于C，∵点M为线段PB的中点，点O为AB的中点，∴OM∥PA， 而OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，∴MO∥平面PAC，故C正确； 对于D，∵PA垂直于圆所在的平面，∴PA⊥BC，由已知得BC⊥AC， 且PA∩AC＝A，平面，∴BC⊥平面PAC，而BC⊂平面PBC，则平面PAC⊥平面PBC，故D正确． 故选：CD． 1.（25-26高三上·广东深圳·月考）若直线与平面相交，则下列结论错误的是（    ） A．平面内有无数条直线和直线异面 B．平面内有无数条直线和直线相交 C．平面内存在直线和直线平行 D．平面内存在直线和直线垂直 【答案】C 【知识点】判断面面是否垂直、判断线面平行、线面关系有关命题的判断、异面直线的判定 【分析】得到平面内的直线与直线的关系为相交或异面，再对四个选项一一判断，结合线面平行和线面垂直的性质进行求解. 【详解】因为直线与平面相交，所以平面内的直线与直线的关系为相交或异面， 设直线与平面交于点， 对于A，当平面内的直线不过交点时，和直线异面，故A正确； 对于B，当平面内的直线过交点时，此时过点的直线和直线相交， 因为平面内过交点的直线有无数条，故B正确； 对于C，若平面内存在直线和直线平行，根据线面平行的判定定理得出平面， 与已知矛盾，故C错误； 对于D，如果直线与平面垂直，则平面内任意直线均和垂直； 如果直线与平面不垂直，过点作直线与平面垂直， 则直线与直线相交且能确定唯一平面，且与平面垂直，      故在平面内可找到直线与平面垂直，即与直线垂直，故D正确. 故选：C 2.（2025高三·全国·专题练习）已知直四棱柱的底面ABCD是正方形，则下列结论不一定成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断面面是否垂直 【分析】根据直棱柱的结构特征，依次判断各项的正误即可. 【详解】如下图所示，直四棱柱的底面ABCD是正方形，结合直棱柱的结构特征， 易知平面平面，平面平面，平面平面，故A，B，C成立； 当且仅当直四棱柱为正方体时，平面平面，D不一定成立. 故选：D 3.（25-26高三上·天津·月考）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（    ） ①若，，则，为异面直线 ②若，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 ⑤若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断面面是否垂直、判断面面平行、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据直线、平面位置关系的判定及性质定理逐项分析即可. 【详解】对于①，由，得平面中存在直线与直线n平行，所以，有可能平行，所以①错误； 对于②，由平面平行的性质可判断②正确； 对于③，若，，则，因为，所以，所以③正确； 对于④，若，，所以，又，所以，所以④错误； 对于⑤，若，，则，又，所以，所以⑤正确. 故正确的个数是3. 故选：C. 4.（2026高三上·广东·学业考试）已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直 【分析】利用面面垂直的判定定理和性质定理即可作出判断. 【详解】非充分性：不能推出， 必要性：， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5.（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ）. A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【知识点】线面垂直证明线线垂直、判断面面是否垂直、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中点线面的位置关系即可判断AB，由面面垂直的性质定理即可判断C，利用线面垂直的性质定理即可判断D. 【详解】对于A：若，，，则或与异面或相交，故A错误； 对于B：若，，，则或相交，故B错误； 对于C：若，，，则相交或或与异面，故C错误； 对于D：若，，，则，故D正确. 故选：D. 6.（25-26高二上·山西朔州·月考）设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m∥，m∥，则∥    ②若⊥，⊥，则⊥ ③若m⊥，m⊥，则∥    ④若m∥，n⊥，则m∥n 其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】判断面面是否垂直、判断线面是否垂直、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解. 【详解】对①，若m∥，m∥，则与平行或相交，①错误； 对②，若⊥，⊥，则与平行或相交，②错误； 对③，若m⊥，m⊥，则∥成立，③正确； 对④，若m∥，n⊥，则m⊥n，④错误； 故选：A. 7.（25-26高二上·广东东莞·期末）已知两条不同的直线与两个不同的平面，下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直 【分析】根据空间中的直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理，线面垂直的判定定理，线面平行的判定定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则与的位置关系不确定，可能平行、相交或，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则存在，使，又，所以，由面面垂直的判定定理得，故C正确； 对于D，若，则与相交、平行或异面，故D错误. 故选：C. 8.（2025·上海杨浦·一模）若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】判断线面平行、判断面面是否垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理可判断AB，利用面面垂直的判定定理和性质定理可判断CD. 【详解】若，，则或为异面直线，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，满足面面垂直的判定定理，故C正确； 若，，这缺少了2个条件，即，才可以得到，故D错误； 故选：C. 9.（2025高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面，，则该四面体的四个表面中，互相垂直的平面有（    ）.    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定定理推理判断. 