第二单元专项训练05：八种综合性问题之圆柱与圆锥中的等积变形问题-2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」（原卷版+解析版）苏教版

品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春】 第二单元专项训练05：八种综合性问题之 圆柱与圆锥中的等积变形问题 踢日期： ⊙用时： 贝评价： 1.炎帝神农是中华民族的人文始祖，随州是炎帝神农的诞生地。炎帝之祀源远流长。每年农 历四月廿六炎帝诞辰日，海内外炎黄子孙以不同形式拜谒始祖炎帝，共同祈福四方。随州市为 迎接今年的寻根节，施工队对一处建筑物前的路面进行凹陷硬化修复，工人师傅准备了一些沙 子，这些沙子堆成圆锥形，已知沙堆的底面周长是6.28米，高是1.2米，把这些沙子平铺在 个长是8米、宽是2.5米的长方体凹坑里，能铺多少厘米厚？ 【答案】6.28厘米 【分析】己知圆锥底面周长是6.28米，根据圆的周长公式C=2π可推出r=C÷π2，以此计 算底面半径；已知圆锥的高是12米，根据圆锥体积公式V-知h算出圆锥体积，也就是沙子 的体积；沙子铺在长方体凹坑中，体积不变：已知长方体凹坑长8米、宽2.5米，根据长方 体体积=长×宽×高可推出长方体的高=体积÷（长×宽）”计算出长方体的高，就是沙子的厚 度：最后注意单位换算，将米转化为厘米。 【详解】6.28÷3.14÷2 =2÷2 =1（米) }314112 -*3.14x1x12 =3.14×1×0.4 =3.14×0.4 =1.256(立方米) 1.256÷(8×2.5) =1.256÷20 第1页共14页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =0.0628(米) 0.0628米=6.28厘米 答：能铺6.28厘米厚。 2.一堆圆锥形黄沙，底面周长是25.12米，高是1.5米，将这些沙子铺在一条宽4米厚2.5厘 米的小路上，大约能铺几米长？ 【答案】251.2米 【分析】已知圆锥的底面周长，根据r=C÷π÷2，求出圆锥形沙堆的底面半径；然后根据V锥 -,求出沙堆的体积：又已知将这堆沙子铺在小路上，那么沙子的体积不变，求能铺的 长度，就是求长方体的长，根据长方体的长a=Vbh,即可得解。注意单位的换算：1米 100厘米。 【详解】2.5厘米=0.025米 底面半径：25.12÷3.14÷2 =8÷2 =4(米) 圆锥形沙堆的体积：314x4x15x写 =314*1615x号 =502415x号 =7536号 =25.12（立方米) 25.12÷4÷0.025 =6.28÷0.025 =251.2(米) 答：大约能铺251.2米长。 3.一个圆锥形沙堆，高3米，占地面积15平方米。将这堆沙铺在宽6米的路上，平均铺5 厘米厚，能铺多少米？ 【答案】50米 【分析】首先根据圆锥的体积公式：V= Sh,计算出这堆沙的体积，把这堆沙平铺在路面上， 第2页共14页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 只是形状改变了沙的体积没变。由长方体的公式：V=S,用体积除以底面积就是铺的长度： 由此解答： 【详解】}×15x3 =5×3 15(立方米) 5÷100=0.05(米) 15÷6÷0.05 =2.5÷0.05 =50(米) 答：能铺50米。 4.把一个长、宽、高分别是8厘米、4厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为4厘米的正方 体铁块熔铸成一个圆锥体。这个圆锥体的底面积是1.2平方分米，高是多少？ 【答案】4厘米 【分析】由题意可知：圆锥的体积等于长方体铁块与正方体铁块的体积和。先根据“长方体的 体积=长×宽×高”求出长方体铁块的体积：再根据正方体的体积=棱长×棱长×棱长”求出正方 体铁块的体积：再用长方体铁块的体积加上正方体铁块的体积求出圆锥的体积：最后根据“圆 锥的高=圆维的体积}底面积求出圆锥的高。 【详解】1.2平方分米=120平方厘米 8×4×3+4×4×4 =96+64 =160(立方厘米) 160-号*120 =160×3÷120 =480÷120 =4（厘米) 答：高是4厘米。 【点睛】此题考查了长方体、正方体、圆锥的体积计算公式。解决此题关键是明确熔铸前后铁 块的形状发生了变化，但体积不变。 第3页共14页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 5.赵师傅将一个长方体铁块和一个圆柱形铁块（如下图）熔铸成一个底面直径是12厘米的圆 锥。这个圆锥的高是多少厘米？ 14cm 12cm 5cm 【答案】12.5厘米 【分析】根据长方体的体积公式：V=abh,圆柱的体积公式：V=r2h,代入数据求出长方体 铁块和圆柱形铁块的体积，再加起来，求出它们的体积之和，熔铸后，总体积不变，根据圆锥 的体积公式：V=子mh,把已知的数据代入即可求出圆锥的高。 