8.6.2 直线与平面垂直(第2课时)直线与平面垂直的性质 （教学课件）数学人教A版必修第二册

第8章 立体几何初步 8.6.2 (第2课时) 直线与平面垂直的性质 人教A版· 必修第二册· 学习目标 1.掌握直线与平面垂直的性质定理，理解定理的条件与结论，能准确表述定理内容。 2.能运用直线与平面垂直的性质定理证明线线平行，解决简单的线面、面面关系问题。 3.理解直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念，能进行相关距离的简单计算。 4.经历定理的探究、证明与应用过程，体会反证法的思维方式，提升空间想象和逻辑推理素养。 目录 CATALOG 01. 直线与平面垂直的性质定理 03.题型强化训练 02.空间中的距离问题 04.小结及随堂练习 01 直线与平面垂直 的性质定理 8.6.2 直线与平面垂直(第2课时) 直线与平面垂直的性质 导入新知1：“高楼立柱的‘平行默契’ ” 展示城市高楼建筑群的图片（重点突出高楼的立柱结构），同学们每天路过的高楼，其竖直的立柱都垂直于地面。比如这栋写字楼的4根核心立柱，它们各自垂直于地面，却能精准支撑起整栋楼的楼层结构，从未出现“错位”情况。 1. 垂直于同一地面的高楼立柱，它们之间是什么位置关系？请结合生活观察简要说明。 2. 将立柱抽象成直线、地面抽象成平面，高楼立柱垂直于地面且相互平行的现象，能体现直线与平面垂直的什么规律？ 3. 若一根立柱因施工误差不再垂直于地面，它还能和其他垂直于地面的立柱保持平行吗？为什么？ 导入新知2：““太阳能板支架的‘距离智慧’ ” 播放太阳能电站的短视频（聚焦太阳能板与支架的安装结构），同学们仔细观察会发现，太阳能板要高效吸收阳光，通常会保持与地面平行的状态，而支撑太阳能板的支架都垂直于地面。 1. 支撑太阳能板的支架均垂直于地面，且每块太阳能板的支架长度都相同，这一设计背后蕴含着什么数学原因？ 2. 将太阳能板看作平面、地面看作另一个平面、支架看作垂直于地面的线段，太阳能板上任意一点到地面的距离有什么规律？ 3. 不同太阳能板可看作平行平面，它们之间的距离该如何衡量？这一距离与支架的“垂直特性”有怎样的关联？ 复习旧知 直线与平面垂直的相关定义：　 一般地，如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线 l 与平面α互相垂直，记作l⊥α． 直线 l 叫做平面α的垂线， 平面α叫做直线 l 的垂面． 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P 叫做垂足． 垂线 垂足 垂面 注：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直，如图8.6-9所示． 复习旧知 点到平面的距离：　 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个 点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 如图，PP′⊥平面α，P′为垂足，线段PP′的长度即为点P到平面α的距离. 复习旧知 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． 图形语言： 符号语言： l m α n P 五个条件 缺一不可 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”的互相转化. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面垂直证明线线平行、面面关系有关命题的判断 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面垂直证明线线平行、线面垂直证明面面平行 学习新知 我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢? l a b 学习新知 【观察】 （1）如图8.6-16，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系? 图8.6-16 互相平行平行 学习新知 【观察】 （2）如图8.6-17，已知直线a，b和平面α．如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗? 垂直于同一个平面 的两条直线平行 b α a 图8.6-17 学习新知 图8.6-18 a b c O 学习新知 由于无法把两条直线a, b归入到一个平面内，所以在定理的证明中，无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4．在这种情况下我们采用了“反证法”． 这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理： 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行． 直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行．直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系． a b 学习新知 a b a 你还能自己提出更多的问题，发现更多的结论吗? 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面垂直证明线线平行、判断线面是否垂直 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面垂直证明线线平行、判断线面是否垂直 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面垂直证明面面平行 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面垂直证明面面平行 02 空间中的距离问题 8.6.2 直线与平面垂直(第2课时) 直线与平面垂直的性质 学习新知 例5： 【证明】 A B A1 B1 l 图8.6-19 学习新知 【变式】 （多选题）下列说法中正确的有（ ） A．垂直于同一个平面的两条直线平行 B．过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直 C．直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 D．