【详解】由平面，平面，平面， 得平面平面，平面平面，平面与平面不垂直； 由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，平面与平面不垂直； 假定平面平面，在平面内过点作于，连接， 由是斜边，得不与点重合，由平面平面， 得平面，而平面，则，又平面， 于是平面，又平面，则，由平面，平面， 得，而平面，因此与矛盾，即平面与平面不垂直，    所以平面平面，平面平面，平面平面，共有3对. 故选：C 10.（25-26高二上·北京·期中）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ）．    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【答案】C 【知识点】判断线面是否垂直、判断面面是否垂直 【分析】证明出，，利用线面垂直的判定定理可判断A选项；证明出平面，可判断C选项；利用面面垂直的判定定理可判断BD选项. 【详解】对于A选项，因为为圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面，A对； 对于B选项，因为平面，平面，所以平面平面，B对； 对于C选项，因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为过点作平面的垂线有且只有一条，故与平面不垂直， C错； 对于D选项，因为平面，平面，所以平面平面，D对. 故选：C. 1.（2025·四川成都·一模）在空间中，下列命题正确的是（    ） A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 D．若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 【答案】C 【知识点】判断面面是否垂直、判断面面平行、面面关系有关命题的判断、平面的基本性质及辨析 【分析】根据空间中直线、平面的位置关系，结合平面的基本性质判断A、B，由面面垂直的判定定理判断C，利用长方体举反例判断D. 【详解】A：空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行、相交或异面，错， B：空间中平行于同一直线的两个平面，可能平行或相交，错， C：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，根据面面垂直的判定定理知这两个平面互相垂直，对， D：在长方体中，三点到平面的距离都相等，但平面与平面并不平行，错. 故选：C 2.（2025·天津·二模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．，，， B．，， C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直 【分析】对于A当时，则与有可能相交即可判断，对于B当时即可判断，对于C由线面位置关系即可判断，对于D由线面垂直的判断定理即可判断. 【详解】对于A：当时，满足，，，，则与有可能相交，故A错误； 对于B：当时，则，，，故B错误； 对于C：满足，，则或，故C错误； 对于D：由，,故D正确. 故选：D. 3.（24-25高一下·全国·课后作业）对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直 【分析】利用平面垂直判定定理，逐一分析各选项中直线与平面的关系是否可以推导出. 【详解】对于A，当垂直相交且同时平行于时，可能有的情况，所以A错误； 对于B，如下图，当，，，不一定得到，所以B错误； 对于C，过直线作平面与平面交于直线，如下图， ∵，，，∴， ∵，，∴，∴， 又，从而得到，故C正确； 对于D，由，可得，而，故可得，即D错误. 故选：C. 4.（24-25高二下·福建漳州·期末）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断面面是否垂直 【分析】利用图形结合线面，面面位置关系逐项分析即可. 【详解】选项：A，如图所示：    若，则或，故A选项不正确； 选项：B，如图所示：    若，则与可能会垂直，故B选项不正确； 选项：C，因为，， 所以，又 所以，故C选项正确； 选项：D，如图所示：      若，则与可能会相交，故D选项不正确； 故选：C. 1.知识清单： (1) 二面角：定义、记法、平面角的作法与范围（[0∘,180∘]）。 (2) 面面垂直：定义（直二面角）、判定定理（线面垂直→面面垂直）。 (3) 核心方法：空间问题平面化、线线垂直→线面垂直→面面垂直的转化。 2.方法归纳： (1) 证明面面垂直的两种方法：①定义法（证明二面角为直角）；②判定定理法（找线面垂直）。 (2) 二面角平面角的作法：①定义法（在棱上取点，作垂直于棱的射线）；②垂面法（过棱上一点作与棱垂直的平面，交线为平面角）；③垂线法（过平面内一点作另一个平面的垂线，再作棱的垂线，连接垂足）。 3.常见误区： (1) 忽略二面角平面角定义中“垂直于棱” “在两个半平面内”的条件。 (2) 运用判定定理时，未证明直线垂直于另一个平面内的两条相交直线。 (3) 证明后未回归题意，忘记下结论。 教材159页练习第4题， 教材163页习题8.6第7,8题。 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 练习（第158页） 1．如图，检查工件的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了．这是为什么？ 1．解：当曲尺的另一边在工件的另一个面上转动时，如果和另一个面密合，曲尺紧靠工件一个面的边就与另一个面内无 数条相交直线都垂直，从而这边就与另一个面垂直. 同时， 这边紧靠工件的一个面，可看成这边在这个面内，故这两个面垂直． 2．已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（ ） （A）， （B），， （C）， （D）， 2．答案：D 3．如下页图，平面，， 你能发现哪些平面互相垂直，为什么? 3．解析：平面平面，平面平面，平面平面．理由如下： 平面，平面，平面， ∴平面平面，平面平面， 由平面，得．又，，平面，又平面， 平面平面． 4．如图，在正三棱柱中，为棱的中点．求证：平面平面． 4．证明：三棱柱为正三棱柱，则为正三角形．又为棱中点，． 又底面，．又，平面， ∴平面平面． 本节课通过生活实例导入，类比旧知探究新知，注重学生的直观感知与逻辑推理能力的培养。在教学过程中，二面角平面角的构造是难点，通过“实例观察—操作确认—抽象概括”的步骤，逐步引导学生突破；判定定理的形成则通过“猜想—证明—应用”的流程，让学生理解定理的本质。 但在实际教学中，可能存在部分学生对二面角平面角的作法掌握不熟练，在复杂几何体中难以快速找到线面垂直关系的问题。后续教学中，应加强对二面角平面角作法的专项训练，增加典型几何体的变式练习，强化“转化思想”的渗透，帮助学生构建完整的空间垂直关系知识网络。同时，可借助多媒体课件（如动态展示二面角的开合、线面垂直与面面垂直的转化），增强教学的直观性，提升学生的空间想象能力。 学科网（北京）股份有限公司 $