【详解】12×5×3.14+3.14×(6÷2)2×10 =188.4+3.14×32×10 =188.4+3.14×9×10 =188.4+282.6 =471(立方厘米) 471-[3×3.14×(12-2)] =471=[号×3.14x6] =471[3×3.14×36] =471÷37.68 =12.5(厘米) 答：圆锥的高是12.5厘米。 【点睛】此题主要考查等积变形，抓住熔铸前后体积不变，灵活运用长方体、圆柱、圆锥的体 积公式求解即可。 6.把一个长6.28分米，宽和高都为4分米的长方体钢坯熔铸成一个底面直径为8分米的圆锥 形铅锤。这个铅锤的高是多少分米？ 【答案】6分米 【分析】根据题意，把一个长方体钢坯熔铸成一个圆锥形铅锤，则钢坯的体积不变：先根据长 第4页共14页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 方体的体积公式V=ab,求出钢坯的体积；然后根据圆锥的体积公式V=}Sh可知， 圆锥的 高h=3V÷S,其中S=πr2,代入数据计算即可求解。 【详解】长方体的体积（圆锥的体积）： 6.28×4×4 =25.12×4 =100.48(立方分米) 圆锥的底面积： 3.14×(8÷2)2 =3.14×16 =50.24(平方分米) 圆锥的高： 100.48×3÷50.24 =301.44÷50.24 =6(分米) 答：这个铅锤的高是6分米。 【点睛】本题考查长方体的体积、圆锥的体积计算公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中 的体积不变”是解题的关键。 7.把一个底面半径是2厘米，高是10厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是20厘米的圆锥形 铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 18.84平方厘米 【分析】园锥的体积等于圆柱的体积，利用广=%求出园柱的体积.圆锥广-h,所以S=3沙九， 据此解答。 【详解】3×(3.14×22×10)÷20 =3×(3.14×4×10)÷20 第5页共14页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =3×125.6÷20 18.84（平方厘米) 答：这个圆锥形铁块的底面积是18.84平方厘米。 8.把一个底面积是12.56平方分米，高是6分米的圆柱形铁块熔铸成一个底面积是18.84平方 分米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是多少分米？ 【答案】12分米 【分析】把圆柱形铁块熔铸成圆锥形铁块，只是形状变了，但体积不变。首先根据圆柱的体积 公式：V=S,求出圆柱形铁块的体积，再根据圆锥的体积公式：V=}Sh,那么h=3V=S, 把数据代入公式解答即可。 【详解】12.56×6×3÷18.84 =75.36×3÷18.84 =226.08÷18.84 =12（分米) 答：这个圆锥形铁块的高是12分米。 9.一个圆锥形铁块，底面直径是12分米，高是10分米，将它熔铸成一个长是8分米，宽是 3分米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少？ 【答案】15.7分米 【分析】分析题目，圆锥形铁块和长方体铁块的体积相等，先根据圆锥的体积=π(2)五 代入数据列式求出圆锥的体积，再根据长方体的高=体积÷（长×宽）代入数据列式求出长方 体的高即可。 【详解】314×(12*2)210x号 =3.14×62×10×3 =3.14×36×10×3 =113.04×10× 1 =1304号 =376.8(立方分米) 376.8÷(8×3) 第6页共14页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =376.8÷24 =15.7(分米) 答：这个长方体铁块的高是15.7分米。 10.一个圆柱形的蓄水罐，从里面测量其底面周长为18.84米，高为4米。现在，将这个蓄水 罐中的水全部倒入一个底面半径是6米的圆锥形的蓄水池中，恰好将蓄水池装满。请问，这个 圆锥形蓄水池的高是多少米？ 【答案】 3米 【分析】首先根据圆柱底面周长求出底面半径，再根据圆柱的体积公式V=π2h计算圆柱体积。 由于水的体积等于圆锥体积，利用圆锥体积公式y=号反推其高度。 【详解】18.84÷3.14÷2=3（米) 3.14×32×4 =3.14×9×4 =113.04(立方米) 1304g14x6) =113.04×3÷(3.14×36) =113.04×3÷113.04 =3(米) 答：这个圆锥形蓄水池的高是3米。 11.下图所示的是一种玻璃酒杯，杯口内直径是4cm,总深12cm,圆柱部分高7.5cm。把酒 杯装满水再倒入右边的水杯中，则水深多少厘米？ 