第1章 4 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定-（教师用书）【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练（北师大版·新教材）

4 线段的垂直平分线 第1课时　线段垂直平分线的性质与判定 [答案 P7] 线段垂直平分线的性质定理　　 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，已知PA＝5，则PB的长为(B) 1题图 A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC，则(C) 2题图 A．∠A＝∠C B．∠B＝∠ADC C．DA＝DC D．DE＝DF 3．如图，已知点A(2，3)和点B(4，1)，在x轴或y轴上有一点P，且点P到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为(A) 3题图 A．(1，0)或(0，－1) B．(－1，0)或(0，1) C．(0，3)或(4，0) D．(2，0)或(0，1) 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，如果BC＝10，△BDC的周长为22，那么△ABC的周长是(D) 4题图 A．24 B．30 C．32 D．34 5．如图，点D在BC上，DE垂直平分AC，垂足为E，DF垂直平分BA，垂足为F.求证：DB＝DC． 5题图 证明：∵DE垂直平分AC，DF垂直平分BA， ∴DC＝DA，DB＝DA， ∴DB＝DC． 线段垂直平分线的判定定理　　 6．如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上． 6题图 证明：∵点P在AB的垂直平分线上， ∴PA＝PB． 又∵点P在BC的垂直平分线上， ∴PB＝PC， ∴PA＝PC， ∴点P在AC的垂直平分线上． 7．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P，Q，R分别在线段AB，BC，AC上，且BP＝CQ，BQ＝CR.求证：点Q在线段PR的垂直平分线上． 7题图 证明：在△BPQ和△CQR中， ∴△BPQ≌△CQR(SAS)， ∴PQ＝QR， ∴点Q在线段PR的垂直平分线上． 8．如图，y轴垂直平分线段AB，C为y轴正半轴上一点，D是线段OC上一点，且AD⊥BD，若C(0，4)，AC＝5，则阴影部分的面积是(D) 8题图 A． B．2 C． D．3 9．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB，AC交于D，E两点，BC边的垂直平分线FG，分别与BC，AC边交于F，G两点，连接BE，BG.若△BEG的周长为16，GE＝1，则AC的长为(B) 9题图 A．13 B．14 C．15 D．16 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，∠AEC＝30°，BC＝2，那么AC的长为4－2． 10题图 11．如图，在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长是10． 11题图 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作AB的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点P，作直线AP. (1)求证：AP垂直平分BC． (2)若AP＝5，AB＝4，求BC的长． 12题图 (1)证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC， ∴∠ABP＝∠ACP＝90°. 在Rt△ABP和Rt△ACP中， ∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL)，∴BP＝CP， ∴点P在BC的垂直平分线上． ∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上， ∴AP垂直平分BC． (2)解：∵AP＝5，AB＝4，∠ABP＝90°， ∴PB＝＝3. 由(1)知Rt△ABP≌Rt△ACP，∴S△ABP＝S△ACP， ∴四边形ABPC的面积＝2S△ABP， ∴AP·BC＝2×AB·BP， ∴×5BC＝4×3，∴BC＝. 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，作边AB的垂直平分线交直线BC于点M，交AB于点N. 13题图① 13题图② 13题图③ (1)如图①，若∠A＝40°，则∠NMB＝20°； (2)如图②，若∠A＝70°，则∠NMB＝35°； (3)如图③，若∠A＝120°，则∠NMB＝60°； (4)由(1)(2)(3)问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明． 解：(4)猜想：∠NMB＝∠A． 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝(180°－∠A)＝90°－∠A． ∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°， ∴∠NMB＝90°－＝∠A． 学科网（北京）股份有限公司 $