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 学习新知 【变式】 （多选题）下列说法中正确的有（ ） A．垂直于同一个平面的两条直线平行 B．过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直 C．直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 D．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 学习新知 【感悟提升】 空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离； (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． 学习新知 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 由例5我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面垂直证明线线垂直 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面垂直证明线线垂直、线面垂直证明线线平行 学习新知 例6： P O 图8.6-20 学习新知 例6： P O 图8.6-20 学习新知 学习新知 【变式】 学习新知 【详解】 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面垂直证明线线平行、线面关系有关命题的判断 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 03 题型强化训练 8.6.2 直线与平面垂直(第2课时) 直线与平面垂直的性质 能力提升 【练习1】 题型一　直线与平面垂直的性质定理的应用 能力提升 题型一　直线与平面垂直的性质定理的应用 【感悟提升】 证明线线平行常用的方法 (1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点． (2)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直． (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． 能力提升 【练习2】 题型二 空间中的距离问题 线段AB的端点A，B到平面 的距离分别是30cm和50cm，则线段AB的中点P到平面α的距离为（ ） A．40cm B．10cm C．80cm D．40cm或10cm 能力提升 能力提升 题型二 空间中的距离问题 【感悟提升】 空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(或等分点)转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． 能力提升 【练习3】 题型三 直线与平面垂直关系的综合应用 已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（ ） A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 能力提升 题型三 直线与平面垂直关系的综合应用 【感悟提升】直线与平面垂直关系 (1)线线垂直的证明，常转化为线面垂直来证明，即：把两条直线中一条放在某个平面内，然后证明另一条垂直于这个平面．要证线面垂直，可通过线面垂直的定义及判定定理，体现了线线垂直→线面垂直→线线垂直，解题时要注意这种相互转化关系的合理应用． (2）要学会逆向分析的方法，从要证明的结论入手，层层递推，这是解决问题的有效方法． (3)综合应用线面垂直的判定、性质证明线线垂直时，一是根据已知的垂直关系，确定需要证明的直线和平面；二是思路调整，比如要证明直线a垂直于平面α内的直线b，往往需要证明直线b垂直于直线a所在的平面β. 04 小结及随堂练习 8.6.2 直线与平面垂直(第2课时) 直线与平面垂直的性质 课堂总结1 1．知识清单： (1)直线与平面垂直的定义． (2)直线与平面垂直的判定定理． (3)直线与平面所成的角． (4)直线与平面垂直的性质定理． 2．方法归纳：转化思想，数形结合． 3．常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直． 课堂总结2 作业 8.6.2 直线与平面垂直(第2课时) 直线与平面垂直的性质 教材第 155 页练习第 2,3 题. 练习（第155页） a b 应用：求三棱锥的体积时，可以将三棱锥 的顶点沿着与底面平行的直线进行平移。 A C D B A B C D E F H A B C D E F G 4．求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，（提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行） a b c 人教A版· 必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 下列说法错误的是（    ） A．垂直于同一个平面的两条直线平行 B．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 C．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【详解】A：由线面垂直的性质知，垂直于同一个平面的两条直线平行，对； B：由平面的基本性质，经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，对； C：由等角性质，如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，错； D：如果两个不重合的平面有一个公共点，则两个平面必交于一条直线，且公共点在该直线上，故它们有且只有一条过该点的公共直线，对. 故选：C 已知 、 、 为三条不同的直线， 、 为两个不同的平面，下列四个命题： ① ， ，且 ； ② ， ； ③ ， ， ； ④ ， ．