6 cm 5 cm 【答案】 4厘米 【分析】根据圆柱体积公式=h,圆维体积公式二h,以及圆柱体积公式的变形 第7页共14页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 hs上 。先分别计算出玻璃酒杯中圆柱部分和圆锥部分的体积，两者相加得到酒杯的容积，再 根据圆柱体积公式的变形，即可计算倒入茶杯后水的深度。 【详解】3.14×(4÷2)2×7.5 =3.14×4×7.5 =12.56×7.5 =94.2(cm) 含3144：202-75) 3.14x4×45 1 =18.84(cm) 94.2+18.84=113.04(cm2） 113.04÷3.14×(6÷2) =113.04÷[3.14×9] =113.04÷28.26 =4(cm) 答：水深4厘米。 12.有A、B两个容器，如图所示，先把A容器装满水，再倒入B容器中，B容器中水的液 面高度是多少分米？（单位：分米） -8 A B 【答案】1.5分米 【分析】根据题意，A容器是一个底面半径为3分米，高为8分米的圆锥，装满水，根据圆锥 的体积公式V=h,求出水的体积： B容器是一个底面直径为8分米的圆柱，根据圆的面积公式S=2,求出B容器的底面积： 第8页共14页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 把水倒入B容器中，则水的体积不变；根据圆柱的体积公式V=Sh可知，圆柱的高h=V÷S, 据此求出B容器中水的液面高度。 【详解】水的体积： }31438 =片3.1498 =75.36(立方分米) B容器的底面积： 3.14×(8÷2)2 =3.14×42 =3.14×16 =50.24(平方分米) B容器中水的高度： 75.36÷50.24=1.5(分米) 答：B容器中水的液面高度是1.5分米。 13.一个圆锥形容器，底面直径8分米，高9分米，装满水后全部倒入一个底面半径4分米的 圆柱形容器中。水面会上升到多少分米？ 【答案】3分米 【分析】分析题目，先根据圆锥的体积=？π(d2)h列式求出水的体积，再根据圆柱的底面 积=π2求出圆柱形容器的底面积，最后用水的体积除以圆柱形容器的底面积即可得到水面上 升的高度。 【详解】3.14×(8=2)2×9x 1 =3.14×42×9× 3 =3.14×16×9×3 =5024x9号 =452.16×3 =150.72(立方分米) 3.14×42 第9页共14页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =3.14×16 =50.24(平方分米) 150.72÷50.24=3（分米) 答：水面会上升到3分米。 14.如图，把10升水倒入甲容器中水深8厘米，倒入乙容器中水深12厘米。求甲、乙容器底 面积的比。（要写出想法过程） 8cm 12cm 【答案】3：2；过程见详解 【分析】根据长方体和圆柱的容积公式：V=Sh,据此分别求出甲、乙容器的底面积，进而求 出底面积的比。 【详解】10升=10立方分米=10000立方厘米 10000÷8=1250(平方厘米) 10000÷12= 2500 3 (平方厘米) 1250: 2500 3 =(1250x3):(250 x3) 3 =3750:2500 =(3750-1250):(2500÷1250) =3:2 答：甲、乙容器底面积的比是3：2。 15.如图，圆柱形容器A是底面半径为5厘米，高为20厘米的空容器，长方体容器B中的水 深6.28厘米，底面为10厘米的正方形。将容器B中的水全部倒入容器A,这时容器A水深 多少厘米？ 第10页共14页 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元专项训练05：八种综合性问题之 圆柱与圆锥中的等积变形问题 1．炎帝神农是中华民族的人文始祖，随州是炎帝神农的诞生地。炎帝之祀源远流长。每年农历四月廿六炎帝诞辰日，海内外炎黄子孙以不同形式拜谒始祖炎帝，共同祈福四方。随州市为迎接今年的寻根节，施工队对一处建筑物前的路面进行凹陷硬化修复，工人师傅准备了一些沙子，这些沙子堆成圆锥形，已知沙堆的底面周长是6.28米，高是1.2米，把这些沙子平铺在一个长是8米、宽是2.5米的长方体凹坑里，能铺多少厘米厚？ 2．一堆圆锥形黄沙，底面周长是25.12米，高是1.5米，将这些沙子铺在一条宽4米厚2.5厘米的小路上，大约能铺几米长？ 3．一个圆锥形沙堆，高3米，占地面积15平方米。将这堆沙铺在宽6米的路上，平均铺5厘米厚，能铺多少米？ 4．把一个长、宽、高分别是8厘米、4厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为4厘米的正方体铁块熔铸成一个圆锥体。这个圆锥体的底面积是1.2平方分米，高是多少？ 5．赵师傅将一个长方体铁块和一个圆柱形铁块（如下图）熔铸成一个底面直径是12厘米的圆锥。这个圆锥的高是多少厘米？ 6．