8.5.2 直线与平面平行(第2课时)直线与平面平行的性质（教学课件）数学人教A版必修第二册

第8章 立体几何初步 8.5.2 直线与平面平行(第2课时)直线与平面平行的性质 人教A版· 必修第二册· 学习目标 1.能准确表述性质定理的条件和结论，理解“过线作面、面面相交、线线平行”的逻辑链条，能独立完成定理的证明过程。 2.给定具体几何体（如长方体、三棱锥、三棱台），能识别线面平行关系，灵活运用性质定理推导线线平行，解决截面画线、线段长度计算等问题。 3.能总结线面平行判定定理与性质定理的转化规律，形成“线线平行→线面平行→线线平行”的思维模式，提升逻辑推理的严谨性。 4.能将木料切割等实际问题转化为立体几何中的线面平行问题，通过性质定理求解，并用数学语言解释实际操作的合理性。 目录 CATALOG 01.直线与平面平行的性质定理 03.题型强化训练 02.直线与平面平行的性质定理及其应用 04.小结及随堂练习 01 直线与平面平行 的性质定理 8.5.2 直线与平面平行(第2课时)直线与平面平行的性质 导入新知1：商场货架的“隐形平行”之谜 超市生鲜区有一个长方体货架，货架的横梁AB平行于地面（可看作平面α）。工作人员需在货架侧面安装一块倾斜的宣传牌，要求宣传牌的一边经过地面上的固定点P（P不在AB的正下方），且宣传牌的边缘要与横梁AB平行，以保证安装后宣传牌平整美观。 1. 工作人员该如何在货架的侧面和地面上画线，才能确定宣传牌的安装位置？ 2.画出的线条与货架的其他面（如前后侧面）是什么位置关系？为什么这样画能保证宣传牌边缘与横梁AB平行？ 导入新知2：教室投影的“光线平行”困惑 教室里，投影仪的镜头发出的一束光线l（可看作直线）平行于黑板所在的平面β。老师想在黑板上投射出一条与光线l平行的亮线，同时要求这条亮线经过黑板上的指定点Q。 1.如何调整投影仪的角度或搭配辅助工具（如透明直尺），才能让黑板上的亮线既经过点Q，又与光线l平行？ 2.如果将光线l看作平行于平面β的直线，黑板上的亮线与光线l的平行关系，和平面β、光线所在的平面有什么关联？ 学习新知 前面，我们利用平面内的直线与平面外的直线平行，得到了判定平面外的直线与此平面平行的方法，即得到了一条直线与平面平行的充分条件．反过来，如果一条直线与一个平面平行，能推出哪些结论呢？这就是研究直线与平面平行的性质，也就是研究直线与平面平行的必要条件． 图8.5-8 学习新知 由定义知，如果直线a平行于平面α，那么a与α无公共点，即a与α内的任何直线都无公共点． 所以的直线a（平面α外）与α内的直线b只能是异面或者平行的关系． a b α a b α a与b平行 a与b异面 学习新知 在什么条件下，平面α内的直线与直线a平行呢？下面我们来分析一下： 假设a与α内的直线b平行，那么由基本事实的推论3，过直线a，b有唯一 的平面β．这样我们可以把直线b看成是过直线a的平面β与平面α的交线． 于是可有如下猜想： 已知直线a//平面α，过直线a的平面β与平面α相交于b，则a//b． a b α β 学习新知 a b 图8.5-9 学习新知 a b 这样，我们就得到了直线与平面平行的性质定理： 直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，这也给出了一种平行线的方法． 定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交， 那么该直线与交线平行． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断线面平行、线面平行的性质 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断线面平行、线面平行的性质 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面平行的性质、面面关系有关命题的判断 02 直线与平面平行的性质定理及其应用 8.5.2 直线与平面平行(第2课时)直线与平面平行的性质 学习新知 例3： A B C D P 学习新知 例3： 【详解】 学习新知 例3： 【详解】 A B C D P E F 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断线面平行、线面平行的性质 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面平行的性质、判断线面平行 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面平行的性质 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 证明线面平行 学习新知 【变式】 【详解】 学习新知 【反思感悟】 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面平行的性质 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面关系有关命题的判断 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面平行的性质、由线面平行求线段长度 03 题型强化训练 8.5.2 直线与平面平行(第2课时)直线与平面平行的性质 能力提升 【练习1】 题型一、直线与平面平行的性质定理的理解 A. B. C. D. 【详解】 能力提升 【点睛】本题考查直线与平面平行的判断，常用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的性质进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题. 