其中不正确的有（   ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【详解】对于①，若且，则， 因为，过直线作平面，使得，则， 因为，，所以，故，①对； 对于②，若，，则或，②错； 对于③，若，，则，因为，则，③对； 对于④，若，，则或，④错. 故选：B. 3. 若m，n为空间中两条直线， ， 为平面，则下列说法正确的是（   ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C． ， ， ，则 D．若m，n是异面直线，则m，n在 内的射影为两条相交直线 【详解】对于A，，，则可能在内，可能平行于，也可能与相交，A错误； 对于B，，，则可能在内，可能平行于，B错误； 对于C，由，，得，而，因此，C正确； 对于D，m，n是异面直线，m，n在内的射影可能是两条平行直线，可能是两条相交直线， 也可能是一条直线和一个点，D错误. 故选：C 4.(多选题） 若a，b表示两条直线， 表示一个平面，则下列选项为真命题的是（    ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，，则与可能平行或异面，故D错误. 故选：BC. 5.(多选题） 设 是两个平面， 是两条直线，则 的一个充分条件是（ ） A． B． C． 与 相交 D． 【详解】对于A：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误； 对于B：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误； 对于C：当满足与相交时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故C错误； 对于D:  因为，又，所以， 故是的一个充分条件，故D正确； 故选：D 【详解】垂直于同一个平面的两条直线是平行的，A正确； 过空间一点有且只有一条直线和已知平面垂直，B正确； 如下图，直线上有两点到平面的距离相等，直线与平面 可能相交， C错误； 如果直线垂直于平面内的无数条直线，如下图 直线 （不与平面垂直），在平面内一条直线 且 ，显然，平面内存在无数条直线与 平行， 则 垂直于平面内无数条直线，但直线 和平面 不垂直，D错误； 故选：AB 已知 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，下列命题一定正确的是（    ） A． ， ，则 B． ， ，则 C． ， ，则 D． ， ，则 【详解】对于A选项，若，，则或、异面，A错； 对于B选项，若，，则或、相交，B错； 对于C选项，若，，则或、异面或、相交，C错； 对于D选项，若，，则，D对. 故选：D. 7. 已知m，n是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A，由，得或是异面直线，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，由，得或，C错误； 对于D，由，得，而，因此，D正确. 故选：D 8.(多选题） 下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，，则或，B错误； 对于C，，则存在过直线与平面相交的平面，令交线为，于是， 由，得，因此，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：ACD 米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有．如图，是米斗中的一种，可盛10升米（1升 ）．已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为 ，下口宽 ，且 ，若该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为 ，则（    ） A． B． C． D． 设该米斗的高为 ， 解得 ．易知上口的对角线的长度为 ， 下口的对角线长度为 ， 所以侧棱与下底面所成角的正切值为 ， 解得 ． 故选：B 9.(多选题） 直线 和 在正方体 的两个不同平面内，则可以使 成立的条件是（    ） A． 和 垂直于正方体的同一个面 B． 和 与正方体的同一个面平行 C． 和 平行于同一条棱 D． 和 与正方体的同一条棱垂直 【详解】对于A，根据垂直于同一平面的两直线平行，可知A正确， 对于B，与同一平面平行的两直线可能平行，可能相交，可能异面，故B错误， 对于C，根据平行的传递性可知：平移于同一条的棱的两直线平行，故C正确， 对于D，与同一条直线垂直的两直线可能平行，可能相交，可能异面，故D错误， 故选：AC `10.(多选题） 在平行六面体 中，侧棱 垂直于底面 ，下列结论正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 平面 D．若 ，则 平面 【详解】对于选项A，平面，且，所以平面，又因为平面，则，又，底面为菱形， 则，平面， 则平面，因为平面，所以，A正确； 对于选项B，，底面为矩形，无法得到平面，B错误； 对于选项C，设与交于点，由，为中点，得， 因为平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，C正确； 对于选项D，因为，所以四边形为正方形，所以，而与不一定垂直，D错误． 故选：AC. 【详解】A不正确，因为 ，可得出n与 内的直线位置关系是平行 或异面；B不正确，因为 ， 中的平行关系不具有传递性，平 行于同一直线的两个平面可能平行，也可能相交；C不正确， ， m⊥n，可得出 或 ；D正确， ， ，可根据垂直于同 一直线的两个平面平行得出 . 故选：D. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 下列命题是真命题的是（    ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ，m⊥n，则 D．若 ， ，则 【详解】当A，B在平面 同侧时，如图所示：设 ， ，显然 ，由梯形中位线定理可知： ，当A，B在平面 异侧时，如图所示： 设 ， ，则有 ， 且 ，由平行线成比例定理可知中： ， ，得 ， 故选：D. 【详解】解： 矩形 ， 矩形 ， ，故 正确． 若 ，则 平面 ，又 平面 ，则过平面外一面有两条直 线与平面垂直， 故 不正确，故 不正确； 矩形 ， ， ， 平面 ， ，故 正确； 矩形 ， 由三垂线定理得 ，故 正确； 故选： ． $