把一个长6.28分米，宽和高都为4分米的长方体钢坯熔铸成一个底面直径为8分米的圆锥形铅锤。这个铅锤的高是多少分米？ 7．把一个底面半径是2厘米，高是10厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是20厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 8．把一个底面积是12.56平方分米，高是6分米的圆柱形铁块熔铸成一个底面积是18.84平方分米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是多少分米？ 9．一个圆锥形铁块，底面直径是12分米，高是10分米，将它熔铸成一个长是8分米，宽是3分米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少？ 10．一个圆柱形的蓄水罐，从里面测量其底面周长为18.84米，高为4米。现在，将这个蓄水罐中的水全部倒入一个底面半径是6米的圆锥形的蓄水池中，恰好将蓄水池装满。请问，这个圆锥形蓄水池的高是多少米？ 11．下图所示的是一种玻璃酒杯，杯口内直径是4cm，总深12cm，圆柱部分高7.5cm。把酒杯装满水再倒入右边的水杯中，则水深多少厘米？ 12．有A、B两个容器，如图所示，先把A容器装满水，再倒入B容器中，B容器中水的液面高度是多少分米？（单位：分米） 13．一个圆锥形容器，底面直径8分米，高9分米，装满水后全部倒入一个底面半径4分米的圆柱形容器中。水面会上升到多少分米？ 14．如图，把10升水倒入甲容器中水深8厘米，倒入乙容器中水深12厘米。求甲、乙容器底面积的比。（要写出想法过程） 15．如图，圆柱形容器A是底面半径为5厘米，高为20厘米的空容器，长方体容器B中的水深6.28厘米，底面为10厘米的正方形。将容器B中的水全部倒入容器A，这时容器A水深多少厘米？ 17．一个瓶子，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），它的容积为1256毫升。瓶子正放时，瓶内水面高度为20厘米，瓶子倒放时，无水部分高度为5厘米。瓶内水的体积是多少毫升？ 18．将一个长方体铁坯（如下图）锻造成一个底面直径为4厘米的圆柱，圆柱的长是多少？ 19．孙悟空正在打妖怪，他神奇的金箍棒变成了底面周长是25.12cm、高是2m的圆柱形铁棒。 （1）这时金箍棒的体积是多少？ （2）金箍棒体积不变，又变成了一根底面积是100.48cm2的圆柱形铁棒，这时它的高是多少？ 20．一个长方体玻璃容器长是20厘米，宽和高都是15厘米。里面盛有12厘米深的水。 （1）与水接触的玻璃面积有多大？ （2）如果把这些水倒入一个底面直径是16厘米，高是20厘米的圆柱形玻璃容器中，水面高约多少厘米？（得数保留整数） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元专项训练05：八种综合性问题之 圆柱与圆锥中的等积变形问题 1．炎帝神农是中华民族的人文始祖，随州是炎帝神农的诞生地。炎帝之祀源远流长。每年农历四月廿六炎帝诞辰日，海内外炎黄子孙以不同形式拜谒始祖炎帝，共同祈福四方。随州市为迎接今年的寻根节，施工队对一处建筑物前的路面进行凹陷硬化修复，工人师傅准备了一些沙子，这些沙子堆成圆锥形，已知沙堆的底面周长是6.28米，高是1.2米，把这些沙子平铺在一个长是8米、宽是2.5米的长方体凹坑里，能铺多少厘米厚？ 【答案】6.28厘米 【分析】已知圆锥底面周长是6.28米，根据圆的周长公式C＝2πr可推出r＝C÷π÷2，以此计算底面半径；已知圆锥的高是1.2米，根据圆锥体积公式算出圆锥体积，也就是沙子的体积；沙子铺在长方体凹坑中，体积不变；已知长方体凹坑长8米、宽2.5米，根据“长方体体积＝长×宽×高”可推出“长方体的高＝体积÷（长×宽）”计算出长方体的高，就是沙子的厚度；最后注意单位换算，将米转化为厘米。 【详解】6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（米） ×3.14×12×1.2 ＝×3.14×1×1.2 ＝3.14×1×0.4 ＝3.14×0.4 ＝1.256（立方米） 1.256÷（8×2.5） ＝1.256÷20 ＝0.0628（米） 0.0628米＝6.28厘米 答：能铺6.28厘米厚。 2．一堆圆锥形黄沙，底面周长是25.12米，高是1.5米，将这些沙子铺在一条宽4米厚2.5厘米的小路上，大约能铺几米长？ 【答案】251.2米 【分析】已知圆锥的底面周长，根据r＝C÷π÷2，求出圆锥形沙堆的底面半径；然后根据V锥＝πr2h，求出沙堆的体积；又已知将这堆沙子铺在小路上，那么沙子的体积不变，求能铺的长度，就是求长方体的长，根据长方体的长a＝V÷b÷h，即可得解。