能力提升 题型一、直线与平面平行的性质定理的理解 【感悟提升】 直线与平面平行的性质定理理解的注意事项 (1)明确性质定理的关键条件. (2)充分考虑各种可能的情况. (3)特殊的情况注意举反例来说明. 能力提升 【练习2】 题型二、 直线与平面平行的性质定理的应用 【详解】 在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，过BC中点E的截面与AB，CD都平行，则截面的周长为 ． 能力提升 题型二、 直线与平面平行的性质定理的应用 【感悟提升】 直线与平面平行的性质定理应用的注意事项 (1)欲证线线平行可转化为线面平行解决,常与判定定理结合使用. (2)性质定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常利用中位线性质. 能力提升 【练习3】 题型三 直线与平面平行性质定理的应用 计算问题 能力提升 【详解】 能力提升 题型三 直线与平面平行性质定理的应用 计算问题 【感悟提升】 利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点 (1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系； (2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系； (3)利用所得关系计算求值． 能力提升 【练习1】 题型四 直线与平面平行性质定理的应用 证明问题 能力提升 【详解】 【反思感悟】利用三角函数解决几何问题，首先要审清题意，然后要明 确角的取值范围，最后一定要回归到实际问题当中去． 能力提升 【练习4】 题型四 直线与平面平行性质定理的应用 证明问题 如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体， 求证：截面MNPQ是平行四边形. 【详解】 能力提升 题型四 直线与平面平行性质定理的应用 证明问题 【感悟提升】 应用线面平行的性质定理解题的步骤 04 小结及随堂练习 5.7 第2课时　三角函数的应用(二) 课堂总结1 1．知识清单： (1)直线与平面平行的性质定理． (2)直线与平面平行的性质定理及其应用． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：证明线面平行时漏写线在平面外(内)． 课堂总结2 平面与平面平行的判定定理： 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 两个平面平行的性质定理： 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 符号语言： 符号语言： 课堂总结3 作业 8.5.2 直线与平面平行(第2课时)直线与平面平行的性质 课本139页练习4题，143页 习题8.5的1、3、7、10、11题. 练习（第138页） A B C D A B C D A1 B1 C1 D1 E O 3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． × × × 3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． × × × √ a b c a b c (第4题) 人教A版· 必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1. 已知直线 ， 和平面 ，且 ，则 是 的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【详解】当，，则或，所以充分性不成立； 反之：若，，则必有，所以必要性成立， 所以是的必要不充分的条件. 故选：B. 2. 设 是两个不同的平面， ， 是异于 的一条直线，则“ ”是“ 且 ”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且， 所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可得， 所以，即必要性成立， 故“”是“且”的必要不充分条件． 故选：A． 3. 已知 ， 是两个不同的平面， ， ， 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则 【详解】，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线， 对于，若，，则由线面垂直的性质得，故A错误； 对于B，若，，则与相交、平行或异面，故B错误； 对于C，若，，，则由线面平行的性质得，故C正确； 简单证明：如图，，过的一个平面与交于，则同理，，则， ，则，，，则，所以.   对于D，若，，，则与相交，故D错误． 故选：C． 4. 已知 ， 是平面 外的两条直线，在 的前提下， 是 的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】如图，在正方体中，记平面为，直线为， 若记直线为，则满足，但，故无法得出； 因，则直线共面，记直线所确定的平面为， 若，则；若，则由，可得，则， 因，，，则，故由可得出. 综上可知，是的必要不充分条件. 故选：B. 已知 为三条不同的直线， 为三个不同的平面． 若 ， ， ， ，则（    ） A． 与 相交 B． 与 相交 C． 与 平行 D． 与 相交 【详解】如图：由，，，得． 又，，所以， 结合，，得． 故选：C 如图，P为平行四边形 所在平面外一点，E为 的中点， F为 上一点，当 平面 时， （   ） A． B． C．