第1章 专题4 构造等腰三角形的常用方法-（教师用书）【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练（北师大版·新教材）

[答案 P10]

利用平行线构造等腰三角形　　

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点E，在AB的延长线上取点D，使BD＝EC，连接DE交BC于点F.求证：DF＝EF.

1题图

证明：如答图，过点E作EG∥AB，交BC于

点G，则∠CGE＝∠ABC，∠GEF＝∠D，

∠DBF＝∠EGF.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，

∴∠C＝∠EGC，∴CE＝EG.

∵CE＝BD，∴BD＝GE.

1题答图

在△DBF和△EGF中，

∴△DBF≌△EGF(ASA)，

∴DF＝EF.

角平分线＋垂线→等腰三角形　　

2．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于点E.求证：BE＝(AC－AB).

2题图

证明：延长BE交AC于点F，如答图．

∵BF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF.

∵AD平分∠BAC，

2题答图

∴∠BAE＝∠FAE.

在△ABE和△AFE中，

∴△ABE≌△AFE(ASA)，

∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF.

∵∠C＋∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，

∠ABF＋∠CBF＝∠ABC＝3∠C，

∴∠C＋2∠CBF＝3∠C，

∴∠CBF＝∠C，∴BF＝CF，

∴BE＝BF＝CF.

∵CF＝AC－AF＝AC－AB，

∴BE＝(AC－AB).

 

利用截长补短法构造等腰三角形　　

3．如图，∠BAD＝120°，BD＝DC，AB＋AD＝AC．求证：AC平分∠BAD．

3题图

证明：如答图，延长BA到点E，使AE＝AD，