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】2.5厘米＝0.025米 底面半径：25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 圆锥形沙堆的体积：3.14×42×1.5× ＝3.14×16×1.5× ＝50.24×1.5× ＝75.36× ＝25.12（立方米） 25.12÷4÷0.025 ＝6.28÷0.025 ＝251.2（米） 答：大约能铺251.2米长。 3．一个圆锥形沙堆，高3米，占地面积15平方米。将这堆沙铺在宽6米的路上，平均铺5厘米厚，能铺多少米？ 【答案】50米 【分析】首先根据圆锥的体积公式：V＝Sh，计算出这堆沙的体积，把这堆沙平铺在路面上，只是形状改变了沙的体积没变。由长方体的公式：V＝Sh，用体积除以底面积就是铺的长度；由此解答； 【详解】 （立方米） 5÷100＝0.05（米） （米） 答：能铺50米。 4．把一个长、宽、高分别是8厘米、4厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为4厘米的正方体铁块熔铸成一个圆锥体。这个圆锥体的底面积是1.2平方分米，高是多少？ 【答案】4厘米 【分析】由题意可知：圆锥的体积等于长方体铁块与正方体铁块的体积和。先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出长方体铁块的体积；再根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体铁块的体积；再用长方体铁块的体积加上正方体铁块的体积求出圆锥的体积；最后根据“圆锥的高＝圆锥的体积÷÷底面积”求出圆锥的高。 【详解】1.2平方分米＝120平方厘米 8×4×3＋4×4×4 ＝96＋64 ＝160（立方厘米） 160÷÷120 ＝160×3÷120 ＝480÷120 ＝4（厘米） 答：高是4厘米。 【点睛】此题考查了长方体、正方体、圆锥的体积计算公式。解决此题关键是明确熔铸前后铁块的形状发生了变化，但体积不变。 5．赵师傅将一个长方体铁块和一个圆柱形铁块（如下图）熔铸成一个底面直径是12厘米的圆锥。这个圆锥的高是多少厘米？ 【答案】12.5厘米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，圆柱的体积公式：V＝，代入数据求出长方体铁块和圆柱形铁块的体积，再加起来，求出它们的体积之和，熔铸后，总体积不变，根据圆锥的体积公式：V＝，把已知的数据代入即可求出圆锥的高。 【详解】12×5×3.14＋3.14×（6÷2）2×10 ＝188.4＋3.14×32×10 ＝188.4＋3.14×9×10 ＝188.4＋282.6 ＝471（立方厘米） 471÷[×3.14×（12÷2）2] ＝471÷[×3.14×62] ＝471÷[×3.14×36] ＝471÷37.68 ＝12.5（厘米） 答：圆锥的高是12.5厘米。 【点睛】此题主要考查等积变形，抓住熔铸前后体积不变，灵活运用长方体、圆柱、圆锥的体积公式求解即可。 6．把一个长6.28分米，宽和高都为4分米的长方体钢坯熔铸成一个底面直径为8分米的圆锥形铅锤。这个铅锤的高是多少分米？ 【答案】6分米 【分析】根据题意，把一个长方体钢坯熔铸成一个圆锥形铅锤，则钢坯的体积不变；先根据长方体的体积公式V＝abh，求出钢坯的体积；然后根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，其中S＝πr2，代入数据计算即可求解。 【详解】长方体的体积（圆锥的体积）： 6.28×4×4 ＝25.12×4 ＝100.48（立方分米） 圆锥的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 圆锥的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（分米） 答：这个铅锤的高是6分米。 【点睛】本题考查长方体的体积、圆锥的体积计算公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 7．把一个底面半径是2厘米，高是10厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是20厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 18.84平方厘米 【分析】圆锥的体积等于圆柱的体积，利用求出圆柱的体积。圆锥，所以，据此解答。 【详解】 （平方厘米） 答：这个圆锥形铁块的底面积是18.84平方厘米。 8．把一个底面积是12.56平方分米，高是6分米的圆柱形铁块熔铸成一个底面积是18.84平方分米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是多少分米？ 【答案】12分米 【分析】把圆柱形铁块熔铸成圆锥形铁块，只是形状变了，但体积不变。