2 D． 【详解】连接交于 ，连接，因为平面， 平面，平面平面， 所以，所以，因为四边形为平行四边形，所以，所以，因为为的中点，所以，所以，所以. 故选：A 已知正三棱柱 的所有棱长都为 ，点 为 的中点， 过点 及直线 的平面截这个正三棱柱，则该截面的面积是（   ） A． B． C． D． 【详解】设过点及直线的平面交直线于，由棱柱可得， 而平面，平面，故平面， 而面平面，面，故， 而为的中点，故为的中点， 故，而， 故在等腰梯形中，高为， 故截面的面积为， 故选：D. 当 时，连接 ，因为 ， 所以 ，因为E，F分别为 的 中点，所以 ，从而 ， 又 平面 平面 ， 所以 平面 ．故答案为：N是线段 上靠近点 的三等分点（答案不唯一）. 如图，在三棱台 中， ，E，F分别是 的中点， 点M在 上， ，若点N在平面 内，且 平面 ， 则点N的位置是 ．（写出一种即可） 1.利用线面平行的判定定理和性质定理，可以完成线线平行与线面平行的相互 转化.转化思想是一种重要的数学思想.该转化过程可概括为 eq \x(\a\al(线线,平行)) eq \o(――→,\s\up22(线面平行),\s\do8(判定定理)) eq \x(\a\al(线面,平行)) eq \o(――→,\s\up22(线面平行),\s\do8(性质定理)) eq \x(\a\al(线线,平行)) 　 2.线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到 线面平行，再通过线面平行得到线线平行． 在空间四边形 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 上的点， 当 平面 时，下列结论中正确的是（    ） A． ， ， ， 一定是各边的中点 B． ， 一定是 ， 的中点 C． ，且 D． ，且 【详解】∵在三棱锥中，分别是上的点. 平面，平面,平面平面 ∴，同理.∴ 且．由题意无法确定其余选项是否正确， 故选：D．    9.（多选题）下列命题错误的是（  ） A．若直线l上有无数个点不在平面 内，则 . B．若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任意一条直线都平行. C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. D．若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任意一条直线都没有公共点. 【详解】借助长方体模型来分析，棱所在直线有无数点在平面外， 但棱所在直线与平面相交，所以A不正确； 所在直线平行于平面,显然不平行于，所以B不正确； ,所在直线平行于平面，但直线平面，所以C不正确； 与平面平行，则与平面无公共点，与平面内所有直线都没有公共点，所以D正确． 故选：ABC. 10. 如图，四棱锥 的所有棱长都等于 5，点 在线段 上，且满足 ，过 三点的平面与 交于点 ，则四边形 的周长为（   ） A． B．16 C．14 D． 【详解】四棱锥 的所有棱长都等于 5，所以四棱锥为正四棱锥， 所以是正方形，因为；又平面，平面， 所以平面；又平面平面，所以，所以； 因为，所以，所以；中，， 所以；同理， 所以四边形DEFC的周长为， 故选：A． 在A、B选项中， 、 分别为 、 的中点，则 ，在正 三棱柱 中， ， ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，A、B选项正确； 如图，下列正三棱柱 中，若 、 、 分别为其所在棱 的中点，则不能得出 平面 的是 在C选项中，如下图所示：取 的中点 ，连接 、 ， 、 分别为 、 的中点，则 ，同理可证 ，在正三棱柱 中， ， ，同理可证 ，则四边形 为平行四边形，则 与平面 相交，C选项错误； 在D选项中，在正三棱柱 中， ，且 、 分别为 、 的中点， ，则四边形 为平行四边形， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，D选项正确.故选C. 设 的中点分别为 ，连接 ， 根据三角形中位线定理，可得： ， ，所以有 ，因此四边形 是平行四边形，因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 同理 平面 ， 因此平行四边形 的周长为 ， 故答案为： 如图，长方体 的底面 是正方形.其侧面展开图是边长为4的正方形，E、F分别是侧棱 上的动点，点P在棱 上，且 ，若 平面 ，则 的长= . 因为长方体 的底面 是正方形，其侧面展开图是边长 为4的正方形，所以底面边长为 ，高为 ，如图所示： 连接AC与BD交于点O，取PQ=AP=1，连接QC， 则 ，因为 平面 ，且 平面 ， 平面 平面 ，所以 ，则 ， 又 ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ， 故答案为： 如图，在一个半径为 的半圆形铁板中，截取一块矩形 ， 使得矩形的顶点 、 在半圆的直径上， 、 在半圆弧上. 连接 ，设 . (1)试用 和 表示矩形 的面积 ，并求其定义域； (2)求矩形 的面积 的最大值，并求出取到最大值时 的值. （1）依题意， ， ，则 ， ， 所以矩形 的面积 ，定义域为 . （2）因为 ，所以当 时， 取得最大值 . 用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，可得 平面 ， 平面 ，又平面 平面 ， 平面 平面 ， 则 ， ，即 ，同理可证 ， 所以截面MNPQ是平行四边形. $