首先根据圆柱的体积公式：V＝Sh，求出圆柱形铁块的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝Sh，那么h＝3V÷S，把数据代入公式解答即可。 【详解】12.56×6×3÷18.84 ＝75.36×3÷18.84 ＝226.08÷18.84 ＝12（分米） 答：这个圆锥形铁块的高是12分米。 9．一个圆锥形铁块，底面直径是12分米，高是10分米，将它熔铸成一个长是8分米，宽是3分米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少？ 【答案】15.7分米 【分析】分析题目，圆锥形铁块和长方体铁块的体积相等，先根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h代入数据列式求出圆锥的体积，再根据长方体的高＝体积÷（长×宽）代入数据列式求出长方体的高即可。 【详解】3.14×（12÷2）2×10× ＝3.14×62×10× ＝3.14×36×10× ＝113.04×10× ＝1130.4× ＝376.8（立方分米） 376.8÷（8×3） ＝376.8÷24 ＝15.7（分米） 答：这个长方体铁块的高是15.7分米。 10．一个圆柱形的蓄水罐，从里面测量其底面周长为18.84米，高为4米。现在，将这个蓄水罐中的水全部倒入一个底面半径是6米的圆锥形的蓄水池中，恰好将蓄水池装满。请问，这个圆锥形蓄水池的高是多少米？ 【答案】 3米 【分析】首先根据圆柱底面周长求出底面半径，再根据圆柱的体积公式计算圆柱体积。由于水的体积等于圆锥体积，利用圆锥体积公式反推其高度。 【详解】（米） （立方米） （米） 答：这个圆锥形蓄水池的高是3米。 11．下图所示的是一种玻璃酒杯，杯口内直径是4cm，总深12cm，圆柱部分高7.5cm。把酒杯装满水再倒入右边的水杯中，则水深多少厘米？ 【答案】 4厘米 【分析】根据圆柱体积公式，圆锥体积公式，以及圆柱体积公式的变形。先分别计算出玻璃酒杯中圆柱部分和圆锥部分的体积，两者相加得到酒杯的容积，再根据圆柱体积公式的变形，即可计算倒入茶杯后水的深度。 【详解】 答：水深4厘米。 12．有A、B两个容器，如图所示，先把A容器装满水，再倒入B容器中，B容器中水的液面高度是多少分米？（单位：分米） 【答案】1.5分米 【分析】根据题意，A容器是一个底面半径为3分米，高为8分米的圆锥，装满水，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出水的体积； B容器是一个底面直径为8分米的圆柱，根据圆的面积公式S＝πr2，求出B容器的底面积； 把水倒入B容器中，则水的体积不变；根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，据此求出B容器中水的液面高度。 【详解】水的体积： ×3.14×32×8 ＝×3.14×9×8 ＝75.36（立方分米） B容器的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） B容器中水的高度： 75.36÷50.24＝1.5（分米） 答：B容器中水的液面高度是1.5分米。 13．一个圆锥形容器，底面直径8分米，高9分米，装满水后全部倒入一个底面半径4分米的圆柱形容器中。水面会上升到多少分米？ 【答案】3分米 【分析】分析题目，先根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h列式求出水的体积，再根据圆柱的底面积＝πr2求出圆柱形容器的底面积，最后用水的体积除以圆柱形容器的底面积即可得到水面上升的高度。 【详解】3.14×（8÷2）2×9× ＝3.14×42×9× ＝3.14×16×9× ＝50.24×9× ＝452.16× ＝150.72（立方分米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 150.72÷50.24＝3（分米） 答：水面会上升到3分米。 14．如图，把10升水倒入甲容器中水深8厘米，倒入乙容器中水深12厘米。求甲、乙容器底面积的比。（要写出想法过程） 【答案】3∶2；过程见详解 【分析】根据长方体和圆柱的容积公式：V＝Sh，据此分别求出甲、乙容器的底面积，进而求出底面积的比。 【详解】10升＝10立方分米＝10000立方厘米 10000÷8＝1250（平方厘米） 10000÷12＝（平方厘米） 1250∶ ＝（1250×3）∶（×3） ＝3750∶2500 ＝（3750÷1250）∶（2500÷1250） ＝3∶2 答：甲、乙容器底面积的比是3∶2。 15．如图，圆柱形容器A是底面半径为5厘米，高为20厘米的空容器，长方体容器B中的水深6.28厘米，底面为10厘米的正方形。将容器B中的水全部倒入容器A，这时容器A水深多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积；将容器B中的水全部倒入容器A，水的体积不变，根据圆柱的高＝体积÷底面积，据此求出容器A中的水深。 【详解】10×10×6.28＝628（立方厘米） 628÷（3.14×52） ＝628÷（3.14×25） ＝628÷78.5 ＝8（厘米） 答：这时容器A水深8厘米。 16．一块长方体钢坯的长是12.56分米，宽是5分米，高是4分米，把它熔铸成一个底面半径为4分米的圆柱形钢材，这个圆柱形钢材的高是多少？ 【答案】5分米 【分析】把一块长方体钢坯熔铸成一根圆柱形钢材，形状发生变化，但体积不变。 根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，先求出长方体钢坯的体积，也是圆柱形钢材的体积；再根据公式：圆柱的底面积＝圆周率×半径×半径，求出圆柱的底面积；最后根据公式：高＝圆柱的体积÷底面积，即可求出圆柱的长度。 【详解】12.56×5×4 ＝62.8×4 ＝251.2（立方分米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 251.2÷50.24＝5（分米） 答： 这个圆柱形钢材的高是5分米。 17．一个瓶子，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），它的容积为1256毫升。瓶子正放时，瓶内水面高度为20厘米，瓶子倒放时，无水部分高度为5厘米。瓶内水的体积是多少毫升？ 【答案】1004.8毫升 【分析】因为瓶子的容积不变，瓶子里的水的体积不变，所以正放和倒放时空余部分的容积相等；将正放与倒放的空余部分交换一下位置，可以看出瓶子的容积相当于底面积不变，高为（20＋5）厘米的圆柱的体积，那么瓶中的水的体积占整个瓶子容积的20÷（20＋5）＝； 已知瓶子的容积为1256毫升，根据求一个数的几分之几是多少，用瓶子的容积乘，即可求出瓶内水的体积。 【详解】20÷（20＋5） ＝20÷25 ＝ 1256×＝1004.8（毫升） 答：瓶内水的体积是1004.8毫升。 18．将一个长方体铁坯（如下图）锻造成一个底面直径为4厘米的圆柱，圆柱的长是多少？ 【答案】10厘米 【分析】将长方体锻造成一个圆柱，也就是长方体的体积同圆柱体的体积相同，所以先由长乘宽乘高求出长方体体积（即为圆柱的体积），根据圆柱的体积公式，再除以底面直径为4厘米的圆柱底面积，即为圆柱的高也就是放倒后圆柱的长。 【详解】长方体体积：（立方厘米） 圆柱底面积：（立方厘米） 圆柱的长：（厘米） 答：圆柱的长是10厘米。 19．孙悟空正在打妖怪，他神奇的金箍棒变成了底面周长是25.12cm、高是2m的圆柱形铁棒。 （1）这时金箍棒的体积是多少？ （2）金箍棒体积不变，又变成了一根底面积是100.48cm2的圆柱形铁棒，这时它的高是多少？ 【答案】 10048立方厘米；100厘米 【分析】（1）题目给到圆柱的底面周长和高，先用底面周长反求底面圆的半径，再用底面积乘高求出它的体积，注意高需要转换单位。 （2）体积不变底面积变成100.48平方厘米，求高需要用体积除以底面积。 【详解】（1） （平方厘米） （立方厘米） 答：这时金箍棒的体积是10048立方厘米。 （2）（厘米） 答：这时它的高是100厘米。 20．一个长方体玻璃容器长是20厘米，宽和高都是15厘米。里面盛有12厘米深的水。 （1）与水接触的玻璃面积有多大？ （2）如果把这些水倒入一个底面直径是16厘米，高是20厘米的圆柱形玻璃容器中，水面高约多少厘米？（得数保留整数） 【答案】（1）1140平方厘米 （2）18厘米 【分析】（1）根据题意可知，与水接触的玻璃面积相当于一个无盖的长为20厘米、宽为15厘米、高为12厘米的长方体5个面的面积之和；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可。 （2）把长方体容器里的水倒入圆柱形玻璃容器中，那么水的体积不变；先根据长方体的体积公式V＝abh，求出水的体积；再根据圆柱的高h＝V÷S，其中S＝πr2，代入数据计算求出圆柱形容器中水面的高度。 【详解】（1）20×15＋20×12×2＋15×12×2 ＝300＋480＋360 ＝1140（平方厘米） 答：与水接触的玻璃面积有1140平方厘米。 （2）水的体积： 20×15×12 ＝300×12 ＝3600（立方厘米） 圆柱的底面积： 3.14×（16÷2）2 ＝3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 水面高度： 3600÷200.96≈18（厘米） 答：水面高约18厘米。 【点睛】（1）观察图形得出与水接触的面是长方体的哪些面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 （2）本题考查长方体、圆柱体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春】 第二单元专项训练05：八种综合性问题之 圆柱与圆锥中的等积变形问题 昆日期： ⊙用时： 贝评价： 1.炎帝神农是中华民族的人文始祖，随州是炎帝神农的诞生地。炎帝之祀源远流长。每年农 历四月廿六炎帝诞辰日，海内外炎黄子孙以不同形式拜谒始祖炎帝，共同祈福四方。随州市为 迎接今年的寻根节，施工队对一处建筑物前的路面进行凹陷硬化修复，工人师傅准备了一些沙 子，这些沙子堆成圆锥形，已知沙堆的底面周长是6.28米，高是1.2米，把这些沙子平铺在一 个长是8米、宽是2.5米的长方体凹坑里，能铺多少厘米厚？ 2.一堆圆锥形黄沙，底面周长是25.12米，高是1.5米，将这些沙子铺在一条宽4米厚2.5厘 米的小路上，大约能铺几米长？ 3.一个圆锥形沙堆，高3米，占地面积15平方米。将这堆沙铺在宽6米的路上，平均铺5 厘米厚，能铺多少米？ 4.把一个长、宽、高分别是8厘米、4厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为4厘米的正方 体铁块熔铸成一个圆锥体。这个圆锥体的底面积是1.2平方分米，高是多少？ 第1页共5页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 5.赵师傅将一个长方体铁块和一个圆柱形铁块（如下图)熔铸成一个底面直径是12厘米的圆 锥。这个圆锥的高是多少厘米？ 3.14c1m 10cm 5cm 12cm 6cm 6.把一个长6.28分米，宽和高都为4分米的长方体钢坯熔铸成一个底面直径为8分米的圆锥 形铅锤。这个铅锤的高是多少分米？ 7.把一个底面半径是2厘米，高是10厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是20厘米的圆锥形 铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 8.把一个底面积是12.56平方分米，高是6分米的圆柱形铁块熔铸成一个底面积是18.84平方 分米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是多少分米？ 第2页共5页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 9.一个圆锥形铁块，底面直径是12分米，高是10分米，将它熔铸成一个长是8分米，宽是 3分米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少？ 10.一个圆柱形的蓄水罐，从里面测量其底面周长为18.84米，高为4米。现在，将这个蓄水 罐中的水全部倒入一个底面半径是6米的圆锥形的蓄水池中，恰好将蓄水池装满。请问，这个 圆锥形蓄水池的高是多少米？ 11.下图所示的是一种玻璃酒杯，杯口内直径是4cm,总深12cm,圆柱部分高7.5cm。把酒 杯装满水再倒入右边的水杯中，则水深多少厘米？ 6 cm 5 cm 12.有A、B两个容器，如图所示，先把A容器装满水，再倒入B容器中，B容器中水的液 面高度是多少分米？（单位：分米) A b 第3页共5页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 13.一个圆锥形容器，底面直径8分米，高9分米，装满水后全部倒入一个底面半径4分米的 圆柱形容器中。水面会上升到多少分米？ 14.如图，把10升水倒入甲容器中水深8厘米，倒入乙容器中水深12厘米。求甲、乙容器底 面积的比。（要写出想法过程） 8cm 12cm 甲 15.如图，圆柱形容器A是底面半径为5厘米，高为20厘米的空容器，长方体容器B中的水 深6.28厘米，底面为10厘米的正方形。将容器B中的水全部倒入容器A,这时容器A水深 多少厘米？ B 20 6.28 5 10 10 17.一个瓶子，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），它的容积为1256毫升。瓶子正放时，瓶内水 面高度为20厘米，瓶子倒放时，无水部分高度为5厘米。瓶内水的体积是多少毫升？ 5cm 20cm 第4页共5页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 18.将一个长方体铁坯（如下图）锻造成一个底面直径为4厘米的圆柱，圆柱的长是多少？ 5cm d=4cm 2cm 12.56cm 19.孙悟空正在打妖怪，他神奇的金箍棒变成了底面周长是25.12cm、高是2m的圆柱形铁棒。 (1)这时金箍棒的体积是多少？ (2)金箍棒体积不变，又变成了一根底面积是100.48c2的圆柱形铁棒，这时它的高是多少？ 20.一个长方体玻璃容器长是20厘米，宽和高都是15厘米。里面盛有12厘米深的水。 16 … 20 12 20 15 (1)与水接触的玻璃面积有多大？ (2)如果把这些水倒入一个底面直径是16厘米，高是20厘米的圆柱形玻璃容器中，水面高 约多少厘米？（得数保留整数） 第5页共5页